Problemas Resueltos

Optimización y Programación Lineal
Problemas Resueltos sobre Análisis de Sensibilidad
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17 de junio de 2014
Matrı́cula
Nombre
1. El granjero Leary cultiva trigo y maı́z en su granja con un terrero cultivable de 45 acres. Él puede vender a lo más 140
bushels de trigo y 120 bushels de maı́z. Cada acre que el planta con trigo produce 5 bushels mientras que cada acre plantado
con maı́z produce 4 bushels. El trigo se vende a 30 dólares el bushel mientras que el maı́z a 50 dólares el bushel. Para cosechar
un acre de trigo requiere 6 horas de labor; cosechar un acre de maı́z requiere 10 horas. Se pueden contratar hasta 350 horas
de labor a 10 dólares la hora. Sea A1 el número de acres plantados con trigo, A2 el número acres plantados con maı́z; y L
las horas de labor contratadas. Para maximizar las ganancias, el granjero formuló y resolvió un modelo lineal cuyo reporte
aparece en la figura 1. Usándolo, conteste las siguiente preguntas.
Si sólamente quisiera plantar 40 acres, ¿cuál serı́a el valor del óptimo?$3,875
Solución
La variación 40 − 45 = −5 es un decremento de 5 unidades ocurre en una restricción obligada cuyo máximo decremento
de permanencia de base es 6.666. Ası́ el decremento no se excede y la base sigue siendo óptima. Como la modificación
ocurre en los lados derechos de restricciones obligadas lo más seguro es que las variables básicas cambien de valor; los
nuevos valores no los conocemos pero podemos calcular el valor del óptimo usando el precio sombra de la restricción
2 (ROW 2) Dual Prices: 75) que es la asociada a la cantidad de acres disponibles:
Nuevo valor z = 4250 + −5 · 75 = 3875
Si el precio del trigo cayera a 26 dólares el bushel, ¿cuál serı́a el valor del óptimo del granjero? $3,750
Solución
En este caso el coeficiente de A1 pasarı́a de ser 150 = 30 · 5 a ser 130 = 26 · 5. Es decir, que el coeficiente de A1 tendrı́a
una variación de −20 como el máximo decrecimiento permitido es 30, entonces la base sigue siendo óptima. Como el
cambio ocurre en los coeficientes de la función objetivo y no en los lados derechos de las restricciones, la región factible
es la misma y por tanto la esquina óptima es la misma y por tanto, los valores de las variables básicas siguien sin
cambios A1=25, A2 =20 y L=350. Podemos determinar el valor del óptimo usando el decremento en el coeficiente y
el valor de A1:
Nuevo valor z = 4250 + −20 · 25 = 3750
Si sólo 130 bushels de trigo pudieran ser vendidos, ¿cambiarı́a la respuesta al problema referente a la forma de plantar
el terreno y maximizar las ganancias?No hay cambios
Solución
Por un lado vemos que el nuevo valor 130 está en el intervalo permitido para mantener la base actual. Al observar la
salida de lindo vemos que la restricción marcada como 5 tiene una valor de holgura de 15. Es decir, que esos 10 valores
no afectarán los valores de la variables básicas. Por tanto, tanto el valor del óptimo como los valores de las variables
de decisión siguen aplicando.
2. Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos (P i) que vende a granel. Estos productos están basados
en 4 tipos de materias primas (M P j). El personal de operación ha planteado el modelo para maximizar la utilidad neta
y lo ha resuelto; se tiene el reporte de LINDO, el cual se muestra a continuación. En los incisos a), b), d) y e) cruce la
respuesta y, si ası́ lo requiere, complemente su respuesta llenando el espacio marcado.
1
2
Figura 1: Reporte de LINDO para el granjero Leary
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
1)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
280.0000
VARIABLE
P1
P2
P3
ROW
MP1)
MP2)
MP3)
MP4)
VALUE
REDUCED COST
2.000000
0.000000
0.000000
7.000000
8.000000
0.000000
SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
21.000000
0.000000
0.000000
10.000000
0.000000
8.000000
4.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
P1
60.000000
20.00000
5.600000
P2
28.000000
7.000000
INFINITY
P3
20.000000
2.500000
5.000000
ROW
MP1
MP2
MP3
MP4
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
45.000000
INFINITY
21.000000
20.000000
4.000000
8.000000
15.000000
5.000000
7.000000
15.000000
INFINITY
6.000000
a) Suponga que la utilidad del producto 2 aumenta 8 unidades.
¿Es posible estimar el cambio en el óptimo?
NO vs SI y el valor del óptimo será:
Solución
Como el incremento (8) en el coeficiente es mayor que el máximo permitido(7), NO es posible estimar el cambio en el
óptimo.
b) Suponga que la utilidad del producto 1 aumenta 12 %, la utilidad del producto 2 aumenta en 1.2 unidades de capital
y que la utilidad del producto 3 disminuye 2 unidad de capital;
¿Es posible estimar el cambio en el óptimo?
NO vs SI : El valor del óptimo será:
Solución
3
Para aplicar la regla del 100 %, determinamos el porcentaje de aumento total:
1.2 −2 = 0.12 + 0.1714 + 0.4 = 0.6914 < 1
0.12 +
+
7
5 Por tanto, SÍ es posible calcular el cambio en el óptimo:
∆z = (2) × ((0.12) × 60) + (0) × (1.2) + (8) × (−2) = −1.6
con estos cambios el valor del óptimo será 280 − 1.6 = 278.4.
c) Determine el rango de variación de la materia prima 3 donde es posible estimar el cambio en el valor del óptimo:
[
,
]
Solución
[15 − 5, 15 + 7] = [10, 22]
d ) Suponga que le ofrecen a la empresa un paquete que incluye 2 unidades de la materia prima 1, 2 unidades de la materia
prima 2 y 2 unidades de la materia prima 3 a un costo de 25 unidades de capital, ¿le conviene comprar?
NO vs SI : Porque el beneficio serı́a de:
Solución
El cambio total porcentual es:
2
2 2
0
+ + +
= 0.9 ≤ 1.00
∞ 4 5 ∞
Por tanto, sı́ es posible estimar el cambio en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de las
restricciones:
(0) × (2) + (10) × (2) + (8) × (2) + 0 × (0) = 36
Teniendo un beneficio de 36 a un costo de 25, SÍ conviene comprar.
e) Suponga que desafortunadamente se ha dañado en bodega un lote con dos unidades de cada tipo de materia prima
que la ha dejado inservible. Diga usted si acaso puede calcular el impacto sobre la utilidad neta, y de ser posible, diga
en cuántas unidades monetarias se estima la pérdida.
¿Es posible estimar el cambio en el óptimo?
NO vs SI : El valor del óptimo será:
Solución
El cambio total porcentual es:
−2 −2 −2 −2 +
+
+
21 8 7 6 = 0.0952 + 0.2500 + 0.2657 + 0.3333 = 0.96 ≤ 1
Por consiguiente, SÍ podemos estimar el impacto en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de
las restricciones:
(0) × (−2) + (10) × (−2) + (8) × (−2) + (0) × (−2) = −36
el nuevo óptimo será de 280 − 34 = 244.