TOPOLOGÍA. Examen del Tema 4 Nombre: 1. Sea el conjunto X = {a

TOPOLOGÍA. Examen del Tema 4
Nombre:
1. Sea el conjunto X = {a, b, c, d, e} y τ = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}. Estudiad la
conexión de (X, τ ) y A = {b, d, e}.
2. Probad que un subconjunto no vacı́o, conexo, abierto y cerrado de un espacio topológico es
una componente conexa de dicho espacio.
3. Estudiad si (S1 × R) \ {p} es arcoconexo.
4. Estudiad la conexión local de X = {0} ∪ { n1 ; n ∈ N}.
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1. Sea el conjunto X = {a, b, c, d, e} y τ = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}. Estudiad la
conexión de (X, τ ) y A = {b, d, e}.
Solución: Como X = {a}∪{b, c, d, e}, X no es conexo. Por otro lado, τ|A = {A, ∅, {d}, {d, e}}.
Por tanto, dos abiertos no triviales siempre se intersecan, luego A es conexo.
2. Probad que un subconjunto no vacı́o, conexo, abierto y cerrado de un espacio topológico es
una componente conexa de dicho espacio.
Solución: Sea A un conjunto con dichas propiedades y x ∈ A. Probamos que A = Cx . Como
A es conexo, A ⊂ Cx . Por otro lado, Cx = (Cx ∩ A) ∪ (Cx ∩ (X \ A)) es una partición por
abiertos, luego Cx ∩ A = Cx (⇒ Cx ⊂ A, luego A = Cx ) o Cx ∩ A = ∅ (imposible, ya que
A ⊂ Cx ).
3. Estudiad si (S1 × R) \ {p} es arcoconexo.
Solución: Después de una afinidad podemos suponer que X = (S1 ×R)\{(0, 1, 0)}. Probamos
que todo punto se puede unir por un conjunto arcoconexo A con el punto q = (0, −1, 0). Sea
(x, y, z) ∈ X.
(a) Si z 6= 0, se toma A = (S1 × {z}) ∪ [q, (0, −1, z)].
(b) Si z = 0, se toma A = (S1 × {0}) \ {p}.
4. Estudiad la conexión local de X = {0} ∪ { n1 ; n ∈ N}.
Solución: El punto 0 no tiene ningún entorno conexo, ya que si U es un entorno conexo de
0, entonces U tiene que ser un intervalo. Como en X los únicos intervalos que existen son
los puntos, entonces U = {0}. Pero U no es un entorno de 0 pues la inclusión (−r, r) ∩ A ⊂
U = {0} no es posible, para cada r > 0.
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