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1. Funciones diferenciables
Volvamos sobre el significado de la derivada de una función real de una variable real,
Como vimos en el capı́tulo anterior, f : (a, b) −→ R derivable en x0 , equivale a que
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
lim
x→x0
lo que a su vez equivale a que
lim
x→x0
Funciones . . .
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )
f (x) − y(x)
= lim
=0
x→x
x − x0
x − x0
0
donde y(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x0 .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
f (x)
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
f (x0 )
x0
Funciones . . .
Regla de la Cadena
x→x0
II
J
I
x
Con cualquier recta y(x) = f (x0 ) + m(x − x0 ) que pase por el punto (x0 , f (x0 ) y tenga
pendiente m, el lı́mite
lim
JJ
y(x)
f (x) − y(x)
x − x0
es una indeterminación del tipo 0/0, pero sólo en el caso de la recta tangente, el valor del lı́mite
es cero.
En el caso de funciones de dos variables, para que el plano generado por las rectas tangentes
en las direcciones de los ejes sea de verdad un plano tangente a la gráfica de f en x0 se necesita
que
lim
f (x, y) − f (x0 , y0 ) −
(x,y)→(x0 ,y0 )
df
(x0 , y0 )(x
dx
− x0 ) −
df
(x0 , y0 )(y
dy
k(x, y) − (x0 , y0 )k
− y0 )
=0
y
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
df
df
(x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )
dx
dy
es la ecuación del plano tangente
Esta fórmula se puede generalizar para funciones vectoriales de n variables, buscando la
ecuación de un subespacio afı́n de dimensión n en Rm , que pase por F (x~0 ) que sea“tangente” a
F.
Llamando {v~1 , . . . , v~n } a la familia de los vectores directores del subespacio, su ecuación es
de la forma
~ 0 ) + h1 v~1 + · · · + hn v~n
~x = F (x
z(x, y) = f (x0 , y0 ) +
donde h1 , . . . , hn son números reales. Escribiendo las coordenadas de cada vector, ponemos
v~i = (vi1 , . . . , vim ) para cada i entre 1 y n, y la ecuación anterior queda
 


 
h1
x1
f1 (x0 )
v11 . . . vn1
  ..
 ..  
..
..   .. 
..
+ .
 . =
.
.  . 
.
fm (x0 )
v1m . . . vnm
hn
xm

La aplicaciónL : Rn −→ Rm definida por


v11 . . . vn1

..  
..
L(h1 , . . . , hn ) =  ...
.
. 
v1m . . . vnm
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

h1
.. 
. 
hn
es una aplicación lineal de Rn en Rm , asociada al espacio afı́n, de modo que la ecuación del
subespacio se puede escribir
~ 0 ) + L(~h); ~h ∈ Rn
~x = F (x
La descripción analı́tica del hecho de que este subespacio afı́n sea tangente a la imagen de F
en x0 se expresa de la siguiente manera
Funciones . . .
Regla de la Cadena
F (x~0 + ~h) − F (x~0 ) − L(~h) ~
=0
~h→0
k~hk
lim
JJ
II
J
I
o para que se parezca más a las ecuaciones anteriores de la recta y el plano tangente, llamando
x = x0 + h
lim
~
x→x~0
F (~x) − F (x~0 ) − L(~x − x~0 ) ~
=0
k~x − x~0 k
Definición (Función diferenciable).
Sea U un abierto de Rn , F : U −→ Rm una función, y x0 ∈ U un punto de U . Se dice que F
es diferenciable en x0 si existe una aplicación lineal Lx0 : Rn −→ Rm que verifica
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
F (x~0 + ~h) − F (x~0 ) − Lx0 (~h) ~
= 0 (∈ Rm )
~
~h→0
khk
lim
Esta aplicación lineal se denomina ”diferencial de F en x0 ”, y se denota por dF (x0 )
Observaciones:
1. dF (x0 ) está bien definida, en el sentido de que si existe alguna aplicación lineal cumpliendo
la condición de arriba, es única.
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
En efecto, supongamos que además de Lx0 hay otra aplicación lineal L de Rn en Rm ,
L 6= Lx0 , que verifica también
F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h)
=0
h→0
khk
lim
Entonces
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h)
F (x0 + h) − F (x0 ) − Lx0 (h)
= lim
=0
h→0
h→0
khk
khk
lim
y pasando todo al mismo lado de la igualdad
F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h) F (x0 + h) − F (x0 ) − Lx0 (h)
lim
−
=0
h→0
khk
khk
de donde, operando, queda
L(h) − Lx0 (h)
=0
h→0
khk
lim
Ahora bien, si L 6= Lx0 , existe algún vector v 6= 0 en Rn tal que L(v) 6= Lx0 (v). Consideramos la sucesión vn = v/n, que es una sucesión que tiende a cero, y
L(vn ) − Lx0 (vn )
=
kvn k
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
− n1 Lx0 (v)
L(v) − Lx0 (v)
=
1
kvk
kvk
n
es constante, y no tiende a cero cuando n tiende a infinito, lo que es una contradicción.
Ası́ que necesariamente tienen que ser L y Lx0 iguales.
2. Llamando x = x0 + h, la condición de diferenciabilidad es equivalente a
lim
~
x→x~0
Funciones . . .
1
L(v)
n
F (~x) − F (x~0 ) − L(~x − x~0 ) ~
=0
k~x − x~0 k
Regla de la Cadena
3. Si n = m = 1, f : R −→ R es diferenciable en x0 si y sólo si es derivable. La aplicación
lineal df (x0 ) en una aplicación de R en R, que tiene asociada una matriz 1 × 1. El único
coeficiente de la matriz de df (x0 ) es exactamente la derivada f 0 (x0 )
JJ
II
J
I
En efecto, si f es diferenciable en x0 , la aplicación df (x0 ) es una aplicación lineal de R en
R, que tiene una matriz 1 × 1 con un sólo elemento a, de modo que
df (x0 ) : R −→ R
h −→ (a)(h) = ah
Entonces al escribir la condición de diferenciabilidad, queda
f (x0 + h) − f (x0 ) − df (x0 )(h)
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah
= lim
=0
h→0
h→0
|h|
|h|
lim
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Esto equivale a que
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah =0
lim h→0 h
es decir, f es derivable en x0 y f 0 (x0 ) = a
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
4. En el caso general f : Rn −→ Rm , la matriz asociada a dF (x0 ) es una matriz (m × n) de
m filas y n columnas. Las columnas de la matriz son los transformados de los elementos
de la base canónica de Rn .
De otra forma, escribiendo las componentes de la aplicación dF (x0 )(h) = (l1 (h), . . . , lm (h)),
las funciones componentes li : Rn −→ R son lineales, y tienen asociadas matrices (1 × n)
de una sola fila, que se corresponden con las filas de la matriz de dF (x0 )
Ejemplo 1. Una función constante F : U −→ Rm , F (x) = y0 para todo x ∈ U es diferenciable,
y dF (x) = 0 en cualquier punto de U
En efecto, si calculamos el cociente
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
F (x + h) − F (x) − dF (x)(h)
y0 − y0 − 0
=
=0
khk
khk
luego trivialmente el lı́mite tiende a cero cuando h tiende a 0
Ejemplo 2. Una función lineal F : Rn −→ Rm es diferenciable en todo punto x ∈ Rn , y
dF (x) = F
En este caso, si utilizamos que F es lineal en el numerador del cociente
F (x + h) − F (x) − dF (x)(h)
F (x) + F (h) − F (x) − F (h)
=
=0
khk
khk
y también tiende a cero cuando h tiende a 0.
Por ejemplo, F (x, y) = (x + y, 3x, 2y − x), F es una función lineal de R2 en R3 , que se
puede escribir en forma matricial como


1 1 x
f (x, y) =  3 0 
y
−1 2
F es diferenciable en cualquier punto, y


1 1
dF (x, y) =  3 0 
−1 2
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
para todo (x, y) en R2
N
En general, será más difı́cil saber si una función es o no diferenciable en un punto. En
primer lugar, serı́a necesario saber cuál podrı́a ser la aplicación lineal que cumpla la condición de
diferenciabilidad, y en segundo lugar, comprobar que de verdad cumple esa condición.
Para dar el primer paso, y calcular cuál puede ser la diferencial de una función en un punto,
utilizaremos los teoremas siguientes.
Teorema.
Sea U un conjunto abierto de Rn , x0 un punto de U y F : U −→ Rm una función. F es
diferenciable en x0 si y sólo si cada una de sus funciones componentes fi es diferenciable en x0 .
Además entonces para cada i entre 1 y m, dfi (x0 ) = dF (x0 )i (la diferencial de la componente
i-ésima de F es la componente i-ésima de la diferencial de F )
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Demostración:
Si L es una aplicación lineal de Rn en Rm , de componentes L = (l1 , . . . , lm ), tenemos
F (x) − F (x0 ) − L(x − x0 )
=
kx − x0 k
f1 (x) − f1 (x0 ) − l1 (x − x0 )
fm (x) − fm (x0 ) − lm (x − x0 )
=
,...,
kx − x0 k
kx − x0 k
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Si F es diferenciable en x0 , existe una aplicación L = dF (x0 ) de modo que ese cociente
tiende a cero cuando x tiende a x0 , con lo que cada una de sus coordenadas tiende a cero, y por
tanto cada función fi es diferenciable en x0 , y su diferencial es dfi (x0 ) = li = dF (x0 )i
Recı́procamente, si cada fi es diferenciable, existen aplicaciones li = dfi (x0 ) de modo que en
el cociente anterior cada una de las coordenadas tiende a cero cuando x tiende a x0 . Entonces
F es diferenciable en x0 , y su diferencial es la aplicación L = (df1 (x0 ), . . . , dfm (x0 ))
N
Teorema (Funciones diferenciables y derivadas direccionales).
Sea U un conjunto abierto de Rn , x0 un punto de U y F : U −→ Rm . Si F es diferenciable en
x0 , entonces existen todas las derivadas direccionales de F en x0 , y
dv F (x0 ) = dF (x0 )(v)
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
para todo v ∈ Rn \ {0}
Demostración: Sabemos que
F (x0 + h) − F (x0 ) − dF (x0 )(h)
=0
h→0
khk
lim
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Sea entonces v ∈ Rn \ {0}, y consideremos los vectores h = tv. Cuando t tiende a cero, se
tiene
F (x0 + tv) − F (x0 ) − dF (x0 )(tv)
=
t→0
ktvk
kF (x0 + tv) − F (x0 ) − dF (x0 )(tv)k
lim
=
t→0
ktvk
1
kF (x0 + tv) − F (x0 ) − dF (x0 )(tv)k
lim
=
kvk t→0
|t|
F (x0 + tv) − F (x0 ) − tdF (x0 )(v) 1
=
lim kvk t→0 t
F (x0 + tv) − F (x0 )
1
lim −
dF
(x
)(v)
0
kvk t→0 t
0 = lim
=
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
=
=
=
Funciones . . .
Regla de la Cadena
luego
F (x0 + tv) − F (x0 )
= dF (x0 )(v)
t→0
t
es decir, existe la derivada de F en x0 en la dirección de v, y vale dv F (x0 ) = dF (x0 )(v)
lim
JJ
II
J
I
N
Observaciones:
El recı́proco del teorema anterior no es cierto: puede ocurrir que una función no sea diferenciable
en un punto x0 , pero sı́ existan todas las derivadas direccionales en ese punto.
Como consecuencia de los teoremas anteriores, podemos saber para una función F cuál es la
única aplicación que puede ser su diferencial, si es que es diferenciable:
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Teorema.
Sea U un conjunto abierto de Rn , x0 un punto de U , y F : U −→ Rm . Si F es diferenciable en
x0 , la matriz asociada a dF (x0 ) es

 df1
df1
(x
)
.
.
.
(x
)
0
0
dx1
dxn


..
..
..


.
.
.
dfm
(x0 )
dx1
...
dfm
(x0 )
dxn
Demostración:
La matriz asociada a dF (x0 ) está formada por las imágenes de los vectores de la base canónica
de Rn , colocados en columnas, dF (x0 )(ei ). Ahora bien, según el teorema anterior,
Funciones . . .
Regla de la Cadena
dF (x0 )(ei ) = dei F (x0 ) =
dF
df1
dfm
(x0 ) = (
(x0 ), . . . ,
(x0 ))
dxi
dxi
dxi
N
JJ
II
J
I
Definición (Matriz Jacobiana y Gradiente).
La matriz
 df1

df1
(x0 ) . . . dx
(x0 )
dx1
n


..
..
..


.
.
.
dfm
(x0 )
dx1
...
dfm
(x0 )
dxn
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
se llama Matriz Jacobiana de F en x0 .
Como una aplicación lineal tiene unı́vocamente asociada una matriz, suele identificarse la
aplicación lineal dF (x0 ) con la matriz Jacobiana, aunque hay que tener cierta precaución, ya que
puede ocurrir que exista la matriz (que existan las derivadas direccionales en las direcciones de
los ejes de coordenadas) pero que la función no sea diferenciable, en cuyo caso la aplicación lineal
definida por esa matriz no serı́a la diferencial de F en x0 .
En el caso m = 1, la matriz tiene una sola fila, ya que F tiene una única componente, y
df (x0 ) = (
df
df
(x0 ), . . . ,
(x0 ))
dx1
dxn
es un vector, que se llama Gradiente de f en x0 , y se denota por ∇f (x0 )
Funciones . . .
Regla de la Cadena
Mirando otra vez la matriz Jacobiana de F en x0 , las columnas son los vectores derivadas
parciales de F en x0 , y las filas son los gradientes de las funciones componentes de F

JJ
II
J
I
df1
(x0 )
dx1
...

..
..

.
.
dfm
(x0 ) . . .
dx1
df1
(x0 )
dxn


..
=
.
dfm
(x0 )
dxn

dF
(x0 )
dx1
...

∇f1 (x0 )


..
dF
(x0 ) = 

.
dxn
∇fm (x0 )
Ejemplo 3. Calcular las derivadas parciales de la función
xy
si x2 + y 2 6= 0
x2 +y 2
f x, y) =
0
si x2 + y 2 = 0
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
y estudiar si es diferenciable en (0, 0)
Calculamos las derivadas de f en (0, 0)
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
df
f ((0, 0) + t(1, 0)) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
=
t→0
dx
t
f (t, 0) − f (0, 0)
0−0
= lim
=0
= lim
t→0
t→0
t
t
df
f ((0, 0) + t(0, 1)) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
=
t→0
dy
t
0−0
f (0, t) − f (0, 0)
= lim
=0
= lim
t→0
t→0
t
t
Si f es diferenciable en (0, 0), la diferencial tiene que ser
df
df
df (0, 0) =
(0, 0), (0, 0) = (0, 0)
dx
dy
Hay que comprobar que
JJ
II
J
I
f (x, y) − f (0, 0) − df (0, 0)(x, y)
=0
(x,y)→(0,0)
k(x, y)k
lim
Ahora bien
f (x, y) − f (0, 0) − df (0, 0)(x, y)
=
k(x, y)k
xy
x2 +y 2
p
−0−0
x2
+
y2
=
(x2
xy
+ y 2 )3/2
no tiene lı́mite cuando (x, y) tiende a (0, 0): por ejemplo, si tomamos puntos de la recta y = x
con x → 0 queda
x2
1
=
23/2 |x|3
23/2 |x|
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
que tiende a infinito cuando x tiende a cero.
Por tanto f no es diferenciable en (0, 0)
N
En muchos casos, no será necesario estudiar directamente la diferenciabilidad de una función
utilizando la definición, sino que podremos utilizar la estructura del conjunto de las funciones
diferenciables; como ocurre con el estudio de la continuidad de funciones, el conjunto de las
funciones diferenciables forma un espacio vectorial: la suma de funciones diferenciables en un
punto, o el producto de una función diferenciable por un número, es también diferenciable.
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Proposición.
Sea U un conjunto abierto de Rn , x0 un punto de U , y F : U −→ Rm , G : U −→ Rm
dos funciones diferenciables en x0 . Entonces F + G es diferenciable en x0 , y d(F + G)(x0 ) =
dF (x0 ) + dG(x0 ), y para todo a ∈ R, aF es diferenciable en x0 y d(aF )(x= ) = adF (x0 )
La demostración se deja como ejercicio.
Además en el caso de funciones escalares (de U en R), el producto de funciones diferenciables es diferenciables, y si el denominador no se anula, el cociente es diferenciable. Estos dos
resultados se demuestran como casos particulares de un teorema más general, y más importante:
la composición de funciones diferenciables es diferenciable.
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
2. Regla de la Cadena
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Lema 1.
Sea U un abierto de Rn , y F : U −→ Rm diferenciable en un punto x0 ∈ U .
a) Existe una constante M0 > 0 tal que kdF (x0 )(~h)k ≤ M0 k~hk para todo ~h ∈ Rn .
b) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que si k~hk < δ entonces
kF (x0 + ~h) − F (x0 ) − dF (x0 )(~h)k ≤ k~hk
c) Existen dos constantes M1 > 0 y δ1 > 0 tal que si k~hk < δ1 entonces
kF (x0 + ~h) − F (x0 )k ≤ M1 k~hk
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Demostración:
El apartado (a) es consecuencia de que dF (x0 ) es una aplicación lineal de Rn en Rm , y por
tanto continua.
Para el apartado (b), de la definición de función diferenciable se deduce que para cada > 0
existe un δ > 0 tal que si 0 < k~hk ≤ δ entonces
kF (x~0 + ~h) − F (x~0 ) − dF (x~0 )(~h)k
≤
k~hk
luego
kF (x0 + ~h) − F (x0 ) − dF (x0 )(~h)k ≤ k~hk
si 0 < k~hk < δ, y evidentemente también si k~hk = 0
Ahora, de (a) y (b) se deduce tomando por ejemplo = 1, que existe δ1 > 0 tal que
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
kF (x0 + ~h) − F (x0 )k
≤ kF (x0 + ~h) − F (x0 ) − dF (x0 )(~h)k + kdF (x0 )(~h)k ≤
≤ k~hk + kdF (x0 )(~h)k ≤ (1 + M0 )k~hk = M1 k~hk
si k~hk < δ1
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
N
Observaciones:
Si llamamos x = x0 + h, las desigualdades anteriores quedarı́an de la forma
a) Existe una constante M0 > 0 tal que kdF (x0 )(x − x0 )k ≤ M0 kx − x0 k para todo x ∈ Rn .
b) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que si kx − x0 k < δ entonces
kF (x) − F (x0 ) − dF (x0 )(x − x0 )k ≤ kx − x0 k
c) Existen dos constantes M1 > 0 y δ1 > 0 tal que si kx − x0 k < δ1 entonces
kF (x) − F (x0 )k ≤ M1 kx − x0 k
Como consecuencia se obtiene de forma inmediata otro importante resultado:
Teorema.
Sea U un abierto de Rn , x0 un punto de U y F : U −→ Rm . Si F es diferenciable en x0 ,
entonces es continua en x0 .
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Demostración:
Aplicando el lema anterior, sabemos que existen dos constantes δ1 y M1 tales que si kx−x0 k ≤
δ1 .
kF (x) − F (x0 )k ≤ M1 kx − x0 k
Entonces dado > 0 basta tomar δ = min{δ1 , /M1 }, y evidentemente si kx − x0 k ≤ δ
entonces
Funciones . . .
Regla de la Cadena
kF (x) − F (x0 )k ≤ M1 kx − x0 k ≤ M1
luego F es continua en x0
JJ
II
J
I
=
M1
N
Observaciones:
El recı́proco de este resultado es falso: hay funciones continuas en un punto, que no son diferenciables en ese punto, como hay funciones continuas de una variable real que no son derivables
en un punto. Hay incluso funciones continuas en un intervalo que no son derivables en ningún
punto del intervalo.
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Teorema (Regla de la Cadena).
Sea U abierto de Rn, F : U −→ Rm diferenciable en x~0 ∈ U ; sea V
abierto en Rm tal que F (x~0) ∈ V ; y sea G : V −→ Rp diferenciable
en F (x~0). Entonces H = G ◦ F : U −→ Rp es diferenciable en x~0,
y
dH(x~0) = dG(F (x~0)) ◦ dF (x~0)
Demostración:
Hay que demostrar que
Funciones . . .
Regla de la Cadena
I (Saltar al final de la demostración)
H(x~0 + ~h) − H(x~0 ) − dG(F (x~0 )) ◦ dF (x~0 )(~h)
=0
~h→0
k~hk
lim
Operando en el numerador, podemos escribir
JJ
II
J
I
kH(x~0 + ~h) − H(x~0 ) − dH(x~0 )(~h)k =
= kG(F (x~0 + ~h)) − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 )) ◦ dF (x~0 )(~h)k =
= kG(F (x~0 ) + [F (x~0 + ~h) − F (x~0 )]) − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 )) ◦ dF (x~0 )(~h)k =
~ = F (x~0 + ~h) − F (x~0 ), sumando y restando dG(F (x~0 ))(K),
~ aplicando la desigualdad
poniendo K
triangular de las normas, y la linealidad de dG(F (x~0 )),
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
~ − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 ))(K)+
~
= kG(F (x~0 ) + K)
~ − dG(F (x~0 ))(dF (x~0 (~h))k ≤
+dG(F (x~0 ))(K)
~ − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 ))(K)k+
~
≤ kG(F (x~0 ) + K)
~ − dG(F (x~0 )) ◦ dF (x~0 )(~h)k =
+kdG(F (x~0 ))(K)
~ − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 ))(K)k
~ +
= kG(F (x~0 ) + K)
|
{z
}
N1
~ − dF (x~0 )(~h)]k =
kdG(F (x~0 ))[K
{z
}
|
N2
= N1 + N2 = N
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Sea ahora > 0.
Como F es diferenciable en x~0 , por la propiedad (c) del lema anterior existen δ1 > 0, M1 > 0,
tales que si k~hk < δ1 , entonces
(i) kF (x~0 + ~h) − F (x~0 )k ≤ M1 k~hk
Como G es diferenciable en F (x~0 ), existe una constante M0 > 0 tal que para todo ~j ∈ Rm
(apartado (a) del lema anterior aplicado a G en F (x0 ))
(ii) kdG(F (x0 ))(~j)k ≤ M0 k~jk
y existe δ2 > 0 tal que si k~jk < δ2 , entonces (apartado (b) del lema anterior aplicado a G en
F (x0 ))
~
kjk
(iii) kG(F (x~0 ) + ~j) − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 ))(~j)k ≤
2M1
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
También por ser F diferenciable en x~0 existe δ3 > 0 tal que si k~hk < δ3 , entonces (apartado
(b) del lema anterior)
~
(iv) kF (x~0 + ~h) − F (x~0 ) − dF (x~0 )(~h)k ≤
khk
2M0
Definimos δ0 = min{δ1 , Mδ21 , δ3 }. Si 0 < k~hk < δ0 , se tiene:
Por (i),
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
~ = kF (x~0 + ~h) − F (x~0 )k ≤ M1 k~hk ≤ M1 δ2 = δ2
kKk
M1
~ en el primer sumando de (N )obtenemos
Por (iii) aplicado a ~j = K,
~ − G(F (x~0 )) − dG(F (x~0 ))(K)k
~ ≤ kKk
~ ≤
N1 = kG(F (x~0 ) + K)
2M1
(por (i) otra vez)
≤
M1 k~hk = k~hk
2M1
2
Y por (ii) y (iv), en el segundo sumando de (N ) queda
~ − dF (x~0 )(~h))k ≤
N2 = kdG(F (x~0 ))(K
~ − dF (x~0 )(~h)k =
≤ M 0 kK
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
= M0 kF (x~0 + ~h) − F (x~0 ) − dF (x~0 )(~h)k ≤
≤ M0
k~hk ≤ k~hk
2M0
2
Luego si 0 < k~hk < δ0 se tiene
kH(x~0 + ~h) − H(x~0 ) − dG(F (x~0 )) ◦ dF (x~0 )(~h)k
≤
k~hk
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
lo que prueba el resultado.
J(Volver al enunciado)
N
Utilizando la regla de la cadena podemos demostrar fácilmente el siguiente resultado:
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Teorema.
Sea U abierto de Rn , y f : U −→ R, g : U −→ R dos funciones diferenciables en un punto
x0 ∈ U . Entonces
a) el producto f g es diferenciable en x0 , y
d(f g)(x0 ) = g(x0 )df (x0 ) + f (x0 )dg(x0 )
b) y si g(x0 ) 6= 0, entonces el cociente f /g es diferenciable en x0 , y
d(f /g)(x0 ) =
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
g(x0 )df (x0 ) − f (x0 )dg(x0 )
g 2 (x0 )
Demostración:
a) En primer lugar, consideremos la función h : R −→ R definida por h(a) = a2 . Sabemos
que esta función es derivable, y que h0 (a) = 2a para todo a ∈ R. Entonces h es diferenciable, y
dh(a) : R −→ R está definida por dh(a)(t) = (h0 (a))(t) = 2at para todo t ∈ R
Sea ahora k(x) = h ◦ f (x) = f 2 (x). Aplicando la regla de la cadena, k(x) es diferenciable,
y dk(x) = dh(f (x)) ◦ df (x), es decir,
dk(x) = 2f (x)df (x)
Por último, como
f g(x) =
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2
4
f + g, f − g son diferenciables, como acabamos de ver sus cuadrados (f + g)2 = h ◦ (f + g) y
(f − g)2 = h ◦ (f − g) son diferenciables, y por tanto el producto f g es diferenciable.
Además aplicando las reglas de derivación de la suma y el producto por un número, y la
derivación del cuadrado,
d(f g)(x0 ) =
1
=
{2(f (x0 ) + g(x0 ))d(f + g)(x0 ) − 2(f (x0 ) − g(x0 ))d(f − g)(x0 )} =
4
1
=
{f (x0 )df (x0 ) + f (x0 )dg(x0 ) + g(x0 )df (x0 ) + g(x0 )dg(x0 )−
2
−f (x0 )df (x0 ) + f (x0 )dg(x0 ) + g(x0 )df (x0 ) − g(x0 )dg(x0 )}
= f (x0 )dg(x0 ) + g(x0 )df (x0 )
b) Se demuestra razonando análogamente utilizando la función h : R \ {0} −→ R definida
N
por h(x) = x1
Veamos para terminar algunos ejemplos y aplicaciones de la regla de la cadena:
F
g
Ejemplo 4. Sean Rn −→ Rm −→ R
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
diferenciables, y sea h = g ◦ F . Calcular
dh
, para
dxi
1≤i≤n
Aplicando la regla de la cadena, dh(x) = dg(F (x)) ◦ dF (x). Aquı́ g es una función de Rm en
R, es decir tiene un única componente y m variables, y = (y1 , . . . , ym ), de modo que la matriz
de dg(F (x0 )) tiene una sola fila (es el gradiente ∇g(F (x0 ))
dg
dg
dg
dg(F (x0 )) =
(F (x0 )),
(F (x0 )), . . . ,
(F (x0 ))
dy1
dy2
dym
La función F : Rn −→ Rm tiene en cambio m componentes y n variables. Si ponemos
x = (x1 , . . . , xn ) y F = (f1 , . . . , fm ), la matriz de dF (x0 ) tiene m filas y n columnas:
 df1

df1
df1
(x0 ) dx
(x0 ) . . . dx
(x0 )
dx1
n
2


..
..
..
..
dF (x0 ) = 

.
.
.
.
dfm
(x0 )
dx1
dfm
(x0 )
dx2
...
dfm
(x0 )
dxn
La matriz de la diferencial de h en (x0 ) es el producto de las dos matrices:
dh(x0 ) =
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
=
=

dg
dg

(F (x0 )), . . . ,
(F (x0 )) 
dy1
dym
df1
(x0 )
dx1
...
..
..
.
.
dfm
(x0 ) . . .
dx1
df1
(x0 )
dxn


..

.
dfm
(x0 )
dxn
!
m
m
X
X
dfj
dfj
dg
dg
(F (x0 ))
(x0 ), . . . ,
(F (x0 ))
(x0 )
dyj
dx1
dyj
dxn
j=1
j=1
La coordenada i-ésima es la derivada parcial de h respecto de xi en x0
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
m
X dg
dh
dfj
(x0 ) =
(F (x0 ))
(x0 )
dxi
dyj
dxi
j=1
Para recordar esta fórmula, puede utilizarse el siguiente criterio: la función g es función del
vector y de m coordenadas y = (y1 , . . . , ym ). Al hacer la composición, la variable y se define
como función a su vez de x = (x1 , . . . , xn ), y = F (x), de modo que la composición h = g ◦ F
es función de x. Para obtener las derivadas parciales de h, la función g debe derivarse respecto
de sus variables y = (y1 , . . . , ym ), y esas variables, expresadas como función de x, y = F (x), o
yj = fj (x1 , . . . , xn ), son las que se deben derivar respecto de las variables x1 , . . . , xn
Ejemplo 5. Sea f : R2 −→ R una función diferenciable, y definamos la función g(x) =
f (x, f (x, f (x, x))). Calcular g 0 (x)
Como f es una función de dos variables, escribimos f (u, v), de modo que
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
df (u, v) = (
df
df
(u, v), (u, v))
du
dv
Ahora definimos una función de R en R2 , que a cada x ∈ R asocia un punto (u(x), v(x)), y
consideramos la composición g(x) = f (u(x), v(x)); entonces
df
du
df
dv
(u(x), v(x)) (x) + (u(x), v(x)) (x)
du
dx
dv
dx
du
(x) = 1, y v(x) = f (x, f (x, x)), y sustituyendo en la
En nuestro caso u(x) = x, luego
dx
ecuación queda
g 0 (x) =
Funciones . . .
Regla de la Cadena
df
df
dv
(x, f (x, f (x, x))) + (x, f (x, f (x, x))) (x)
du
dv
dx
dv
Ahora tenemos que calcular
(x); repitiendo la misma idea:
dx
dv
df
df
df
df
(x) =
(x, f (x, x)) + (x, f (x, x))
(x, x) + (x, x)
dx
du
dv
du
dv
g 0 (x) =
JJ
II
J
I
Luego
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
df
g 0 (x) =
(x, f (x, f (x, x)))+
du
df
df
df
df
df
+ (x, f (x, f (x, x)))
(x, f (x, x)) + (x, f (x, x))
(x, x) + (x, x)
dv
du
dv
du
dv
F
G
Ejemplo 6. Sean Rn −→ Rm −→ Rp
1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ p.
diferenciables, y sea H = G ◦ F . Calcular
dhj
, para
dxi
Basta tener en cuenta que la coordenada j-ésima de h, es hj = gj ◦ F , donde gj es la
componente j-ésima de G. Entonces se puede aplicar la fórmula del ejemplo anterior.
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
Ejemplo 7. Relación entre las transformaciones F : R3 −→ R3 y las curvas en R3
Sea c : R −→ R3 la trayectoria de un móvil en el espacio, c es una función continua y
diferenciable. Y sea F : R3 −→ R3 una función diferenciable. La composición g = F ◦ c es una
nueva trayectoria en R3
El vector tangente a g = F ◦ c en un punto t0 es g 0 (t0 ) = (F ◦ c)0 (t0 ) (matriz de la diferencial
de g en t0 ) y viene dado según la regla de la cadena por
g 0 (t0 ) = dF (c(t0 ))(c0 (t0 ))
c(t0 )
c (t0 )
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
F
c
a
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
F ◦ c(t0 ) = F (c(t0 ))
t0
b
(F ◦ c) (t0 ) = dF (c(t0 ))(c (t0 ))
Es decir, la aplicación lineal dF (c(t0 )) transforma en vector derivada de c en t0 , en el vector
derivada de F ◦ c en t0
Ejemplo 8. Gradientes
Hay dos propiedades de los gradientes que queremos destacar en este tema.
En primer lugar, sea f : U −→ R una función diferenciable en un punto x0 de un abierto
U ⊆ Rn . Consideremos las derivadas direccionales de f en x0 según vectores de norma uno,
dv f (x0 ), con kvk = 1
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
dv f (x0 ) = df (x0 )(v) =< ∇f (x0 ), v >= k∇f (x0 )k kvk cos α
donde α es el ángulo que forman ∇f (x0 ) y v.
Entonces, la derivada direccional según vectores de norma uno será máxima cuando cos α = 1,
es decir, cuando v tiene la misma dirección y el mismo sentido que ∇f (x0 ). Y será mı́nima cuando
cos α = −1, es decir, cuando v y ∇f (x0 ) tengan la misma dirección y sentidos opuestos.
Si estudiamos el módulo de las derivadas direccionales, será máxima en la dirección del gradiente ∇f (x0 ), en los dos sentidos, y será mı́nima en la dirección perpendicular al gradiente, en
cuyo caso la derivada direccional valdrá cero.
En segundo lugar, si Nk = {(x, y, z) : f (x, y, z) = k} es un conjunto de nivel de f , y
x0 ∈ Nk , entonces ∇f (x0 ) es ortogonal a Nk , en el sentido de que para toda curva contenida
en Nk , que pase por x0 , el vector ∇f (x0 ) es perpendicular al vector tangente a la curva en x0
(Mas adelante en el curso veremos que el conjunto de todos los vectores tangentes a las curvas
contenidas en Nk , en el punto x0 , es un espacio vectorial, el núcleo de df (x0 ), que llamaremos
“espacio tangente a Nk en x0 ”)
En efecto, si G : (a, b) −→ R3 describe una curva contenida en Nk , y t0 es un punto de (a, b)
tal que G(t0 ) = x0 , entonces la composición h(t) = f ◦ G(t) = k de (a, b) en R, y aplicando la
regla de la cadena
0 = h0 (t0 ) = df (G(t0 )) ◦ G0 (t0 ) =< ∇f (x0 ), G0 (t0 ) >
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena
G (t0 )
Nk
G(t0 )
Funciones . . .
Regla de la Cadena
JJ
II
J
I
∇f (G(t0 ))