Tarea 2 - Universidad de Concepción

Tarea 2 de Mecánica de Fluidos
Fabián Andrés Torres Ruiz∗
(∗ )Departamento de Fı́sica, Universidad de Concepción, Chile
July 18, 2003
1
Problema 1
Ahora, realizamos un desarrollo en serie de Laurent para la expresión del argumento del logaritmo.
En la seccion 7, se obtuvo el potencial para un Esta función es analı́tica en el plano complejo exdoblete como:
epto en el punto z = i, ası́ se tiene que:
µ
ω=
z
z − i
1
Este potencial se obtuvo convinando una fuente y
= (z − i)
z + i
z + i
un sumidero sobre el eje x. Muestre que el mismo
!
potencial puede ser obtenido superponiendo un vor1
(z − i)
=
tice horario de circulación −Γ sobre el eje y en y = z
1 − − iz
y un vortice antihorario de circulación Γ en y = −,
haciendo tender a cero.
1.1
El término de la derecha lo podemos expresar
como una serie de potencias. Ası́ se tiene que:
Solución
El potencial para un vortice antihorario en y = −
es:
ω = −i
!
2
i
(z − i)
i
z − i
+ −
+ ...
=
1+ −
z + i
z
z
z
!
2
i
i
i
=
1−
1− +
+ ...
z
z
z
!
2
2
i
i
i
i
+ ... − +
...
=
1− +
z
z
z
z
2
i
2i
+ ...
+2
= 1−
z
z
2i
≈ 1−
z
Γ
ln (z + i)
2π
Mientras que para uno hoprario colocado en y = es:
ω=i
Γ
ln (z − i)
2π
Por la linealidad de la ecuacion de Laplace, el
potencial final es la superposición de los dos potenciales individuales:
Γ
[ln (z − i) − ln (z − i)]
2π z − i
Γ
ω = i
ln
2π
z + i
ω = i
(1)
(2)
1
Mecánica de Fluidos
Tarea 2
Reemplazando el resultado anterior en la expresión (2) se tiene que:
Γ
2i
ω = i
ln 1 −
2π
z
Γ
2i
≈ i
−
2π
z
Γ
=
πz
De este modo, si definimos µ =
resultado anterior se expresa como:
ω=
Γ
π
entonces, el
3
µ
z
considere una fuentede intensidad m en el punto
(−a, 0) y un sumidero de igual intensidad en
(−a, 0), y suponga una corriente dirigida a lo largo
del eje x. Muestre que existen dos puntos de estancamiento localizados sobre los puntos del eje x:
Que es la expresión buscada.
2
Problema 2
Integrando directamente la presion muestre que el
arrastre sobre un cuerpo semi plano es cero (sección
8)
2.1
Solución
Problema 3
x = ±a
m
21
+1
πaU
Muestre que las streamlines que pasan atravez de
los puntos de estancamiento son dadas por ψ = 0.
Verifique que la linea ψ = 0 representa un cuerpo
con forma de ovalos cerrado cuyo ancho maximo h
esta dado por la solucion de la ecuación:
πU h
h = a cot
m
El cuerpo generado por la superposición de todo
esto es llamado Cuerpo de Rankine que se convierte
en un cı́rculo cuando la fuente y el sumidero se
aproximan el uno al otro.
3.1
Solución
Primero que nada, consideremos los potenciales independientemente. El potencial para una fuente de
intensidad m y colocada en el punto (−a, 0) es:
ωf =
Fabián Torres R.
m
ln (z + a)
2π
Mecánica de Fluidos
Tarea 2
El potencial para un sumidero con la misma intensidad m y colocado en (a, 0) es:
Con lo cual el primer punto queda demostrado.
Para probar directamente el siguiente punto,
podemos pensar que si igualamos ψ = 0, entonces
de la ecuación resultante, podemos despejar los valEl potencial para una corriente de velocidad U a ores de los puntos de estancamiento.
lo largo de la dirección x es:
Sabemos que:
ωs = −
m
ln (z − a)
2π
ωc = U z
ω = φ + iψ
De este modo, el potencial obtenido por superDe modo que la funcion de stream esta determiposición es:
nada atravez del potencial ω, de modo que, separando en parte real e imaginaria, haciendo ζ = z +a
ω = ω f + ωc + ωs
y η = z − a, se tiene que:
m
m
ln (z + a) + U z −
ln (z − a)
=
2π 2π
m
ζ
ω =
ln
+ Uz
m
z+a
2π
η
=
ln
+ Uz
2π
z−a
m
[ln (ζ) − ln (η)] + U z
=
2π
Ahora, si buscamos la diferencial con respecto
m
=
ln Rζ eiθζ − ln Rη eiθη + U z
a z, manteniendo y constante (se puede utilizar
2π
cualquier dirección arbitraria, ya que la función es
m
=
[ln (Rζ ) − ln (Rη ) + i (θζ + θη )] + U (x + iy)
analı́tica en la región en cuestión ), se tiene que:
2π
m
=
[ln
(R
)
−
ln
(R
)]
+
U
x
+ ...
ζ
η
m z−a
−2a
dω
2π
+
U
(3)
=
m
dz
2π z + a (z − a)2
[θζ + θη ] + U y
. . . +i
ma
1
2π
= −
+U
(4)
π (z 2 − a2 )
Donde hemos hecho:
Sabemos que:
dω
= u − iv
dz
Rζ = |z + a|
y
−1
θζ = tan
x+a
Rη = |z − a|
y
−1
θη = tan
x−a
, se obtienen Es claro que el valor de la función ψ es:
Ası́, igualando a cero la derivada de dω
dz
los puntos de estancamiento, es decir:
m
[θζ + θη ] + U y
ψ =
ma
1
2π 0 = −
+
U
π (z 2 − a2 )
m
y
y
−1
−1
=
tan
+ tan
+ Uy
1
ma
2π
x
+
a
x
−
a
U =
π (z 2 − a2 )
Si igualamos ψ = 0 entonces se tiene:
ma
= z 2 − a2
πU
m
y
y
−1
−1
ma
tan
+ tan
= −U y
z 2 = a2 +
2π
x+a
x−a
πU
21
m
+1
z = ±a
πaU
Fabián Torres R.
Mecánica de Fluidos
Tarea 2
Por otro lado, sabemos que las ecuaciones para
las Streamlines son
dy
dx
=
u
v
(5)
El problema de encontrar las streamlines que
pasan por los puntos de estancamiento lo podemos
considerar como un problema de valores de contorno.
Utilizando las ecuaciones 5 se tiene que:
dy
u
=
dx
v
Fabián Torres R.