Binomio cuadrado perfecto

Hoy chismoseando en el ipod de la ñoña me tope con una aplicación que te
ayuda a estudiar matemáticas. Esto me trajo viejos recuerdos de mis años
mozos en la preparatoria, al Segovia y su romance con Cheche, a la Ximenona
mi rival a muerte en el mundo de escolapio y al Ray mi compañero ñoño.
Así que esta entrada, siguiendo en esta onda matemática, será una lección de
un método para resolver ecuaciones de segundo grado.
Este método que hoy explicaré esta basado en el rey de los productos
notables conocido como binomio cuadrado perfecto.
Si tenemos esta expresión
(a + b)2
Significa que se esta multiplicando
(a + b) (a + b)
Al resolver multiplicando los dos términos del primer elemento por los dos
términos del segundo elemento.
a2 + ab + ab + b2
Simplificando queda de la siguiente forma
a2 + 2ab + b2
Es por eso que se dice que un binomio al cuadrado es:
“El cuadrado del primer termino (a2) mas el doble producto del primer
termino por el segundo termino (2ab) mas el cuadrado del segundo termino
(b2).”
Ahora, podemos utilizar este binomio cuadrado perfecto para resolver
cualquier ecuación de segundo grado. En el bajo mundo de los Nerds
matemáticos este es conocido como el método más elegante de todos y en lo
particular a mí me parece también muy sencillo. Su contraparte es la Formula
General o también llamada la chicharronera que es la versión más popular.
Suponiendo que tenemos la siguiente ecuación:
x2 – 2x – 24 = 0
Tenemos que manipular esta ecuación para que parezca un binomio cuadrado
perfecto.
Tenemos el cuadrado del primer número x2 entonces el primer número es x
Ahora tenemos que encontrar el número para el que -2x es el doble producto
del primer término por el segundo.
Y sabiendo que el primer número es x entonces el segundo número solo puede
ser -1, dado que (2) (x) (-1) es -2x
Entonces ya sabemos que lo que buscamos es el binomio cuadrado perfecto de
(x - 1)2
O de forma expandida x2 – 2x +1
Pero nuestra ecuación es x2 – 2x –24 = 0 así que hay que acomodar esto para
completar los términos que necesitamos.
Y sabiendo que 1 – 25 es igual a 24 podemos sustituir ese 24 por el número
que obtuvimos.
Entonces ahora tenemos x2 – 2x + 1 -25 = 0
Pasando el 25 del otro lado de la ecuación tenemos
x2 – 2x + 1 = 25
Ahora si tenemos un binomio cuadrado perfecto igualado al número 25 así que
podemos cambiar los términos de la izquierda por su otra expresión.
(x - 1)2 = 25
Y para eliminar ese cuadrado solo tenemos que sacar la raíz cuadrada en
ambos lados de la ecuación.
x − 1 = ± 25
Y despejando x tenemos que
x = ±5 + 1
Por lo tanto los valores de x que solucionan la ecuación son:
x=6
x = −4
Ahora otro ejemplo.
Resolver la ecuación x2 - 6x + 8 = 0 completando el binomio cuadrado
perfecto.
Aquí voy a explicar de otra forma que es más sencilla de recordar y se puede
poner en pasos para solo seguirlos.
1.- Pasar el término independiente del lado derecho de la ecuación
x2 - 6x = - 8
2.- Dividir a la mitad el término que esta en la x, elevarlo al cuadrado y
sumarlo en ambos lados de la ecuación para no alterarla.
NOTA: El número que esta en la x es -6 y su división entre 2 es un número que
vamos a utilizar después así que lo llamare a; a = -3
(3)2 = 9
Y sumando en ambos lados de la ecuación queda
x2 - 6x +9 = -8 + 9
3.- Cambiar la expresión de la izquierda por el binomio cuadrado perfecto. Y
simplificar el lado derecho si es posible.
Aquí es donde utilizamos el valor “a” que obtuvimos en el paso anterior.
(x + a)2
Entonces sustituyendo y simplificando tenemos
(x - 3)2 = -8 + 9
(x - 3)2 = 1
4.- Sacar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación
x−3 = ± 1
5.- Despejar x para obtener las dos soluciones
x = ±1 + 3
x1 = 4
x2 = 2
Y así es como se resuelve una ecuación de segundo grado completando el
binomio cuadrado perfecto.