Teorema: Darboux, de los valores intermedios

Teorema: Darboux, de los valores intermedios
H) f continua en [a,b]
M y m son máx. y mín. f ([a,b]) (que tenemos garantizada su existencia por el
Teorema de Weierstrass)
λ∈R/m≤λ≤M
T) Existe (al menos un) c ∈ [a,b] / f (c) = λ
Demostración: como M = máx. f ([a, b]) y m = mín f ([a,b])
⇒ ∃ x1, x2 ∈ [a,b] / f (x2) = M ≥ f (x) ∀ x ∈ [a,b]
f (x1) = m ≤ f (x) ∀ x ∈ [a,b]
* si λ=m o λ=M, ya no tendríamos nada para probar
porque x1 o x2 sería el c buscado.
M
λ
m
Por ese motivo tomaremos m<λ<M
a x2 c x1
Sea entonces g : [x2, x1] (o en [x1, x2] ) → R / g (x) = f (x) – λ
- g continua en [x2,x1] (porque f continua y λ continua)
- g (x2) = f (x2) – λ = M – λ > 0
- g (x1) = f (x1) – λ = m – λ < 0
⇒ (por Bolzano)
⇒ ∃ c ∈ (x2, x1) / g (c) = 0 ⇒ f (c) – λ = 0
entonces f (c) = λ; con c ∈ [a,b], pues c ∈ [x2, x1] ⊂ [a,b]
Observación:
por W ⇒ f ([a,b]) ⊂ [m,M]
por D ⇒ [m,M] ⊂ f ([a,b])
⇒ f ([a,b]) = [m,M]
Observación:
¿Será cierto el teorema si la continuidad de f no es en [a,b]?
¡NO! Analice la figura de abajo.
y
M
y
m
a x2
x1=b
b