Problema lineal de control óptimo con funcional objetivo cuadrático

Problema lineal de control óptimo
con funcional objetivo cuadrático y con
parámetros.
U.A. Sosa Aguirre
Departamento de Matemáticas
Universidad del Valle
Resumen
Dentro de la Teorı́a de Control Óptimo, pretendemos estudiar problemas cuya dinámica es descrita por un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias y cuyo ı́ndice de rendimiento es un funcional objetivo
convexo (o cuadrático). Utilizando la Condición de Máximo de Pontryagin sobre el Hamiltoniano del sistema, candidatizaremos controles óptimos
e implementaremos un algoritmo para calcularlos. También mostraremos
para el caso lineal convexo, que la condición de máximo es suficiente y
necesaria para optimalidad, incluso perturbando los parámetros tanto del
sistema, como del funcional.
Palabras Claves: Sistema de control, control óptimo, principio del
máximo.
INTRODUCCION
El control óptimo nace por las necesidades de la ingenierı́a de control en la
década de 1950, las cuales estimularon la formulación e investigación de una
nueva clase de importantes problemas que requerı́an la optimización de funcionales. En realidad, sus raı́ces datan de 1696 a partir de la generalización
del problema de la braquistocrona, enunciado por Johann Bernoulli como un
reto para sus contemporáneos1 y de otros problemas que habı́an sido estudiados inicialmente en los siglos XVII y XVIII los cuales cimentaron las bases del
denominado Cálculo Variacional. El problema básico del cálculo variacional se
formula como sigue. Sea x = x(·) ∈ Cn1 (T ), T = [t0 , t1 ], una curva admisible,
esto es,
x(t0 ) = x0 ,
x(t1 ) = x1 ,
(1)
1 La solución fue publicada junto a la de otros grandes matemáticos un año después en su
artı́culo “Acta Eruditorum”
1
x0 y x1 dados. Sea además el conjunto funcional
X = {x(·) ∈ Cn1 (T ) : x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 },
y definamos el funcional
Z
t1
F (x, ẋ, t)dt,
J = J(x) =
t0
sobre X, donde F (x, ẋ, t) está definida y es continua respecto a cada uno de sus
argumentos, junto con sus derivadas parciales respecto a (x, ẋ, t). El problema
es entonces obtener x∗ (·) ∈ X tal que:
x∗ : J(x) → mı́n
(2)
en cuyo caso x∗ es una minimal, en el sentido que minimiza al funcional J.
La idea central para resolver el problema básico del cálculo variacional es
dar una condición necesaria para las funciones candidatas a ser extremales del
funcional J, denominada condición de Euler-Lagrange, y que afirma lo siguiente: todo mı́nimo débil del problema básico de cálculo variacional satisface la
ecuación de Euler-Lagrange
d F (x, ẋ, t)
∂F (x, ẋ, t)
−
= 0.
∂x
dt
∂ ẋ
Ahora bien si x(·) ∈ Cn1 (T ), la función escalar F (x, ẋ, t) tiene derivadas parciales
continuas en sus variables hasta de segundo orden y asumimos adicionalmente
que dichas funciones están acotadas por las restricciones
gi (x, ẋ, t) = 0
i = 1, 2, ..., m,
m < n,
(3)
con gi (x, ẋ, t) con derivadas parciales continuas en sus variables hasta de segundo
orden, entonces (1) - (3) es un problema restringido de cálculo variacional o
problema Lagrangiano. Finalmente introducimos el Lagrangiano
L(λ(t), x(t), ẋ(t), t) = F (x(t), ẋ(t), t) + hλ(t), g(x(t), ẋ(t), t)i
(4)
donde λ = (λ1 , λ2 , ..., λm ) son funcionales denominados multiplicadores de La1
grange, λ(·) ∈ Cm
(T ), h· , ·i denota producto escalar y el funcional Lagrangiano
Z t1
L(λ, x) =
L(λ, x, ẋ, t)dt
t0
está definido sobre el conjunto funcional
1
Y = {x(·) ∈ Cn1 (T ), λ(·) ∈ Cm
(T ) : x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 },
y formulamos el problema
L(λ, x) → mı́n,
(λ, x) ∈ Y.
2
(5)
Obviamente si la solución (λ∗ , x∗ ) de (5) existe, satisface
∂L(x, ẋ, t) d L(x, ẋ, t)
−
= 0,
∂x
dt
∂ ẋ
∂L(x, ẋ, t)
= gi = 0,
∂λi
∂L(x, ẋ, t)
= 0,
∂ λ̇i
i = 1, ..., m.
Tomando este conjunto de ecuaciones se puede implementar un método práctico
de resolver el problema restringido del cálculo variacional (1) -(3), y estamos
interesados en un caso particular que conlleva al problema a exponer en el
presente trabajo, el problema básico de control óptimo.
1.
Introducción a la Teorı́a de Control Optimo
La teorı́a de control óptimo refleja el estado actual del desarrollo del cálculo
variacional, al enfrentar problemas de tipo variacional pero que no encajaban
enteramente en los problemas clásicos variacionales. Considere el sistema
x(t0 ) = x0
ẋ = f (x, u, t),
(6)
donde x(t) ∈ Rn es el estado del sistema en el tiempo t ∈ T = [t0 , t1 ], u(t) ∈ U ⊆
Rm , t ∈ T , es la función de control y ẋ = dx
dt . El par (u(t), x(t)) es denominado
Proceso de Control y cuando obtenemos el “mejor”proceso (u∗ (t), x∗ (t)), en un
sentido por definir, diremos que el proceso es óptimo. Ahora bien, un problema
de control se caracteriza por:
1.
La dinámica del objeto controlado es un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias (6).
Rt
2. Un funcional J = J(u) = t01 F (x, u, t)dt, llamado a veces ı́ndice de
rendimiento del sistema que está por minimizarse. .
Ası́, resolver el problema de control óptimo significa hallar una función de control
u∗ (t), t ∈ T que minimice el ı́ndice de rendimiento J.
Ahora bien, en el caso que u(t) ∈ U = Rm , x(·) ∈ Cn1 (T ) podemos resolver
este problema como uno de cálculo variacional acotado. Definiendo λ(t) = ψ(t),
ψ(·) ∈ Cn1 (T ) e introduciendo la función hamiltoniana
H(ψ, x, u, t) = hψ(t), f (x, u, t)i − F (x, u, t).
podemos escribir el lagrangiano en la forma
L(ψ, x, ẋ, u, t) = hψ(t), ẋi − F (x, u, t),
las ecuaciones de Euler se escriben entonces como
ẋ = f (x, u, t),
ψ̇ = −
∂H(ψ, x, u, t)
,
∂x
∂H(ψ, x, u, t)
= 0,
∂u
t ∈ T,
y la solución pertenece a la clase de controles u = u(t) continuos y estados
suaves x = x(t). Por otro lado, sea U ⊂ Rm un conjunto cerrado y acotado.
3
Una función u = u(t) que toma valores en U para t ∈ [t0 , t1 ] es un control
admisible. El control admisible u(t) y su correspondiente trayectoria x(t), t ∈ T
que satisface (6) forman un par o proceso admisible para el problema de control
óptimo. Considerando entonces el funcional
Z t1
F (x, u, t)dt → mı́n,
(7)
J(u) = ϕ(x(t1 )) +
t0
tenemos que (6) y (7) conforman el problema de control óptimo, donde ϕ(x) y
F (x, u, t) son continuamente diferenciables respecto a x. Ası́ pues, las diferencias
entre los problemas de cálculo variacional y los problemas de control óptimo son
esencialmente el tipo de función de control y las restricciones sobre el mismo,
0
pues es usual requerir del control que u(·) ∈ P Cm
(T ), ya que este espacio es
mas adecuado para modelar sistemas automáticos de control. Por lo anterior,
tenemos que con
0
u(·) ∈ P Cm
(T ),
u(t) ∈ U ⊆ Rm ,
(8)
el problema deja de ser variacional y por tanto el algoritmo lagrangiano derivado
de las ecuaciones de Euler-Lagrange no aplica, esencialmente puesto que dado
el carácter discontinuo de u sobre T no tiene sentido implementar
∂H(ψ, x, u, t)
= 0,
t ∈ T,
∂u
en su lugar se escribe la Condición de Máximo de Pontryagin para el Hamiltoniano H(ψ, x, u, t) del sistema con respecto al control u(t) ∈ U . Para este tipo
de problemas L.S. Pontryagin en 19532 formuló el denominado Principio del
Máximo, como condición necesaria de mı́nimo para el funcional J. Este resultado ha sido fundamental en el desarrollo de la teorı́a de control óptimo y el
elegido para nuestro trabajo en el estudio de la mejor forma de controlar un
objeto cuya dinámica obedece al sistema lineal en x y en u.
ẋ = f (x, u, t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + h(t)
2.
PRINCIPIO DEL MAXIMO
Hemos formulado realmente en (6) - (8) el denominado problema de control
óptimo con restricciones directas sobre el control, ó problema básico de control
óptimo. Ahora damos condiciones bajo las cuáles el principio del máximo de
Pontryagin aplica. Estas condiciones se denominan P-condiciones, y son:
f es continua respecto a cada uno de sus argumentos (x, u, t) y satisface
una condición tipo Lipschitz para alguna constante L
||f (x + ∆x, u, t) − f (x, u, t)|| ≤ L||∆x||
respecto a x para todo u(t) ∈ U y t ∈ T .
2 Aunque fue dado a conocer a la comunidad internacional en un congreso en el año de
1956, tres años después.
4
Las funciones ϕ, F son continuas respecto a sus argumentos junto con
∂F (x,u,t)
1 ))
y ∂ϕ(x(t
∂x
∂x(t1 ) .
Es de anotar que, de la teorı́a fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias, bajo las P-condiciones el Problema de Cauchy (6) tiene una única
1
solución definida sobre T , perteneciente a la clase de funciones P Cm
(T ), para
cualquier control admisible u = u(t).
2.1.
Formulación general.
El principio del máximo para dominios acotados se formula como sigue:
Teorema 2.1 (Principio del Máximo de Pontryagin.) Suponga que en el
problema básico de control óptimo las P-condiciones son válidas y el proceso admisible (u∗ (t), x∗ (t)) es óptimo. Entonces para todo t ∈ T éste proceso satisface
la condición de Máximo de Pontryagin
H(ψ ∗ (t), x∗ (t), u∗ (t), t) = máx H(ψ ∗ (t), x∗ (t), ũ(t), t),
ũ∈U
c.p.t. t ∈ [t0 , t1 ] (9)
donde ψ ∗ (t) es solución del sistema conjugado:
ψ̇ = −
∂H(ψ, x, u, t)
,
∂x
ψ(t1 ) = −
∂ϕ(x(t1 ))
∂x(t1 )
(10)
Demostración. La demostración está basada en la fórmula de incremento
del funcional objetivo, definida abajo, y en el uso de las denominadas variaciones aculeiformes, de donde a partir del término dominante del incremento
del funcional J se obtiene la condición de máximo como condición necesaria de
optimalidad.
2.2.
Fórmula para el incremento diferencial del funcional
objetivo.
Considere los procesos admisibles (u, x) y (ũ = u + ∆u, x̃ = x + ∆x), es claro
que ∆x satisface
∆ẋ = ∆f (x, u, t),
∆x(t0 ) = 0
donde ∆f (x, u, t) = f (x̃, ũ, t) − f (x, u, t) y para el funcional J tenemos,
Z
t1
∆J(u) = ∆ϕ(x(t1 )) +
Z
t1
hψ(t), ∆ẋ − ∆f (x, u, t)i dt,
∆F (x, u, t) dt +
t0
t0
donde por el momento ψ(t) ∈ Rn es una función arbitraria no trivial para todo
t ∈ T . Introduciendo el Hamiltoniano (ó Función de Pontryagin),
H(ψ, x, u, t) = hψ(t), f (x, u, t)i − F (x, u, t)
5
se puede mostrar que al definir ψ = ψ(t) como solución del problema conjugado
(10) la fórmula de incremento del funcional de costo está dada por
Z
t1
∆J(u) = −
∆ũ H(ψ, x, u, t) + ηũ
t0
donde
Z
t1
ηũ = oϕ (||∆x(t1 )||) −
Z
t0
y el termino dominante −
de optimalidad.
2.3.
t1
oH (||∆x(t)||)dt −
h∆ũ
t0
R t1
t0
∂H(ψ, x, u, t)
, ∆x(t)idt.
∂x
∆ũ H(ψ, x, u, t) dt determina la condición necesaria
El principio del máximo y los sistemas lineales.
Considere el problema de controlar objetos cuya dinámica es descrita por
un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias y restricciones sobre el
control
ẋ = A(t)x + B(t)u + h(t),
x(t0 ) = x0 ,
u(t) ∈ U,
t ∈ T = [t0 , t1 ]
(11)
con funcional objetivo cuadrático
Z
1 t1
[hx(t), P (t) x(t)i + hu(t), Q(t) u(t)i] dt → mı́n, (12)
J(u) = hc, x(t1 )i +
2 t0
donde A(t)n×n , B(t)n×m , h(t)n×1 , son funciones matriciales cn×1 una matriz
constante, P (t) es una matriz simétrica n × n definida no negativa y Q(t) es una
matriz simétrica m × m definida positiva, todas continuas en [t0 , t1 ] y tomamos
U ⊆ Rm . Ahora bien, debido a la convexidad tanto de la parte terminal como de
la parte integral, podemos mostrar que para el problema (11 - 12), denominado
de ahora en adelante problema lineal convexo de control óptimo, el Principio
del Máximo de Pontryagin provee una condición necesaria y suficiente de optimalidad.
Teorema 2.2 (Principio del Máximo para sistemas lineales.) Es claro que
las P-condiciones se satisfacen para el problema lineal de control óptimo. Entonces la condición de máximo (9) para cierta función ψ ∗ = ψ ∗ (t) que satisface
el sistema conjugado es condición necesaria y suficiente de optimalidad del proceso admisible (u∗ (t), x∗ (t)), para casi todo t ∈ [t0 , t1 ].
Demostración. Necesidad se sigue del teorema (2.1). Probaremos suficiencia.
Nuestro Hamiltoniano para el problema lineal convexo o cuadrático de control
óptimo toma la forma
H(x(t), ψ(t), u(t), t) = hψ(t), A(t)x + B(t)u + h(t)i − F (x(t), u(t), t),
6
donde
1
(hx(t), P (t) x(t)i + hu(t), Q(t) u(t)i)
2
y denotando F1 (x, t) = hx(t), P (t) x(t)i y F2 (u, t) = hu(t), Q(t) u(t)i podemos
mostrar que
∂H
, ∆x(t) = 0,
∆ū
∂x
y
oH (||∆(x)||) = −oF1 (||∆(x)||),
F (x, u, t) =
puesto que
∂H(x(t), ψ(t), u(t), t)
= AT (t) ψ(t) − P T (t) x(t).
∂x
Por otra parte la convexidad de F1 (x, t) y la linealidad de ϕ(x(t1 )) = hc, x(t1 )i
implican
oF1 (||∆(x)||) ≥ 0, ∀t ∈ T,
oϕ (||∆x(t1 )||) = 0,
de donde
Z
t1
∆J(u) = −
t1
Z
∆ũ H(ψ, x, u, t)dt +
t0
oF1 (||∆x(t)||)dt.
t0
Ası́, para algún proceso admisible (u∗ (t), x∗ (t)) que satisfaga la condición de
máximo
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t) ≤ 0
tenemos que
∆J(u∗ ) = −
Z
t1
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t)dt +
t0
Z
t1
oF1 (||∆x(t)||)dt ≥ 0,
t0
y por tanto
∆J(u∗ ) = J(ũ) − J(u∗ ) ≥ 0,
la desigualdad anterior confirma la optimalidad del proceso (u∗ (t), x∗ (t)). Ahora bien en dirección a solucionar el problema lineal convexo de control
óptimo, tenemos que hacer uso de la condición de Máximo de Pontryagin para
candidatizar controles admisibles como controles óptimos; dado que hemos visto
que con u(t) ∈ U, t ∈ T un conjunto compacto convexo, en general u(·) ∈
0
P Cm
(T ) y entonces no es permitido utilizar
∂H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t)
=0
∂u
para candidatizar extremos del funcional H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t). Por tanto recurrimos
nuevamente a los incrementos parciales
7
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t) = H(ψ ∗ , x∗ , u∗ + ∆u, t) − H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t),
1
= hB(t) ψ(t) − Q(t)u∗ , ∆ui − hQ(t)∆u , ∆ui
2
siendo Q(t) simétrica definida positiva
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t) ≤ hB(t) ψ(t) − Q(t)u∗ , ∆ui
y ası́ como U es un conjunto convexo, se puede mostrar como condición necesaria
para que u∗ sea maximal la desigualdad
hB(t) ψ(t) − Q(t)u∗ , ∆ui ≤ 0.
Luego la condición necesaria y suficiente de optimalidad en nuestro caso es hallar
u∗ : hW (t), ūi → máx, ∀ū ∈ U, t ∈ T,
donde W (t) = B(t) ψ(t) − Q(t)u∗ .
3.
Método de solución del problema lineal convexo de control óptimo.
Consideremos el problema de minimización del funcional objetivo
1
J(u) = hc, x(t1 )i + hx(t1 ), Q x(t1 )i +
2
1
2
Z
(13)
t1
[2hg(t), x(t)i + 2hd(t), u(t)i + hx(t), P (t) x(t)i + hu(t), Q(t) u(t)i] dt → mı́n,
t0
sujeto al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
ẋ = A(t)x + B(t)u + C(t)p + h(t),
x(t0 ) = q,
t ∈ T = [t0 , t1 ]
(14)
donde las matrices A, B, P y Q son como antes, Qn×n es una matriz constante, c = (c1 , c2 , ..., cn ), p = (p1 , p2 , ..., pn ) y q = (q1 , q2 , ..., qn ) son los
parámetros. El control óptimo u∗ del problema (13) - (14) satisface el principio de Máximo de Pontryagin para cualquier valor fijo de los parámetros
α = (c, p, q), el cual es establecido mediante incrementos parciales como
u∗ (t) = Q−1 (t)B T (t)ψ(t) − Q−1 (t)d(t),
posteriormente determinamos las soluciones del problema de Cauchy (14) y del
sistema conjugado
ψ̇ = −AT (t)ψ(t) − P T (t)x,
(15)
utilizando el denominado algoritmo de sı́ntesis [1] para la región de control
U = Rm .
8
A saber, el problema de valor inicial (14) y su sistema adjunto (15) se reescribe
ẋ = A(t)x + B(t)Q−1 (t)B T (t)ψ − B(t)Q−1 (t)d(t) + C(t)p + h(t), x(t0 ) = q,
ψ̇ = −AT (t)ψ + P T (t)x + g(t),
ψ(t1 ) = −c.
(16)
Para simplificar introducimos la siguiente notación
z(t) = (x(t), ψ(t)) ∈ R2n ,
A(t)
B̄(t)
C(t) 0
2n×2n
Ā(t) =
∈
R
,
C̄(t)
=
∈ R2n×2m ,
P (t) −AT (t)
0
0
B̄ = B(t)Q−1 (t)B T (t) ∈ Rn×n ,
p̄ = (p, 0) ∈ R2n ,
b = (q, −c) ∈ R2n ,
ĥ(t) = h(t) − B(t)Q−1 (t)d(t) ∈ Rn , f (t) = (ĥ(t), g(t)) ∈ R2n ,
In×n 0
0
0
L0 =
∈ R2n×2n ,
L1 =
∈ R2n×2n .
0
0
0 In×n
El problema de valor inicial (16) se puede escribir como
ż = Ā(t)z + C̄(t)p̄ + f (t)
L0 z(t0 ) + L1 z(t1 ) − b = 0
(17)
Para representar la solución de (17) en forma analı́tica podemos
usar el análogo
Z11 (t) Z12 (t)
de la fórmula de Cauchy [2], y en ese caso digamos que Z(t) =
,
Z21 (t) Z22 (t)
es la matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo correspondiente
a (17), donde las Zij (t), (i, j = 1, 2.) son submatrices de dimensión n × n.
∗
Ası́ mismo sean Zij
(t) submatrices de dimensión n × n de la matriz Z −1 (t),
entonces la solución del problema de valor inicial
ż = Ā(t)z + C̄(t)p̄ + f (t),
z(t0 ) = z 0
con z 0 arbitrario puede presentarse como
Z t
0
z(t) = Z(t)z +
Z(t)Z ∗ (τ )C̄(t)p̄ + f (τ ) dτ
(18)
t0
según la fórmula de Cauchy. Para resolver el problema de valor inicial (17) debemos encontrar la solución z̄ 0 del sistema no homogéneo de ecuaciones algebráicas
z̄ 0 : L0 z 0 + L1 z(t1 ) − b = 0.
(19)
La existencia de la solución del sistema (19) y en consecuencia la condición de
solubilidad del problema (17) tendrá la forma
det[L0 + L1 z(t1 )] 6= 0.
9
De (18) y (19) se sigue que
Z t
0
−1
∗
z̄ = (Λ)
b − L1 Z(t1 )
Z (τ )C̄(t)p̄ + f (τ ) dτ ,
t0
donde Λ = L0 + L1 z(t1 ). Reemplazando este valor en la fórmula de Cauchy (18)
llegamos al análogo de la fórmula de Cauchy
Z t1
z(t) = Z(t)(Λ)−1 b − Z(t)(Λ)−1 L1 Z(t1 )
Z ∗ (t)C̄(t)p̄ + f (t) dt
(20)
Z
t0
t
Z ∗ (τ )C̄(t)p̄ + f (τ ) dτ
+Z(t)
t0
Después de verificar la condición de solubilidad del problema, se puede mostrar
que el subvector ψ(t) de la solución z(t) del problema (16) representado según
(20) toma la forma
∗
ψ(t) = [Z21 (t) − Z22 (t)Θ1 ]q − Z22 (t)Z21
(t1 )c
(21)
Z t1
Z t
∗
∗
∗
−Z21 (t)Z22 (t)Z22
(t1 )
Z11
(t)C(t)p dt + Z21 (t)
Z11
(τ )C(τ )p dτ
t0
t1
Z
−Z22 (t)
t0
∗
Z21
(t)C(t)p dt + Z22 (t)
t0
Z
t
∗
Z21
(τ )C(τ )p dτ + N (t)
t0
donde N (t) es un término que depende de Zij (t) y f (t).
Al sustituir ψ = ψ(t) calculado según (21) en la ley de control óptimo
u∗ (t) = Q−1 (t)B T (t)ψ(t) − Q−1 (t)d(t),
obtenemos la fórmula explı́cita de sı́ntesis paramétrica,
u∗ (t) = M (t)q + N (t)c + P (t)p + η(t)
(22)
donde
M (t) = Q−1 (t)B T (t)[Z21 (t) − Z22 (t)Θ1 ],
N (t) = −Q−1 (t)B T (t)Z22 (t)Θ,
Z t
Z
∗
∗
P (t) = Q−1 (t)B T (t) Z21 (t)
Z11
(τ )C(τ ) dτ +Z22 (t)[−Z22
(t1 )Z21 (t1 )
t0
Z
t1
−
t0
∗
Z21
(t)C(t) dt +
t1
∗
Z11
(t)C(t) dt
t0
Z
t
∗
Z21
(τ )C(τ ) dτ ] + N (t),
t0
h
i
η(t) = Q−1 (t)B T (t) Z21 (t)y (1) (t) + Z22 (t)[y (2) (t) − Θ1 y (1) (t1 ) − y (2) (t1 )] .
Aquı́ y (1) (t) y y (2) (t) son solución de los problemas vectoriales de valor inicial
∗
∗
ẏ (1) (t) = Z11
(t)ĥ(t) + Z12
(t)g(t),
y (1) (t0 ) = 0
∗
∗
ẏ (2) (t) = Z21
(t)ĥ(t) + Z22
(t)g(t),
y (2) (t0 ) = 0
10
Ahora bien, aunque (22) determina el control óptimo de forma compleja,
existe un caso particular del problema que conlleva una forma del control mas
simple, dicho problema se denominará problema lineal convexo de control óptimo con parámetros,
ẋ = A(t)x + B(t)u + C(t)p,
x(t0 ) = q,
t ∈ T = [t0 , t1 ]
u(t) ∈ Rm ,
(23)
(24)
y con funcional objetivo cuadrático
Z
1 t1
hu(t), Q(t) u(t)i dt → mı́n,
J(u) = hc, x(t1 )i +
2 t0
(25)
es claro que el problema (23) - (25) es obtenido de (13) - (14) haciendo que
h(t) = g(t) = d(t) ≡ 0 y Q = P (t) = 0. Por lo tanto en este caso
M (t) ≡ 0,
P (t) ≡ 0,
η(t) ≡ 0
y de aquı́ tenemos la ley de control Robusto,
u∗ (t) = N (t)c
en el sentido que solo depende del parámetro c, para todo q = x(t0 ) y todo p.
Algoritmo de sı́ntesis para el problema (23) - (25) simplificado.
En primer lugar utilizaremos el algoritmo de sı́ntesis y el principio del máximo para el problema lineal convexo de control óptimo simplificado
ẋ = B(t)u + C(t)p,
x(t0 ) = q,
t ∈ T = [t0 , t1 ]
(26)
donde A(t) es la matriz nula y el funcional cuadrático es
J(u) = hc, x(t1 )i +
1
2
Z
t1
[hu(t), Q(t) u(t)i] dt → mı́n,
(27)
t0
Entonces
1
H(ψ, x, u, t) = hψ(t), B(t)u + C(t)pi − hu(t), Q(t) u(t)i
2
y es claro que
u∗ (t) = Q−1 (t)B T (t)ψ(t).
Por otro lado del sistema conjugado
ψ(t1 ) = −c
ψ̇(t) = 0,
11
(28)
tenemos
ψ ≡ −c,
t∈T
y entonces
u∗ (t) = −Q−1 (t)B T (t) c.
Ahora verificamos que u∗ satisface la condición de máximo de Pontryagin. En
efecto, se tiene que,
1
H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t) = −hψ(t), B(t)u∗ (t) + C(t)pi − hu∗ (t), Q u∗ (t)i
2
1
c, B(t) (−Q−1 (t)B T (t) c) − hc, C(t)pi
2
y similarmente para ũ = u∗ + ∆u,
=
1
H(ψ ∗ , x∗ , u∗ +∆u, t) = hψ(t), B(t)u∗ +B(t)∆ui+hψ(t), C(t)pi− hu∗ +∆u, Q(t) (u∗ +∆u)i
2
1
1
c, B(t) (−Q−1 (t)B T (t) c) − hc, C(t)pi − h∆u, Q(t)∆u)i
2
2
se comprueba finalmente que
H(ψ ∗ , x∗ , ũ, t) =
1
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , u∗ , t) = H(ũ, t)−H(u∗ , t) = − h∆u, Q(t)∆ui ≤ 0,
2
c.p.t t ∈ T, ∀ũ ∈ Rm .
Ahora resta verificar que el proceso (x∗ , u∗ ) es óptimo. Para ello note que, del
sistema (26) y el Hamiltoniano (28) tenemos que
ẋ =
∂H
= −B(t) (−Q−1 (t)B T (t) c) + C(t)p
∂ψ
de donde
Z
t1
x(t1 ) = −
B(t) (−Q−1 (t)B T (t) c) + C(t)p dt + q
t0
luego el funcional de rendimiento es dado por
Z
1 t1 ∗
J(u∗ ) = hc, x(t1 )i +
hu (t), Q(t) u∗ (t)i dt
2 t0
Z
= c,
t1
t0
Z
1 t1 −1
−1
T
hQ (t)B T (t) c, B T (t)ci dt
B(t) (−Q (t)B (t) c) + C(t)p dt + q +
2 t0
y ası́
1
J(u∗ ) = − hc ,
2
Z
t1
B(t) (−Q−1 (t)B T (t))c dti + hc ,
t0
Z
t1
C(t)p dti + hc , qi.
t0
12
Por otro lado
Z
∗
t1
−1
J(u +∆u) = −hc,
B(t) (−Q
Z
T
t1
(t)B (t)) c dti+hc ,
t0
B(t)∆u+C(t) p dt+qi
t0
Z
t1
−hc ,
t0
Z
1
B(t)∆u dti +
2
t1
h∆u, Q(t)∆ui dt.
t0
Ası́ pues,
1
∆J(u ) = J(u + ∆u) − J(u ) =
2
∗
∗
∗
Z
t1
h∆u, Q(t)∆ui dt ≥ 0, ∀ũ ∈ U
t0
puesto que Q(t) es una matriz simétrica definida positiva en T , y de esta manera
hemos mostrado que el proceso (u∗ , x∗ ) es el mejor en el sentido que minimiza
el funcional J y satisface la condición de máximo de Pontryagin.
En segundo lugar, para el caso en que la región de controles admisibles U es
elegida compacta convexa, como por ejemplo el paralelepı́pedo m-dimensional
definido por,
U = {u(t) ∈ Rm : |ui (t)| ≤ `i , t ∈ T, i = 1, 2, 3, ...m., ` > 0},
(29)
mostraremos que el proceso (u∗ , x∗ ) sigue siendo óptimo para nuestro problema lineal convexo simplificado (26) - (27), para ello verificamos como antes la
condición de máximo y la minimización del funcional J, nuevamente utilizando
el resultado obtenido con el algoritmo de sı́ntesis y teniendo en cuenta que la
restricción impuesta equivale a tener
|(−Q−1 (t)B T (t) c)i | ≤ `i ,
i = 1, ..., m,
` = (`i , ..., `m ).
Ası́ pues note que si u(t) = ` entonces
1
H(ψ ∗ , x∗ , `, t) = −hc, B(t) ` + C(t)pi − h` , Q(t)`i
2
y
1
H(ψ ∗ , x∗ , `+∆u, t) = −hc, B(t) `+B(t)∆u+C(t)pi−h` , Q(t)∆ui− h∆u , Q(t)∆ui
2
de donde obtenemos
1
∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , `, t) = H(ũ, t)−H(`, t) = −hB T (t)c+Q(t) ` , ∆ui− h∆u , Q(t)∆ui
2
(30)
y observamos que ∆ũ H(ψ ∗ , x∗ , `, t) ≤ 0 dependiendo de sign hB T (t)c+Q(t) ` , ∆ui.
Ahora bien analizando nuestro funcional J,
Z t1
Z
1 t1
J(`) = c ,
[B(t) ` + C(t) p ] dt + q +
h` , Q(t)`i dt
2 t0
t0
13
y su incremento
Z
J(`+∆u) = c ,
t1
Z
[B(t) ` + C(t) p ] dt + q +hc ,
t1
B(t)∆u dti+
t0
t0
Z
t1
h∆u , Q(t) `i dt +
+
t0
1
2
Z
1
2
Z
t1
h` , Q(t)`i dt
t0
t1
h∆u, Q(t)∆ui dt
t0
note que
1
∆J(`) = J(` + ∆u) − J(`) = hB T (t)c + Q(t) ` , ∆ui + h∆u , Q(t)∆ui (31)
2
lo cual implica que como en (30), ∆J(`) ≥ 0 depende de sign hB T (t)c +
Q(t) ` , ∆ui, lo cual sugiere que apartir de (30) - (31) podemos definir nuestro control óptimo u∗ (t) = (u∗i (t), ..., u∗m (t)), donde cada u∗i (t) es dado por
(−Q−1 (t)B T (t) c)i ,
si |(−Q−1 (t)B T (t) c)i | ≤ `i , t ∈ T,
u∗ (t) =
−1
T
sign(−Q (t)B (t) c)i `i , si |(−Q−1 (t)B T (t) c)i | > `i , t ∈ T.
(32)
Finalmente se analizará si una vez obtenido un par óptimo (x∗ (t), u∗ (t)) para
nuestro sistema (23) y funcional (25), éste continuará siendo óptimo una vez se
ha perturbado mediante α = (c, p, q), es decir, nos preguntamos si
u∗ = v(t, α)
sigue siendo un control óptimo para nuestro problema lineal convexo perturbado
y con restricciones directas sobre el control, como las formuladas en (28), o mas
generales. Más aún, deseamos verificar si sobre T , podemos definir el control
óptimo como un hı́brido entre control bang-bang y nuestro control (32) obtenido
del algoritmo de sı́ntesis.
Referencias
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a linear-quadratic optimal control problem, Sizv. Vyssh. Uchebn. Zaved.
Mat. 1999, No. 12, 71-73; translation in Russian Math. (Iz. VUZ), No. 12,
67-69(2000).
[2] O.O. Vasilieva, Two parameter algorithm for optimal control problems
with boundary conditions, Saitama Mathematical Journal, Vol. 20 (2002),
45-62.
[3] O.V. Vasiliev,Optimization Methods, Advanced series in mathematical
science and engineering WFP, 1996.
[4] L.D. Berkovitz, Optimal Control Theory, Springer-Verlag, 1974.
14
[5] V.G. Boltyanskii, Mathematical methods of optimal control, Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1971.
[6] R. Gabasov, F. Kirillova, Methods of optimization, Optimization Software, Inc., 1988.
[7] V.I. Arnold, Ordinary Differential Equations, MIT Press. E.U.A., 1978.
15