Espacios conexos

CAPı́TULO 11
Espacios conexos
Tema 1.
Definición y primeros ejemplos
Definición 11.1.1. Diremos que un e.t. (X, T ) es conexo si no existen abier∅
tos no vacı́os A, B ∈ T tales que A, B 6= ∅, A ∪ B = X. Diremos que K ⊂ X es
conexo si (K, TK ) es conexo.
Observaciones 11.1.2.
1. Utilizando la terminologı́a de recubrimientos podrı́amos decir que un espacio topológico es conexo si no se puede recubrir por abiertos propios
disjuntos.
2. Dado que la definición de conexión sólo involucra los conceptos de recubrimiento, de abierto y de conjuntos disjuntos, que obviamente se preservan
por homeomorfismo, se comprueba que la propiedad de conexión es una
propiedad topológica (ver Proposición 11.1.5).
Proposición 11.1.3. Sea (X, T ) un e.t. Entonces las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
X es conexo.
∅
No existen cerrados no vacı́os A, B ∈ CT tales que A, B 6= ∅, A ∪ B = X.
T ∩ CT = {∅, X}.
∀M ⊂ X propio, se tiene que Fr(M ) 6= ∅.
No existe ninguna aplicación continua y suprayectiva entre (X, T ) y ({0, 1}, T d ),
donde Td es la topologı́a discreta.
Ejemplos 11.1.4. Los espacios
1.
2.
3.
4.
5.
X1
X2
X3
X4
X5
= (0, 1) ∪ (2, 3),
= (0, t) ∪ (t, 1),
= [0, 1) ∪ (2, 3], y
= [0, t) ∪ (t, 1],
= [0, 1] ∪ [2, 3]
no son conexos, mientras que R sı́ es conexo. En particular, la conexión no es
propiedad hereditaria.
139
140
11. ESPACIOS CONEXOS
Proposición 11.1.5. Sean X e Y espacios topológicos. Sea K conexo y f :
X → Y una aplicación continua, entonces f (K) ⊂ Y es conexo. En particular,
conexión es una propiedad topológica.
Ejemplos 11.1.6.
1.
2.
3.
4.
5.
X = (0, 1) es conexo (en particular, todo intervalo abierto es conexo).
La circunferencia es conexa.
(0, 1) no es homeomorfo a (0, 1) ∪ (2, 3).
[0, 1) no es homeomorfo a (0, 1).
[0, 1] no es homeomorfo a la circunferencia.
Proposición 11.1.7. Sea A ⊂ X un subconjunto conexo de un espacio topológico y sea E ⊂ X tal que A ⊂ E ⊂ A. Entonces E es conexo.
Ejemplos 11.1.8. Mostraremos más ejemplos de conexión:
1.
2.
3.
4.
A ⊂ R es conexo si y sólo si es un intervalo (por ejemplo, Q no es conexo).
X 6= ∅ discreto es conexo si y sólo si #X = 1.
Si X es indiscreto, entonces es conexo.
Si X es infinito cofinito, entonces es conexo.
Ejercicio 11.1. Consideremos X espacio topológico localmente compacto,
Hausdorff y no compacto. Consideremos X ∗ su compactificación de Alexandroff
(ver Teorema 9.7.2). Demuestra que si X es conexo entonces X ∗ es conexo. Comprueba con un ejemplo que el recı́proco no es cierto.
Observación 11.1.9. Si A ⊂ X es un subconjunto conexo de X, y U es un
abierto-cerrado de X: si A ∩ U 6= ∅, entonces A ⊂ U . El motivo es que si A 6⊂ U ,
entonces ∅ 6= A ∩ U ( A es un abierto-cerrado propio de A, lo cual contradice que
A es conexo.
Veremos cómo se comporta la conexión con respecto a la unión, producto y
suma de espacios topológicos.
Proposición 11.1.10. Sean X e Y e.t’s (no vacı́os), entonces:
1. Si Xλ ⊂ X (λ ∈ Λ 6= ∅) es una familia de subconjuntos conexos no vacı́os
S
de X, entonces λ∈Λ Xλ ⊂ X es conexo si se cumple una de las propiedades
siguientes:
T
(a) λ∈Λ Xλ 6= ∅.
(b) Λ = N y Xn ∩ Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ N.
(c) Λ = {0, 1, ..., k} y Xn ∩ Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ Λ \ {k}.
2. X × Y es conexo si y sólo si X e Y lo son.
TEMA 1. DEFINICIÓN Y PRIMEROS EJEMPLOS
141
3. Sea f : X → Y una identificación. Si Y es conexo y además f −1 (y) es conexo
∀y ∈ Y , se tiene que X es conexo.
Ejemplo 11.1.11. Por la Proposición 11.1.10(2), sabemos que Rn es conexo.
Ahora, como Sn es la compactificación de Alexandroff de Rn (ver Ejemplo 9.7.5)
entonces, por el Ejemplo 11.1, se tiene que Sn es conexo.
Ejercicio 11.2. Sea f : X → Y una aplicación continua y sea X e.t. conexo.
Demuestra que el grafo de f , es decir, el conjunto Γf := {(x, f (x)) | x ∈ X} ⊂
X × Y , es conexo.
Siguiendo con el razonamiento utilizado en el Ejemplo 11.1.6(3) parece natural
preguntarse si A3 := (0, 1)∪(2, 3)∪(4, 5) es o no homeomorfo a A2 := (0, 1)∪(2, 3).
La respuesta parece intuitivamente negativa a pesar de que ambos conjuntos son
no conexos. El motivo: A2 es unión disjunta de dos intervalos (espacios conexos)
mientras que A3 es unión disjunta de tres intervalos, claro que A1 := (0, 1) =
(0, 21 ] ∪ ( 21 , 1) también es unión disjunta de dos intervalos, y en cambio no es homeomorfo a A2 . En lo que sigue refinaremos esa idea de descomponer un conjunto
en “trozos” disjuntos y conexos de manera adecuada.
Sea X un espacio topológico. Consideremos en X la siguiente relación:
x ∼ y ⇔ ∃K ⊂ X conexo tal que x, y ∈ K.
Ejercicio 11.3. Demuestra que “∼” es una relación de equivalencia.
Lema 11.1.12. Sea K una clase de equivalencia de la relación “∼”. Entonces,
(1) Si B es conexo y K ∩ B 6= ∅, entonces B ⊂ K (Observación 11.1.9).
(2) K es conexo.
Definición 11.1.13. Las componentes conexas de X son las clases de equivalencia de esta relación.
Ejemplo 11.1.14. Por el Ejemplo 11.1.8(1), las componentes conexas de (0, 1)∪
(2, 3) son los intervalos (0, 1) y (2, 3).
Propiedades 11.1.15 (Componentes conexas). Sea (X, T ) e.t. conexo, entonces se tiene que
(1) X es unión disjunta de sus componentes conexas.
(2) Sea x ∈ X y sea Kx la componente conexa que contiene a x, entonces Kx es
el mayor conexo que contiene a x (por la relación de orden ⊂). 1
1Es
decir, si A ⊂ X es conexo y contiene a x, entonces A ⊂ Kx .
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11. ESPACIOS CONEXOS
(3) Si A ⊂ X es un conexo no vacı́o, entonces existe una única componente conexa
K tal que A ⊂ K.
(4) Las componentes conexas son cerrados.
(5) Sea KX el espacio cociente de X por la relación “∼”. Entonces KX admite
una estructura de e.t. cociente y cumple que si X ≈ Y entonces KX ≈ KY .
En particular, el cardinal de KX es un invariante de X por homeomorfismo.
(6) X es conexo si y sólo si posee una sola componente conexa.
(7) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado conexo, entonces A es una componente
conexa.
(8) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado, entonces A es unión de componentes
conexas de X.
Definición 11.1.16. Diremos que un espacio (X, T ) es totalmente desconectado si cada punto de X constituye una componente conexa.
Ejemplos 11.1.17. Un ejemplo sencillo de espacio totalmente desconectado es
el de los espacios topológicos discretos. En (X, Td ) todo punto es abierto-cerrado
y conexo, y por lo tanto (Propiedad 11.1.15(7)) componente conexa. Ası́ pues,
(X, Td ) es totalmente desconectado.
Otros ejemplos de espacios totalmente desconectados son (Q, Tu |Q ) y el discontinuo de Cantor, C. En ambos casos, obsérvese que los únicos espacios conexos de
R son los intervalos y que ningún intervalo no unipuntual está contenido ni en Q
ni en C. Por lo tanto, ningún subconjunto no unipuntual de Q o de C es conexo,
y ası́ pues únicamente los puntos son conexos, y por tanto componentes conexas.
Ejemplo 11.1.18. Sea X := n1 n∈N como subespacio de R. Como X hereda
la topologı́a discreta, entonces el Ejemplo 11.1.17 implica que X es totalmente
desconectado.
Ahora, consideremos Y := X ∪ {0} de nuevo como subespacio de R. Obsérvese
que el punto 0 no es aislado, y por tanto {0} no es abierto en Y , ası́ pues Y no es un
espacio discreto. En cambio, puesto que {0} no está en ninguna componente de las
de X (ya que {0, n1 } no es conexo) entonces Y también es totalmente desconectado.