Análisis de la estructura causal de los modelos económicos

ESTAD ISTICA ESPAÑOLA
Núm. 89, 1980, págs. 47 a 56
Análisis de la estructura causal de los modelos
económicos
por EMILIO FONTELA y MANFREDO GILLI
Depar#arnento de Econometría. Universidad de Ginebra {Suiza)
RESUMEN
La economia cuantitativa tiene como objetivo la determinación de la
estructura partieular de un modelo. Especificando solamente la presencia o
ausencia de las variables en cada reiación, definimos la clase de estruc•turas
causales.
El objetivo de este artlculo es el de esplorar las propiedades de los
modelos exclusivamente basadas en la estructura causal. Por consiguiente,
el análisis de la estructura causal del modelo es un intento de adquirir un
conocimiento má.s profundo del funcionamiento de un modelo.
Se ha^ escrito un programa de ordenador, que permite, para estructuras
causales dadas, deducir de forma operativa todos los resultados descritos.
PaCabras ctave: Estructura, causalidad, modelo.
I.
INTRODUCCION
Con el desarrollo de las facilidades dadas por el ordenador, los economistas se han
visto enormemente alentados para intentar cuantificar relaciones econámicas y modelar
el funcionamiento del sistema económico. Conforme se han ido superando las lagunas
48
ESTADISTICA ESPAÑ^LA
de tipo estadístico, se han cc^nstruida grandes modelos económicos (prototipos de tareas
más ambiciosas para los años venideros); los métodos de estimación han experimentado
una rápida mejora; se han identificadu relaciones empiricas; se han verificado previsiones y comparaciunes.
Para subsistemas dados de la economia, el desarrollo de la .cuantificación se ha
realizado en relación con un marco teórico establecida y deducido por inferencia a
partir de supuestos iniciales. (Por ejemplo, para funciones mini-agregadas de demanda,
a partir de la teoria del comportamiento del consumidor.) Pero para modelos del sistema
económica general, la conexián entre modelos empíricos cuantificados y modelos teóricas cualitativos no es tan evidente. En parte, la dificultad praviene de las restricciones
de cuantificación impuestas por el materiaJ estadistico disponible, que limita la posibilidad de verificar las teorias económicas; pero también la dificultad proviene de la falta
de transparencia de los grandes modelos económicos cuantitativos, donde se manejan
centenares de relaciones.
Progresivamente se ha dejado sentir, tanto por los constructores de modelos como
por los economistas teóricos, la necesidad de una comunicación más estrecha entre las
consideraciones de tipo cuantitativo y cualitativo [ l, 2] ; el análisis estructural es uno de
los instrumentos necesarios para dicha comunicación.
Problamente el problema no se limita a la ciencia económica; es un problema real en
todas las ciencias sociales [ 3, 4] en la que una modelización interpretativa estructural
puede constituir la primera etapa dentro de un praceso de cuantificación. En efecto, el
programa de ordenador desarrollado en la investigación que presentamos más adelante
[ S) puede considerarse como una herramienta no solamente para ei análisis de los
modelos existentes {en orden a facilitar su comprensión), sino también para ayudar al
canstructor de un modelo durante el mismo proceso de construcción, en la selección de
la esiructura que mejor se adapta a la teoría.
II.
DEFICICINES Y GENERALIDADES
Consideremos, en primer lugar, un modelo formalmente representado por un con-
junto de n relaciones estructurales:
h (y, z ) = 0
[ 1)
que caracterizan las relaciones existentes entre ias variables endógenas y(y ^ R"), y las
variables e xógenas z(z E HZ ^^).
Una estruc^turu partic^ular de este modelo está determinada por la especificación
campleta de la forma analitica de las relaciones estructurales y por el valor numérico de
ANALISIS DE LA ESTRUCTURA CAUSAL DE LOS MODELUS ECONUMICOS
^^^
los parámetros. Para un modelo así, hemos caracterizado una secuencia de etapas que
nos conducen a una estructura particular.
La primera etapa consiste en separar el fenómeno de su entorno. Esta partición que
define Ita que es endógeno y lo que es exógeno constituye una primera hipótesis acerca
de la dependencia causal entre estos dos conjuntos de variables.
En la próxima etapa seleccionamos las variables que estarán presentes en cada
relación, definiendo, de esta manera, la estructura c•ausal del modelo. Formalmente se
especifica por el contenido en elementas ceros y no-ceros de la matriz:
^h . ^h
^,Z^ ^ ^ y^
[21
Introduciendo los signos de los elementos de la matriz [ 2] podemos, entonces,
definir la estruc•tura c•ualitativa. Definiendo hipótesis más precisas, se Ilega finalmente a
una estructura partic ul ar.
El interés principal de esta descomposición reside en el hecho de que cada etapa
define una c•lase dP estruc^tura (cuyos elementos son las estructuras particulares) y las
propiedades que se pueden deducir de una clase son válidas para todas las estructuras
particulares que pertenecen a dicha clase. Estas propiedades son, pues, invariantes en
la clase definida por la siguiente etapa.
En los párrafos siguientes analizamos algunas de las propiedades generales que
pueden deducirse de una estructura causal dada.
La estructura causal del modelo [ I) puede representarse bajo forma de una rnatriz
binari^a. Para justificar esto, consideremos la relación binaria R(h^, x^), en la cual «R»
implica^ que la relación i contiene la variable j. Esta relación binaria está definida para el
conjunto de relaciones H y el conjunto de variables x= y U z. Por lo que la matriz:
A
A= C^a^.i^^ •^= l, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n+ m
a ;^ =
t si R(hl, x^ )
0 en otros casos
define la estructura causal, ya que:
R(h;, z^ ) ^ ^1 h;l ^^xf ^ 0
Consideramos, par tanto, la siguiente partición de las columnas de A: ^
A = IIQ ^ All
donde las columnas de S corresponden a las variables endógenas.
Sa
III.
ESTADISTICA ESPAt^oLA
SINGULARIDAD Y SEPARABILIDAD
Para un modelo cara^c terizado por el sistema ^ 1 ^, una condición necesaria para la
unicidad de la salución y en un punta cercano a z, consiste en que el determinante de
^^h/r'y' no sea igual a cero. ^Qué clase de condiciones satisfaría, entonces, la estructura
causal ( matriz S) en lo que se refiere a la unicidad? Gondiciones que, en efecto,
únicamente tienen un carácter necesario parque son independientes de los valores
partic ulares que pueden tomar los elementos de la matriz ^ h/^ y' .
En primer lugar y obviamente, la matriz S tiene que ser cua.drada. Esto significa que
necesitarr^os tantas ecuaciones como variables endógenas haya. Podemos, por tanto,
considerar el determinante de la matriz S de la nlanera siguiente:
n
^^ ^
^
^ F ^^^^^i^(il
^^ P^n ^
l3J
^=i
donde P(n) es el conjunto de n! permutaciones del conjunta J={ 1, 2, ..., n} y a(i) es
el i-ésimo companente de la perm utación a. La función F(c^ ) toma los valores + 1 si la
permutación a es par, y- 1 si es impar. De esta manera, se concluye inmediatamente
que una condición necesaria para que ^ S^ ^ 0, consiste en que, al menos, exista una
permutación de tal manera que el producto en [ 3] no sea igual a cero. Por lo que será
posible formar el siguiente conjunto de n pares:
K^ _{(h^, y^ ) ^ R(h^, ya^;^), i- 1, 2, ..., n}
[4l
que definen una cvrresp{^nd^ncia cc^mpl^tu de H sobre Y. Prácticamente, ésta define
una correspondencia --una a una-- entre las variables endógenas y las ecuaciones, que
hace que cada ecuación corresponda a una variable.
Si no existe una correspondencia completa, decimas que ^,h/^1 y' es singulur c^uulitutivamente, esto es, que sean cuales sean los valores particulares de Ios elementos de
^ h l^ y' , esta matriz será singul ar. Esto revela la existenc ia de al menas un sub-sistema
de r relacianes que determina al menos r-- 1 variables. Para un modela de este tipo no
siempre ^s fácil ver cuáles son las madificaciones requerídas para obtener un modelo
regular. Se puede, pues, demostrar ( ^6^, págs, 2y-32), que una matriz S que es cualitativamente singular, contiene al menos una matriz cero de r líneas y s columnas, con
r+ s> n. La identificación de tal matriz nos da una buena idea de cómo modificar la
estructura causal, can el fin de conseguir un sistema regular.
Otra propiedad interesante que se puede deducir de la estruciura causal es la de
separabilidad, que nos dice bajo qué condiciones alguna de las variables y relaciones
pueden ser tratadas independientemente del modela global.
ANALISIS DE LA ESTRUCTURA CAUSAL DE L4S MQDELOS ECONOMICOS
S^
Consideremos una partición de ias relaciones y variables endógenas:
h, tti^, , y^, z) = 0
' ..^) - 0
^C'lr,, ti,,
y,
y -
y,
de donde podemos derivar el sistema particionado:
^ h,
„
^ h,
.. ,
^-y^
^ h,_
„
^ h,
^y^
„
{z
^ yi
^^y ,
^^^
^^y^
^ ^y ^
1
^
1
^ h,
.. ,
^z
^ h:
)
/
^
z
Las condiciones que permiten la determinación de variables y, por relaciones h,
solamente, independientemente de h,, vienen dadas por:
^ h, ^1y^
^ h,
^^yi
r^z'
^ Z`
o de manera equivalente:
^ h,
^
^yá
^ y^
,,
^z
fl
(5j
De la relación [Sj deducimos las siguientes condiciones suficientes:
-^ h, l^ y'i = 0,
las variables y^ no aparecen en relaciones h, y podemos escribir,
h,(y,; z) ^ 0.
-^ y^%^ z' = 0,
las variables y^ no están influenciadas por ninguna variable exógena.
Una condición suficiente para esto viene dada por ^ h,l^^y',
= 0 y
^ h,/^ c^Z' = 0.
Está, por tanto, claro cómo la estructura causal nos informa acerca de las propiedades de separabilidad del modelo.
IV.
CAUSALIDAD INTERNA
Ya hemos mencionado que la partición entre variables exógenas y endógenas define
lo que Ilamamos la causal^dad extPrna del modelo. La c^ausalidad interna del modelo
está, pues, definida entre variables endógenas y depende de la estructura causal de cada
ec uac ión .
52
EST,^+,DISTICA ESPAÑULA
E 1 a^nálisis cfe la causalidaci interna consiste, en primer lugar, en la b^ squeda de
particiones del conjunic^ de relacianes y del conjunto de variables, de tal manera que la
matriz S, rec^rdenada en concordancia con dichas partici^nes, tama ta forma:
s„
0
s^,
s_,^
s=
0
a
spr
donde todas las matrices S;;, i= 1, 2, ..., p son cuadradas y no pueden serparticipacionadas ulteriormente. La. matriz S„ corresponde por consiguiente al subconjunto
menor de relaciunes que determina el subconjunto de variables correspondiente. Estas
variables aparecen entonces como prácticamente exógenas para el resto del sistema. En
la siguiente etapa, la matríz S^^ define el subconjunto menor de relacíones que determina e1 subconjunto de variables correspondientes. Y asi sucesivamente hata Spp. Las
matrices S;;, que corresponden a un conjunto de variables y relaciones, se llaman
btoques.
Cada matriz no-cero S;1, ^ ^- j, muestra la existencia de una relación causal, llamada
relac^ón de eausalidad estric^ta entre las variables del bloque j y las variables del bloque i.
La partición de la matriz S caracteriza al modelo. Hemos distinguido tres casas:
p= i
1< p< n
p= n
la estructura es completamente interdependiente.
la estructura es recursiva por bloques.
la estructura es campletamente recursiva.
Frácticamente las particiones de la matriz S que definen los bloques pueden obtenerse de manera operativa asociando al modelo un grafo G=(Y, A). El conjunto de
vértices ^t' viene dado por las variables endógenas Y y el conjunto de arcos A se define
de la manera sigu iente :
A = ^ (Y^ , y^ ) ( 1 ^ j , (h; , y^ } E w n s;^ ^ a, i = i , 2, . . . , n }
donde W es la correspondencia completa definida por [4]. Si se desconoce una correspondencia completa W, empezaremos por una correspondencia incompleta asociándole
un grafa parcial. Este grafo puede, entonces, ser utilizado con el fin de abtener una
correspandencia que conten,ga más de un elemento ( *). Asociamos otra vez un nuevo
grafo parcial que tiene un arco más. Si finalmente tenemos una correspondencia completa, los blaques S«, serán los componentes fuertes del grafo definido por esta corres(*)
Para más detalles, ver (6^, págs. 45-57.
ANALISIS DE LA ESTRUCTURA CAUSAL DE LOS MODELOS ECONOMICOS
S3
pondencia. Convendría señalar que e ^tas componentes fuertes no dependen de la correspandencia que permitió la definición del grafo.
AI grafo original puede asociársele un grafo reducido, en el que los vértices correspondan a los componentes fuertes del grafo anterior. Los arcos de este grafa se
identifican con las relaciones de causalidad estricta y l^s caminos de más de un arco se
identifican con lo que llamamos relución de causalidad transiti^^a. Estos caminos pueden tar^nbién ser considerados como cadenas c•ausales entre los conjuntos de variables
representadas por los bloques .
Este grafo reducido no tiene circuitos y existe al menos un vértice cuyo grado es
cero. E1 conjunto de vértices cuyo grado es cero determina un conjunto de bloques que
son completamente independientes, esto es, no existe relación alguna de causalidad
entre estos bloques. A un conjunto de bloques de este tipo lo llamamos nivel. Consideremos entonces el sub-grafo obtenido omitiendo los vértices del primer nivel. Este
sub-grafo tampoco tiene circuitos, por lo que podemos identificar los bloques del segundo nivel, y así sucesivamente.
Todos estos resultados pueden resumirse en una matriz triangular B de orden p a la
que llamamos forma final de la estructura causal. Las filas y coiumnas de B están
particionadas en K conjuntos, cuyos elementos vienen definidos por los blaques de
cada uno de los K niveles. Los elementos de la matriz B se definen de la manera
siguiente:
2
Si existe una relación de causalidad transitiva entre el bloque j y el bloque
i.
1
Si S;; ^ U(relación de causalidad estricta entre el bloque j y el bloque i).
0
En otros casos.
De tal manera que una fila i de la matriz B indica si existe una relación de
causalidad estricta o" transitiva entre un bloque j, j< i, y el bloque i, o bien no existe
causalidad alguna. De la misma manera la i-ésima calumna muestra qué clase de
casualidad relaciona el bloque i y el bloque j, j> i.
Por otra parte, se puede demostrar ([b] , págs. 70-75) que el submadelo formado para
una i dada por el conj unto:
H t^ ^ ^;U h ci ^ ^, J
_ {j^b;, ^ o}
donde las h^j) son el canjunto de relaciones que corresponden a la matriz S^.;, es
separable del resto del madela.
Este método de análisis de la estructura causal ha sido aplicado a varios madelos,
por ejemplo, al modelo sobre el futuro de la economía mundial de las Nacianes 1lnidas,
54
ESTADl5TICA ESPAÑOLA
dirigido por W. Leontief ^^(, al modela a corto plazo DESM(JS para la CEE ( 7J y al
mudelc^ econométrica de la W harton School [^i) . EI análisis causal nos da, por tanto,
rápidamente una buena idea de1 funcicinamiento de estus modelos.
V.
^AUSALiDAD EN M(JDELíJS DINAMICOS
La causalidad analizada hasta ahara está referida solamente a las variables endógenas; sin embargu, en el casa de modelos dinámicus en los que aparecen variables
endógenas retardadas, este análisis puede que no sea suficiente. En este caso, es
interesante identificar las rela^ciones de causalidad existentes entre variabes endógenas
durante varios períodos, con el fin de caracterizar el papel de las varibles endógenas
retardadas en la causalidad interna.
Para un modelo en el cual el mayor retardo de las variables endógenas es de orden
p, podemos escribir el modela ( I ^ para varios períodos de la manera siguiente:
h*^,v*, Z*) = 0
donde las variables endógenas de p períodas vienen definidas por
- (y, , yr+, ,
•, yl+^,}
y las exógenas por
*^ V`^- I. ••-, yt-p, Z^, Z^.^. ^,
Zí+P^)
La farma finaí de la estructura causal de h* muestra también las relaciones temporales de causalidad entre variables endógenas de períodos sucesivas.
A largo plazo, un modelo dinámico conduce a alguna forma de equilibrio. Para
conoeer la estructura causal de este equilibrio podemos agregar el modelu dinámico
sobre varios períodos. Esto se realiza reduciendo el retardo de las variables endógenas
en cada relación. La forma final de este nueva modelo rnuestra entonces su funcionamienta en equilibrio.
En el caso de un modelo completamente interdependiente, o para un bloque, ^qué se
puede hacer para conucer algo acerca de las interacciones existentes en el interior de
este modelo o bloque? Hay varios caminos para conseguir ésto. Podemos retardar
temporalmente algunas variables endógenas de tal manera que el modelo o bloque sea
recursivo. Este sistema puede entonces interpretarse como el modelo dinámicu fundamental que conduce al biaque o modelo interdependiente.
En ( 6( se aplica el pruceso de retardc^ artificial de variables a un bloque de S i
variables de un modelo econométrico de ia Wharton School.
ANALIS[S DE LA E5TRUCTURA CAUSAL DE LC)S MODELOS ECC)NC)M1COS
V1.
55
ADVERTENCIAS FINALES
El análisis de las estructuras causales [7] es uno de los componentes del programa
de investigación del Departamento de Econometría de la Universidad de Ginebra, centrado sobre el contenido c ual itati vo de los modelos económicos cuantativos. Lcas otros
componentes de este programa son objeto de estudio por parte de R. Ritschard [ 8^
(sobre los grafos con signos), D. Royer ( 9[ (sobre el contenido cualitativo de los modelos
de decisión), E. Rossier [ lOj (sobre la estructuración en el interior de los bloques
simultáneos) y con E. Fontel a[ I 1](sobre las formas condensadas de los modelos).
REFERENCIAS
(1 ]
L. SOLAR[ with E. ROSS[ER: «De 1'économie qualitative á 1'économie yuantitative. Pour une
méthodologie de 1'approche formalisée en science économique». Masson. Paris, 1977.
( 2)
R©ss[ER, E.: «Economie structurale» . Ec•vn^^micu. Paris, 1980.
[ 3]
WARFIELD, J. N.: «Soc ietal Systerns: Planning, Policy and Complexity. John Wiley. New
York, 1977.
[ 4J
FONTELA, E.: DEMATEL Report 73. «Analytical Methods». Battelle lnstitute. Genéve,
1973.
(5]
G[LL[, M., and R[TSC[-^[ARD, G.; «A program for causal and qualitative analysis of eeonomic
models ANAS». Ec•unumetric^u, vol. 46, núm. 2. March, 1978.
(6)
G[LL[, M.: «Etude et analyse des structures causales dans les modéles économiques». Peter
Lang. Berna, 19?9.
(7]
FUNTELA, E., and G[LL[, M.: «The causal siructure of economic models». Futures, vol. 9,
dec. 1977.
( 8)
RtTSCHARD, G.: «Contribution á 1'analyse des structures qualitatives des mUdéles économiques». Peter Lang. Berna, 198©.
( 9)
Rov^R, D. :«Contribution á I'analyse des siructures quaiitatives des modéles de déc ision» .
Peter Lang. Berna, 1980.
( lOJ
RosstER, E.: «La notion de cohésion et 1'analyse des structures interdépendantes». Cuh^ers
du Départem^nt d'^cunumétrie, Université. Genéve, 1978.
[ 11)
FONTELA, E., and ROSSIER, E.: «Condensed forms of large scale rnodels. To be published in
Large Scale Systems» . Amsterdam, 1980.
SUMMAR^
Quantitative economics aims at determining a pcxrtic•«Iclr strt^cte^r^ of a
mudel, In specifying only the presence or absence uf the variables in each
relatiun, we detine the class of c•u^^.^u! struc•te^rc^s.
S6
ESTADIST^CA ESPAI^iC}LA
This pdper is cc^ncerneci with ihe expluratiun uf the pruperties uf ecuTherefure, the
numic rnucl^:ls exclusively based un the causdl structure.
analysis of the causal estructure uf a muciel is an attempt at ^^cyuiring a
deeper understanding uf the functioning af a mudel.
A cumputer program wds written, which allows, fur given causal structure to derive in a very operational way the resulis presented.
Key ^wrds: Structure, causality, model.
AMS, 197U. Subjeci classification: 90A20.