Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.3. Continuidad

Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.3. Continuidad
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
X.3. Continuidad
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.3. Continuidad
1. Definición de función continua
DEF. Se dice que f : A ⊂ R → R es continua en a ∈ A si:
1
2
a ∈ Ais(A) ⊂ A
o
a ∈ A′ tal que:
2.i) existe lim f (x ) = l
x→a
2.ii) l = f (a)
DEF. Se dice que f : A ⊂ R → R es continua en A si lo es en
todos los puntos del dominio.
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2. Propiedades de las funciones continuas
1
2
Las siguientes funciones son continuas en sus dominios:
las funciones polinómicas en R
ex , sen x , cos x en R
ln
√ x en (0, ∞)
x en [0, ∞)
Si f y g son funciones continuas en a y λ ∈ R, las
siguientes funciones también son continuas en a:
i) λf
ii) f ± g
iii) f · g
f
iv)
si g(a) 6= 0
g
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2. Propiedades de las funciones continuas (II)
3 Sean f : A ⊂ R → R, f : B ⊂ R → R tales que f (A) ⊂ B,
Si f es continua en a ∈ A y g es continua en f (a) ∈ B,
entonces
g ◦ f : A ⊂ R → f (A) ⊂ B ⊂ R → R es continua en a.
4 Continuidad de la restricción:
Si f : A ⊂ R → R es continua en A, entonces
f |B : B ⊂ A ⊂ R → R es continua en B
5 Continuidad de la función inversa:
Sea f : I ⊂ R → R una función continua en I (intervalo
generalizado), entonces f (I) también es un intervalo
generalizado.
Si f es biyectiva, su inversa es una función también
continua.
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3. Teorema de Bolzano
Sea f : [a, b] ⊂ R → R continua
Si los signos de f (a) y f (b) son distintos, entonces existe algún
α ∈ (a, b) tal que f (α)=0
Observaciones:
El teorema habla de existencia, no de unicidad. Puede
existir más de un punto de (a, b) en el que se anule f .
Si f no es continua no tiene por qué suceder.
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3. Teorema de Bolzano (II)
Teorema de los valores intermedios
Si f : [a, b] ⊂ R → R es continua, entonces f toma todos los
valores comprendidos entre f (a) y f (b).
Dado β ∈ (f (a), f (b)), existe α ∈ (a, b) tal que f (α) = β
La imagen continua de un intervalo es un un intervalo
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4. Conservación de la compacidad
Teorema
Sea f : A ⊂ R → R continua en A.
Si a es un conjunto compacto, entonces f (A) también lo es.
Teorema de Weierstrass
Toda función continua definida en un compacto alcanza su
máximo y su mínimo en él.
Observación:
Se dice que f está acotada (inferiormente, superiormente)
si f (A) lo está.
Se dice que f alcanza máximo (mínimo) cuando f (A) tiene
máximo (mínimo).
El teorema proporciona una condición suficiente, no
necesaria.