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Pauta Control 1
Problema (1)
La velocidad tiene componentes
vr = ṙ, vθ = rθ̇ = 0, vφ = r sin αφ̇
luego el Lagrangiano es
L=
2
1
m(ṙ2 + r2 sin2 αφ̇ ) − mgr cos α,
2
(1 p)
de donde
r̈ − r sin2 αφ2 + g cos α = 0
d
m(r2 sin2 αφ̇) = 0
dt
(a) 1 p)
El Hamiltoniano es
2
1
m(ṙ2 + r2 sin2 αφ̇ ) + mgr cos α
2
H
= E=
pr
pφ
= mṙ
= mr2 sin2 αφ̇
luego
p2φ
p2r
+ mgr cos α
+
2m 2mr2 sin2 α
y las ecuaciones de Hamilton son
H=
pr
pφ
ṗr
ṗφ
= mṙ
= (m sin2 αr2 )φ̇
p2φ
− mg cos α
=
mr3 sin2 α
= 0
(b) 1 p)
Cantidades conservadas (corregir error: ṙ(0) = 0)
pφ
H
= mr2 sin2 αφ̇ = mr02 sin2 αΩ
(c) 1 p)
2
1
1
= E = m(ṙ2 + r2 sin2 αφ̇ ) + mgr cos α = mr02 sin2 αΩ2 ) + mgr0 cos α
2
2
Extremos de r.Haga ṙ = 0
1 2 2
1 2 2 2
mr sin αφ̇ + mgr cos α =
mr sin αΩ2 + mgr0 cos α
2
2 0
Ω2 r02 sin2 α
(r0 + r) = r2
2g cos α
1
llamando p =
Ω2 r02 sin2 α
2g cos α
r=
Si permitimos que θ varie
L=
1
1p 2
p + 4pr0
p+
2
2
(d) 1 p)
2
2
1
m(ṙ2 + r2 sin2 θφ̇ + r2 θ̇ ) − mgr cos θ
2
la ecuación para θ será (δW = N rδθ)
d
∂ 1 2 2 2
mr2 θ̇ −
( mr sin θφ̇ − mgr cos θ) = N r
dt
∂θ 2
de donde haciendo θ = α
2
N = −mr sin α cos αφ̇ − mg sin α
(e) 1 p)
Problema (2)
R
θ
El lagrangiano es
2
L = mR2 θ̇ − (mgR sin θ − mgRθ)
mR2 θ̈ −
d
(mgR sin θ − mgRθ) = 0
(a) 3 p)
dθ
g
(cos θ − 1)
θ̈ =
R
V = mgR sin θ − mgRθ)
0
V (θ) = mgR(cos θ − 1)
V 00 (θ) = −mgR sin θ
V 0 (0) = 0, V 00 (0) < 0 máximo, inestable
(b) 3 p)
2
Problema (3)
a velocidad tiene componentes
vr = ṙ, vθ = rθ̇ = 0, vφ = r sin αΩ
luego el Lagrangiano es
L=
1
m(ṙ2 + r2 sin2 αΩ2 ) − mgr cos α,
2
de donde
r̈ − r sin2 αΩ2 + g cos α = 0
(a) 3 p)
El Hamiltoniano es
H
pr
H
= pr ṙ − L
= mṙ
1
=
m(ṙ2 − r2 sin2 αΩ2 ) + mgr cos α
2
3
(b) 3 p)