1 Control´Optimo 1.1 Introducción

1
Control Óptimo
1.1
Introducción
El control óptimo es una rama del control moderno que se relaciona con el diseño de controladores
para sistemas dinámicos tal que se minimice una función de medición que se denomina ı́ndice de
desempeño o costo del sistema.
En términos mas formales, su objetivo principal de la teorı́a de control óptimo es determinar las
señales de control que causan a un proceso el satisfacer las restricciones fı́sicas que se tengan y
asimismo minimizar o maximizar segun sea el caso cierto criterio de desempeño deseado.
La solución de algunos problemas de control no es posible obtenerla usando métodos de control
clásicos. Esto puede ser ya sea debido a su complejidad, o que se requieran satisfacer ciertos
parámetros relacionados con su desempeño. Un ejemplo tı́pico de esto es el diseño de un sistema
de control de altitud para una nave espacial que minimice el gasto de combustible.
El problema de control óptimo se puede representar matematicamente en las siguientes partes:
1. La descripción del proceso a controlar (modelo del sistema).
2. La descripción de las restricciones fı́sicas.
3. La descripción del objetivo buscado.
4. La descripción de algun criterio para describir el desempeño óptimo (ı́ndice de desempeño).
Ejemplos básicos de control óptimo.
Enunciado de control óptimo.
1.1.1
Problema tı́pico de control óptimo
Como se ha mencionado, hay tres partes principales que se deben considerar en un problema
de control óptimo. El modelo matemático del sistema dinámico, las restricciones a las que está
sujeto el sistema, y el ı́ndice de desempeño que se desea evaluar. A continuación se estudia un
problema particular analizando estas tres partes principales.
Modelo Matemático
Descripción matemática sencilla o simplificada de un sistema fı́sico, que en forma adecuada
describe la respuesta del sistema real a una o varias entradas. La siguiente es una representación
de un modelo de un sistema dinámico como ecuaciones diferenciales en términos de variables de
estado:
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t); x ∈ Rn , u ∈ Rm
(1.1)
ẋ1 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)
ẋ2 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)
..
.
ẋn (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
donde el vector de estados del sistema se define como:




u1 (t)
x1 (t)
 u2 (t) 
 x2 (t) 




x(t) =  ..  , u(t) =  .. 
 . 
 . 
um (t)
xn (t)
(1.6)
A continuación se presenta un ejemplo tı́pico de control óptimo, el cual ilustra lo que representa
una restricción y de forma similar el ı́ndice de desempeño.
Ejemplo 1.1.1. Un automovil está inicialmente en reposo. Después del tiempo inicial, este se
pone en movimiento en linea recta hasta detenerse a una distancia e.
Para identificar y definir los elementos del sistema de control óptimo, el problema se puede
plantear de la siguiente manera:
Definir las variables del problema.
Se sabe que y(t) es la distancia o desplazamiento recorrido del auto desde 0 en el tiempo t.
De los conocimientos básicos de fı́sica, es posible conocer que la derivada de la variable anterior
ẏ(t) = dy(t)/dt es la velocidad del auto en el tiempo actual t.
Ası́mismo, la aceleracin del auto se representa por la derivada de la velocidad, lo cual también
es la segunda derivada del desplazamiento dẏ(t)/dt = ÿ(t) = d2 y(t)/dt2 .
Simplificando el modelo podemos representar el automovil como una masa que puede acelerar o
deacelerar utilizando el freno, lo cual se puede expresar por la siguiente ecuación diferencial:
¨ = α(t) + β(t)
d(t)
(1.7)
donde α es la aceleración y β a la desaceleración debido al frenado.
Seleccionando variables de estado como posición y velocidad tenemos:
x1 (t) = d(t)
˙
x2 (t) = d(t)
(1.8)
(1.9)
u1 (t) = α(t)
u2 (t) = β(t)
(1.10)
(1.11)
y el control está dado como
de donde u1 y u2 representa la aceleración y desaceleración, respectivamente.
Las ecuaciones de estado
ẋ1 (t) = x2 (t)
ẋ2 (t) = u1 (t) + u2 (t)
expresadas en forma matricial se representan como
¸
¸
·
·
0 0
0 1
u(t); x(t) ∈ R2 , u(t) ∈ R2
x(t) +
ẋ(t) =
1 1
0 0
sabiendo de antemano que el intervalo de tiempo es t ∈ [t0 , tf ]
2
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Definición 1.1.1. La historia de valores de control de entrada durante el intervalo [t0 , tf ] se
expresa como u y es llamado la historia de control.
Definición 1.1.2. La historia de valores de estado en el intervalo [t0 , tf ] es llamado una trayectoria de estado y se expresa como x.
Restricciones fı́sicas
De acuerdo al enunciado de nuestro ejemplo, sabemos que inicialmente el auto se encuentra en
0 y su posición final será el punto e, por lo tanto
x1 (t0 ) = 0
x1 (tf ) = e
(1.15)
(1.16)
Además, como inicialmente se encuentra en reposo y asimismo se detiene en su estado final,
tenemos que
x2 (t0 ) = 0
x2 (tf ) = 0
De forma matricial, estas condiciones de frontera se expresan como
· ¸
· ¸
e
0
, x(tf ) =
x(t0 ) =
0
0
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Asumiendo que el automovil no puede ir en reversa, tenemos además la restricci
on adicional:
0 ≤ x1 (t) ≤ e
0 ≤ x2 (t)
(1.20)
(1.21)
en otras palabras, esto significa que no puede haber velocidades negativas.
Restricciones de aceleración impuesta en las entradas de control
aceleración depende de la capacidad del motor del automovil.
aceleración depende de los parámetros del sistema de frenado
Si consideramos que la aceleración máxima y la desaceleración máxima son M1 y M2 respectivamente, los controles deben satisfacer las siguientes condiciones:
0 ≤ u1 (t) ≤ M1
−M2 ≤ u2 (t) ≤ 0
(1.22)
(1.23)
Asimismo, se debe considerar que el automovil comienza con una cantidad G de combustible
y no hay forma de abastecerlo de más combustible en el trayecto. El gasto de combustible de
acuerdo a las es
Ztf
[k1 u1 (t) + k2 x2 (t)]dt ≤ G
(1.24)
t0
lo cual asume que la razon de gasto de combustible es proporcional a la aceleración y velocidad
y sus constantes de proporcionalidad k1 y k2 .
3
Definición 1.1.3. Una historia de control que satisface las restricciones de control en el intervalo
de tiempo [t0 , tf ] se llama control admisible.
El conjunto de controles admisibles es U y la expresion u ∈ U define que la historia de control u
es admisible.
Definición 1.1.4. Una trayectoria de estado que satisface las restricciones de variable de estado
durante el intervalo de tiempo [t0 , tf ] se llama trayectoria admisible
El conjunto de trayectorias de estado admisibles se expresa como X y x ∈ X representa que la
trayectoria dada por x es admisible
Algunos otros ejemplos de control óptimo:
1. Cilindro de aluminio
asumiendo que se tiene un volumen v = 100, se busca encontrar para qué radio r y altura
h se tiene la menor cantidad de material utilizado para construirlo.
2. Sistema de Ecuaciones Lineales
En un sistema de ecuaciones:
Ax = y,
m < n
y ∈ Rm×n
(1.25)
(1.26)
tenemos menos ecuaciones que variables desconocidas por lo cual resulta en un número
infinito de soluciones.
De todas las soluciones existentes para x, cuál debemos escojer? De todas las posibles
soluciones para x, la solución correcta está dada como la que tiene la menor norma.
3. En un sistema con incertidumbre o ruido, se puede presentar una restricción en algunos de
los estados y/o entradas del sistema.
Por ejemplo, puede ser un conocimiento limitado de la variable de entrada tal como la
corriente o voltaje en un circuito eléctrico, o también en la salida como lo es en el caso
de un problema en que se quiera que la velocidad no sobrepase un lı́mite superior. Otro
punto de vista de ver esto es considerarlo desde un enfoque cuantitativo. Encontrar u para
minimizar el tiempo en que se va de a a b. También, minimizar la energı́a (este puede ser
un problema de minimización de combustible en el cual se trate de aprovechar al máximo
el combustible disponible.
4. Robótica
Robot redundante: esto quiere decir que el extremo del robot puede llegar de una posición
inicial a una final mediante un número infinito de posiciones. Aprovechar al máximo la
redundancia del sistema.
Las tres cosas en común que tenemos en estos ejemplos son:
• las restricciones que hay en el sistema.
4
• el ı́ndice de calidad o costo que se requeiere satisfacer para llegar a la solución.
• la parametrización del modelo (un modelo con parámetros o entradas que se puedan tomar
distinto valor)
Ejemplo:
Integrador.
ẏ = u
(1.27)
Las condiciones iniciales y finales del sistema son:
y(t0 ) = y0
y(tf ) = yf
(1.28)
(1.29)
Se quiere llevar el estado del sistema y del estado inicial y0 al estado final yf tan rápido como
sea posible.
Si utilizamos un control dado por el impulso
u = (yf − y0 )δ(t − t0 )
(1.30)
la integral de esta entrada u cambiará el estado a la salida en forma instantanea.
1.2
Definiciones importantes en control óptimo
Considerando el modelo del sistema dado por:
ẋ = a(t, x, u)
x(t0 ) = x0
(1.31)
(1.32)
Los siguientes son términos que se usarán en el estudio de control óptimo:
• Trayectoria de Estado
Es la solución a las ecuaciones diferenciales del modelo las cuales describen el modelo del
sistema dináico, en [t0 , tf ]
• Control Admisible y Trayectoria Admisible
Un control admisible está dado por una ley de control que satisface las restricciones en el
intervalo [t0 , tf ].
Una trayectoria admisible es la trayectoria de estado que satisface las restricciones de variable de estado durante el intervalo de tiempo [t0 , tf ].
• Conjunto objetivo
Región en el espacio X × T donde se encuentra la trayectoria del sistema. Un caso mas
concreto de este término es la región hacia donde se dirige la trayectoria, por ejemplo en
cierto caso se necesitará que un sistema no tenga que llegar exactamente al origen, pero sı́
a una vecindad del origen.
5
La dimensión de la trayectoria se dá por la dimensión del sistema. Por ejemplo, en un
problema de movimiento, como lo es uno descrito por la Ley de Newton usando dos estados,
posición y velocidad.
2 figuras
• Índice de Desempeño J
– Tiempo mı́nimo:
J =
Ztf
dt
(1.33)
t0
en donde tf es la variable a minimizar del sistema.
– Energı́a mı́nima
J
1
=
2
Ztf
uT Rudt
(1.34)
Ztf
||u||2R dt
(1.35)
t0
1
=
2
t0
||x|| =
√
xT x
(1.36)
donde 1.34 representa la forma cuadrática que también representa la norma Euclidiana
con ganancia R y 1.35 representa el cuadrado de una norma de base dos. La matriz R
debe ser definida positivamente para que le de un peso a cada coordenada del control.
En general el ı́ndice de desempeño se escribe como:
J = h(r(tf ), x(tf ), tf ) +
Ztf
g(r(t), x(t), u(t), t)dt
(1.37)
t0
donde h y g son funciones escalares.
Dos condiciones sumamente importantes para poder ya sea controlar nuestro sistema, y/o estimar
algunso de sus estados en base a ciertas mediciones que tengamos disponibles son la controlabilidad y observabilidad de nuestro modelo del sistema dinámico.
Definición 1.2.1. Controlabilidad
Sea el sistema
ẋ(t) = a(x(t), u(t), t); x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm
para t ≥ t0 , el cual tiene un estado inicial x(t0 ) = x0 .
6
(1.38)
Si existe un tiempo finito t1 ≥ t0 y un control u(t), t ∈ [t0 , tf ], el cual lleve el estado inicial x0 hacia
el origen en un instante de tiempo t1 se dice que el estado inicial x0 es controlable en el tiempo
t1 . Si todos los valores de x0 son controlables para cualquier t0 , el sistema es completamente
controlable.
Al considerar problemas en que el objetivo es llevar el sistema de un estado inicial arbitrario
al origen mientras se minimiza un ı́ndice de desempeño, la controlabilidad del sistema es una
condición necesaria para la existencia de una solución.
Un sistema lineal invariante en el tiempo es controlable si y solo si la matriz n × mn
.
.
.
.
C = [B .. AB .. A2 B .. · · · ..An−1 B]
(1.39)
tiene rango pleno ρ(C) = n.
Definición 1.2.2. Observabilidad. Si es posible determinar el estado x(t0 ) = x0 a partir de
observar la salida y(t) durante el intervalo de tiempo finito [t0 , t1 ], el estado x0 se dice que es
observable en el tiempo t0 . Si todos los estados x0 son observables para todo t0 , el sistema es
llamado completamente observable.
Análogo a la observabilidad, el sistema lineal e invariante en el tiempo 1.38 es observable si y
solo si la matriz n × qn
.
.
.
.
O = [C T .. AT C T .. (AT )2 C T .. · · · .. (AT )n−1 C T ]
(1.40)
tiene rango pleno ρ(O) = n
Estatuto general de control óptimo
Dados el modelo, las restricciones y el ı́ndice, encontrar el control óptimo u, y las trayectorias de
estado mediante las cuales el ı́ndice de desempeño J tome un valor mı́nimo. Antes de resolver
un problema de control óptimo, uno debe cuestionarse las siguientes preguntas:
1. Es posible pensar que exista un control óptimo para el sistema?
2. Es único?
3. Puede encontrarse? (matemáticamente hay solución?)
4. El valor óptimo J ∗ es mı́nimo global o local?
5. Es mediante un control de lazo abierto o lazo cerrado?
1.3
Optimización numérica
La optimización tiene varias formas de hacerse.
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