Teorema: Darboux, de los valores intermedios
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Teorema: Darboux, de los valores intermedios H) f continua en [a,b] M y m son máx. y mín. f ([a,b]) (que tenemos garantizada su existencia por el Teorema de Weierstrass) λ∈R/m≤λ≤M T) Existe (al menos un) c ∈ [a,b] / f (c) = λ Demostración: como M = máx. f ([a, b]) y m = mín f ([a,b]) ⇒ ∃ x1, x2 ∈ [a,b] / f (x2) = M ≥ f (x) ∀ x ∈ [a,b] f (x1) = m ≤ f (x) ∀ x ∈ [a,b] * si λ=m o λ=M, ya no tendríamos nada para probar porque x1 o x2 sería el c buscado. M λ m Por ese motivo tomaremos m<λ<M a x2 c x1 Sea entonces g : [x2, x1] (o en [x1, x2] ) → R / g (x) = f (x) – λ - g continua en [x2,x1] (porque f continua y λ continua) - g (x2) = f (x2) – λ = M – λ > 0 - g (x1) = f (x1) – λ = m – λ < 0 ⇒ (por Bolzano) ⇒ ∃ c ∈ (x2, x1) / g (c) = 0 ⇒ f (c) – λ = 0 entonces f (c) = λ; con c ∈ [a,b], pues c ∈ [x2, x1] ⊂ [a,b] Observación: por W ⇒ f ([a,b]) ⊂ [m,M] por D ⇒ [m,M] ⊂ f ([a,b]) ⇒ f ([a,b]) = [m,M] Observación: ¿Será cierto el teorema si la continuidad de f no es en [a,b]? ¡NO! Analice la figura de abajo. y M y m a x2 x1=b b
