En memoria de Max Planck. - UAM-I

En memoria de M ax Planck¤
Ma n u e l S a n d o va l V a lla r t a
El 23 de abril de este a~
no se celebr¶o en todo el mundo el centenario del nacimiento de Max Planck, uno
de los m¶
as eminentes f¶³sicos del siglo XX. Varios de
nosotros hab¶³amos pensado recordar la fecha de este acontecimiento, con una ceremonia apropiada, la
que desgraciadamente no pudo veri¯carse por causas que no viene a cuento relatar aqu¶³.
m¶etodo, su atenci¶
on a los detalles y su dedicaci¶on a
los alumnos.
Planck descubri¶
o en 1901 la existencia de fen¶
omenos
cu¶
anticos en las leyes de la radiaci¶
on, de tal manera
revolucionarios que no fue hasta 1921 que se resolvi¶o
a publicar su WÄ
armestrahlung, tres a~
nos despu¶es de
recibir el premio Nobel en 1918.
Tengo sin embargo, razones especiales para no dejar
pasar desapercibida esa fecha, pero no puedo entrar
en materia sin hacer reminiscencias personales que
espero se me tolerar¶an en esta ocasi¶on.
>Cu¶
al fue este descubrimiento fundamental y revolucionario de Planck? Para exponerlo con un m¶³nimo
de recursos matem¶
aticos usar¶e el ejemplo del oscilador arm¶
onico, cuyo modelo ser¶³a un cuerpo de masa m colgado de un resorte de constante el¶astica k.
Si x es la distancia de la masa m al punto de equilibrio, la ecuaci¶
on del movimiento es, seg¶
un la segunda Ley de Newton:
Hacia 1923 hab¶³a ya resuelto que la principal ocupaci¶
on de mi vida ser¶³a la f¶³sica. En ese decenio el centro de la f¶³sica estaba en Alemania y as¶³ era natural que las miradas de todos los que intent¶abamos llenar nuestra vida intelectual con el estudio de la f¶³sica
se dirigieran a ese pa¶³s. En 1926 tuve la buena fortuna de que se me concediera una beca del Fondo Guggenheim para hacer estudios en Europa, e inmediatamente resolv¶³ dedicarla a hacer mis estudios en Alemania. >En qu¶e universidad? Hab¶³a que escoger entre tres: la de Munich, donde la c¶atedra de f¶³sica estaba a cargo de Sommerfeld, cuya reputaci¶
on cono maestro y expositor era excelente, la de GÄ
ottingen, donde Max Born era la luminaria principal y
la de Berl¶³n. Sus c¶atedras de f¶³sica estaban en manos de Einstein, que ense~
naba relatividad, SchrÄ
odinger, mec¶
anica ondulatoria. Von Lau, difracci¶
on en
cristales, y Planck, que ese a~
no de 1927 daba c¶
atedra
de teor¶³a electromagn¶etica con especial atenci¶
on a
la ¶
optica. Adem¶as, Reichenbach ense~
naba epistemolog¶³a y Schur, teor¶³a de los grupos, con von Neumann
como ayudante. Rara vez se ha reunido en la misma universidad una constelaci¶on semejante de estrellas de primer¶³sima magnitud. Hacia Berl¶³n dirig¶³ mis pasos.
mÄ
x = ¡kx;
donde los puntos superiores indican derivadas respecto a tiempo
x_ =
Esta ecuaci¶
on diferencial se escribe tambi¶en
mÄ
x + kx = 0;
cuya soluci¶
on es
x = A cos !t + B sin !t;
donde A y B son constantes arbitrarias y
Me inscrib¶³ y asist¶³ regularmente a clase con Einstein, SchrÄ
odinger, Planck, Reichenbach y Schur. De
vez en cuando concurr¶³a a la de Von Laue.
!=
p
k=m;
como se ve al sustituir la soluci¶
on en la ecuaci¶on
diferencial,
En 1927 Planck ten¶³a 69 a~
nos y hab¶³a pasado ya la
edad de jubilarse. Sin embargo, a petici¶on suya y
como concesi¶on especial, continuaba en el ejercicio
docente. Su c¶atedra se caracterizaba por su riguroso
¤ C on fer en cia su sten tad a en
ju n io d e 1958.
dx
d2 x
;x
Ä= 2:
dt
dt
A y B se determinan por las condiciones iniciales del
movimiento Para
E l C olegio N acion al el 12 d e
x = A y x_ = 0
45
46
ContactoS 32, 45{47 (1999)
en el instante inicial, t = 0, la soluci¶on es
x = A cos !t y B = 0:
De aqu¶³ se obtiene
x = ¡A! sin !t
y, en consecuencia, la cantidad de movimiento o momento p es
p = mx = ¡mA! sin !t;
elipse en el espacio de fase. A la relaci¶
on entre p
y x en este espacio se le llama trayectoria de fase.
Podemos expresar nuestro hallazgo diciendo que la
trayectoria de fase de un oscilador arm¶
onico es una
elipse.
Procedamos ahora a encontrar el ¶
area ® de esta elipse. Seg¶
un la geometr¶³a, ¶esta es:
® = ¼A £ mA! = ¼A2 m!;
p
donde ! = k=m y !, la frecuencia circular, est¶a
ligada con la frecuencia ordinaria º por la relaci¶on
bien conocida
luego,
! = 2¼º;
x
= cos !t;
A
p
= ¡ sin !t
mA!
y haciendo el cuadrado y sumando
x2
p2
+
=1
A2 m2 A2 !2
substituyenbdo se obtiene
® = 2¼2 A2 mº 2 ;
luego
®º = 2¼ 2 A2 mº 2 ;
o sea
que es la ecuaci¶on de una elipse en el plano (p; x).
Al llegar aqu¶³, necesitamos recordar algunas nociones de mec¶
anica estad¶³stica. Se llama espacio de fase al espacio cuyas coordenadas son las que ¯jan la
posici¶
on de una part¶³cula en movimiento, y las componentes de su cantidad de movimiento, o momento. Por ejemplo, el espacio de fase de una part¶³cula
que se mueve en el espacio ordinario es de seis dimensiones, tres que corresponden a los tres grados de libertad de la part¶³cula y tres que pertenecen a las tres
componentes de su momento, un punto cualquiera
del espacio de fase determina en consecuencia la posici¶
on y la velocidad inst¶antanea de la part¶³cula.
El oscilador arm¶onico tiene un grado de libertad,
puesto que su posici¶on est¶a completamente determinada cuando se conoce la distancia x de la masa en el punto de equilibrio, y en consecuencia tiene una sola componente del momento,
p = mÄ
x:
®º = 2¼ 2 A2 m
µ
k
4¼2 m
¶
1
= kA2 :
2
Por otra parte la energ¶³a total E del oscilador es la
suma de su energ¶³a cin¶etica, T , y su energ¶³a potencial
V , se tiene
T=
1
1
1
mx2 = mA2 !2 sin2 !t = kA2 sin2 !t;
2
2
2
V =
1 2 1 2
kx = kA cos2 !t;
2
2
luego
1
E = T + V = kA2 = ®º
2
Su espacio de fase, por tanto, es de dos dimensiones.
Es decir, la energ¶³a total es el producto del ¶
area de
la elipse (trayectoria de fase) por la frecuencia del
oscilador.
Cuando el oscilador est¶a en movimiento p y x no
pueden variar de cualquier modo. Como ya hemos
visto los dos est¶
an ligados entre s¶³ de tal modo que
cuando el oscilador se mueve p y x describen una
En mec¶
anica cl¶
asica el ¶
area ® depende s¶
olo de
las condiciones iniciales del movimiento del oscilador, que son arbitrarias, en consecuencia pude tener un valor cualquiera. En otras palabras, cualquier
En memoria de Max Planck. Manuel Sanoval Vallarta.
trayector¶³a el¶³ptica de fase es posible en mec¶
anica
cl¶
asica.
En la teor¶³a de la radiaci¶on se asimila la fuente a
un conjunto de osciladores arm¶onicos, cada uno con
su propia frecuencia. El descubrimiento revolucionario de Planck fue que para obtener una ley de la radiaci¶
on de acuerdo con el experimento es preciso suponer que el ¶area de la trayector¶³a el¶³ptica de fase no
es arbitraria, sino que s¶olo son posibles aquellas elipses cuya ¶
area es un m¶
ultiplo entero de un constante, es decir,
® = nh;
de aqu¶³ se sigue que la energ¶³a tampoco puede tener
un valor arbitrario sino que s¶olo son permitidos los
valores
E = nhº
La constante h desempe~
na un papel fundamental no
s¶
olo en la teor¶³a de la radiaci¶on sino en toda la f¶³sica
at¶
omica y nuclear.
Sus dimensiones son las mismas de a,
®=
Z
pdx
es decir, cantidad de movimiento por desplazamiento
o, lo que es lo mismo, energ¶³a por tiempo. Su valor
num¶erico es
47
experimento y da la ley de Wien y, asint¶
oticamente,
la ley de Rayleigh para grandes longitudes de onda, o sea para frecuencias peque~
nas.
Deseo mencionar, por u
¶ltimo la raz¶
on especial de mi
gratitud a Max Planck. En 1927 tuvo lugar en Bruselas un Congreso Solvay. En ¶el participaron Dirac, Born, Heisenberg, Einstein, Bohr, de Broglie.
Presidi¶
o Lorentz. Se trataba de una reuni¶
on privada con asistencia por rigurosa invitaci¶
on. Se discuti¶
o all¶³ la interpretaci¶
on probabilista de la mec¶anica
cu¶
antica ondulatoria y all¶³ tuvo lugar la famosa controversia entre Bohr y Born, por una parte y Einstein
por la otra. Mis deseos de asistir como simple oyente eran muy grandes. Fue Max Planck quien, al enterarse de ellos, me facilit¶
o la entrada al Congreso.
A ¶el le debo pues haber podido escuchar una discusi¶
on cl¶
asica en la historia de la f¶³sica con repercusiones que no han terminado todav¶³a treinta a~
nos despu¶es.
Los trabajos m¶
as importantes de Planck son los que
se citan a continuaci¶
on:
1. Warmestrahlung (Radiaci¶
on t¶ermica), 1921.
Ä
2. Uber
das Gesetz der Energievereilung mi Normalspektrum (Sobre la ley de la distribuci¶on de
energ¶³a en el espectro normal, Annalen der Physik, 6, 553 (1901).
Ä
3. Uber
die Elementarquanta der Materie und der
ElektrizitÄ
at (Sobre los cuantos elementales de
la materia y de la electricidad). Annalen der
Physik, 4, 564 (1901).
h = 6:62 £ 10¡27 erg seg
aproximadamente. Se le denomina constante de
Planck, en honor de su descubridor.
Una vez que Planck descubri¶o que en la radiaci¶
on la
energ¶³a solamente existe en forma de m¶
ultiplos enteros del producto hº, no tuvo di¯cultad para encontrar la ley de la radiaci¶on
%=
8¼hº 2
1
c3 ehº=kT ¡ 1
donde % es la densidad de energ¶³a, c es la velocidad
de la luz, k es la constante de Boltzmann
k = 1:38 £ 10¡16 ergs= ± K
T es la temperatura absoluta del cuerpo que emite la radiaci¶on y los dem¶as s¶³mbolos tienen su signi¯caci¶
on usual. Est¶a rigurosamente de acuerdo con el
cs