3Composición de Aplicaciones

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Composición de Aplicaciones
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(c) 2012 Leandro Marin
1. Aplicaciones Lineales y Matrices
Una aplicación lineal f entre dos espacios vectoriales V y W es una
forma de asignar a cada vector v ∈ V un vector f (v) ∈ W cumpliendo las
siguientes condiciones:
(1) Para todo u, v ∈ V se tiene que f (u + v) = f (u) + f (v)
(2) Para todo v ∈ V y todo λ ∈ K, f (λv) = λ f (v).
Dicho de otra forma, puesto que las operaciones básicas de un espacio
vectorial son la suma de vectores y el producto por escalares, para que f
sea una aplicación lineal, debe respetar ambas operaciones.
Para definir una aplicación lineal, en realidad basta con dar los valores
de f (vi ) para unos vectores A = {v1 , v2 , · · · , vn } que sean base de V . Si
conocemos estos valores y v es un vector cualquiera de V , podremos
deducir cuanto vale f (v) utilizando la linealidad, porque v se tiene que
poner de forma única como λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn y por lo tanto
f (v) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λn f (vn )
Por otro lado, si disponemos de una base B = {w1 , w2 , · · · , w m } de
W , podríamos escribir cada uno de los vectores f (v j ) como combinación
lineal de los vectores w i , con lo que podríamos encontrar valores ai j ∈ K
tales que
f (v1 )
f (v2 )
.
.
.
f (vn )
=
=
=
a11
a12
.
.
.
a1n
w1
w1
.
.
.
w1
+
+
+
a21
a22
.
.
.
a2n
w2
w2
.
.
.
w2
+
+
···
···
+
+
+
···
+
am1
am2
.
.
.
amn
wm
wm
.
.
.
wm
Estos coeficientes se representan en forma de matriz poniendo los
coeficientes que nos determinan los f (v j ) como columnas de la matriz.
Es decir, la matriz de f con respecto a estas bases es


a11 a12 · · · a1n

 a
 21 a22 · · · a2n 
 .
.
. 
AB ( f ) = 
.
.
. 
 .
.
. 
a11 a12 · · · a1n
M
Cuando tomamos las bases canónicas en ambos espacios, el cálculo es
inmediato. Vamos a verlo con un ejemplo:
Supongamos que tenemos una aplicación lineal f : Q3 → Q2 . Para
definirla tenemos que dar, para cada vector (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Q3 el valor de
f (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Q2 . Como f (x 1 , x 2 , x 3 ) tiene que tener dos coordenadas
(por ser un vector de Q2 ) tendremos que dar las fórmulas para las
dos coordenadas, que llamaremos f1 (x 1 , x 2 , x 3 ) y f2 (x 1 , x 2 , x 3 ). Las
fórmulas podrían ser por ejemplo
f1 (x 1 , x 2 , x 3 )
f2 (x 1 , x 2 , x 3 )
=
=
x1
+
2
x2
x2
−
+
1
2
x3
x3
Vamos a calcular la matriz de f con respecto a las bases canónicas de
los dos espacios. En nuestro ejemplo V = Q3 y w = Q2 . Los vectores de
la base de V que vamos a tomar son los de la base canónica, en este caso
v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) y v3 = (0, 0, 1). Los vectores de la base de W
también van a ser la canónica w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1).
f1 (v1 ) = f1 (1, 0, 0) = 1
f2 (v1 ) = f2 (1, 0, 0) = 0
f (v1 ) = f1 (v1 )w1 + f2 (v1 )w2 = 1 · w1 + 0 · w2
f1 (v2 ) = f1 (0, 1, 0) = 1
f2 (v2 ) = f2 (0, 1, 0) = 1
f (v2 ) = f1 (v2 )w1 + f2 (v2 )w2 = 1 · w1 + 2 · w2
f1 (v3 ) = f1 (0, 0, 1) = −1
f2 (v3 ) = f2 (0, 0, 1) = 1
f (v3 ) = f1 (v3 )w1 + f2 (v3 )w2 = −1 · w1 +
Aplicando las fórmulas, la matriz resultante es:
Œ
‚
1 1 −1
1
0 2
2
1
2
· w2
Cuando estamos en este caso especial, la inspección directa de las
ecuaciones nos puede proporcionar los coeficientes de la matriz, puesto
que si nos fijamos, los coeficientes de la matriz son los mismos que nos
definen las ecuaciones en el mismo orden:
f1 (x 1 , x 2 , x 3 )
f2 (x 1 , x 2 , x 3 )
=
=
+
x1
x2
x2
2
−
+
1
2
x3
x3
2. Composición de Aplicaciones
Sean g : V1 → V2 y f : V2 → V3 dos aplicaciones lineales, dado un
vector v ∈ V1 podemos llevarlo a V3 dando dos pasos, primero lo llevamos
a V2 con g y luego lo llevamos a V2 con f , de esta forma obtenemos
f (g(v)) ∈ V3 . Esta asignación es lo que se conoce como composición de
las aplicaciones lineales f ◦ g : V1 → V3 .
Para calcular la matriz de la composición de las aplicaciones necesitamos fijar las bases en cada uno de los espacios con las que representamos
las matrices.
Supongamos que tomamos una base B1 del espacio V1 , una base B2 del
espacio V2 y una base B3 del espacio V3 . Fijadas estas bases tenemos las
matrices de g con respecto a las bases B1 y B2 , que denotemos B1 B2 (g)
y la de f con respecto a las bases B2 y B3 , que denotamos B2 B3 ( f ).
M
M
f ◦g
g
V1
M
B1 B3 ( f ◦g)=
M
%%//
f
// V2
(f )
M
V3
(g)
B B
B B
e _2 Y3 S 1 2
k
M
r
%%
B1 _ _ _// B2 _ _ _// B3
M
B1 B2 (g)
M
B2 B3 ( f )
La matriz de la composición de aplicaciones es precisamente el
producto de las matrices de las aplicaciones que se componen.
M
B1 B3 ( f
◦ g) =
M
B2 B3 ( f
)
M
B1 B2 (g)
Esta fórmula es muy fácil de recordar si tenemos en mente el diagrama
anterior.
3. Ejercicios Resueltos.
Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliaciones Qlineales viendo cuales son las composiciones posibles:
f1 (x 1 , x 2 , x 3 )
f2 (x 1 , x 2 , x 3 )
g 1 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
g 2 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
g 3 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
=
=
=
=
=
+
x1
−
−
+
y1
2
x2
x2
−
+
2
2
y2
y2
y2
+
−
+
1
2
2
2
1
2
x3
x3
y3
y3
y3
Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma
matricial:
La matriz de la aplicación f : Q3 → Q2 es
‚
Œ
1 1 −1
1
0 2
2
la matriz de g : Q4 → Q3 es

0
 0

−1
1
−2
2
La composición f ◦ g : Q3 → Q3 es

Œ
‚
1 1 −1


1
0 2
2
=
‚
1
2
0
0
−1
−3
−3
1
− 12

0
0 

0
2
−2
1
−2
2
− 21
− 15
4
2
−2
1
2
0
0
Œ

0
0 

0
La composición g ◦ f no se puede hacer.
Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliaciones F5 lineales viendo cuales son las composiciones posibles:
f1 (x 1 , x 2 , x 3 )
f2 (x 1 , x 2 , x 3 )
=
=
3
x1
+
2
2
x2
x2
+
+
3
x3
x3
g 1 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
g 2 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
g 3 ( y1 , y2 , y3 , y4 )
=
=
=
3
2
3
+
+
+
y1
y1
y1
3
3
4
y2
y2
y2
+
+
4
2
+
+
+
y3
y3
2
2
2
y4
y4
y4
Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma
matricial:
La matriz de la aplicación f : F5 3 → F5 2 es
3 2 1
0 2 3
la matriz de g : F5 4 → F5 3 es

3

 2
3
3
3
4
La composición f ◦ g : F5 3 → F5 3

3 3
3 2 1

2 3

0 2 3
3 4

2

2 
2
0
4
2
es

2
1

2 =
3
2
0
4
2
4
3
0
4
2
0
La composición g ◦ f no se puede hacer.
Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliaciones F23 lineales viendo cuales son las composiciones posibles:
f1 (x 1 , x 2 , x 3 )
f2 (x 1 , x 2 , x 3 )
g 1 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 )
g 2 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 )
g 3 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 )
=
=
=
=
=
a
(a2 + 1)
(a2 + a)
(a2 + 1)
a2
y1
y1
y1
+
+
x1
x1
+
+
(a2 + 1)
y2
a
y2
+
+
+
x2
x2
(a2 + a + 1)
(a + 1)
a
+
+
y3
y3
y3
(a2 + a + 1)
(a2 + a + 1)
+
+
+
(a + 1)
(a2 + a)
(a2 + a + 1)
x3
x3
y4
y4
y4
Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma
matricial:
La matriz de la aplicación f : F23 3 → F23 2 es
a
1
a2 + a + 1
a2 + 1 a2 + 1 a2 + a + 1
la matriz de g : F23 4 → F23 3 es

a2 + a 1 a2 + a + 1
 2
a+1
 a +1 0
a2
a
a
La composición f ◦ g : F23 3 → F23 3 es
a
a2 + 1
1
a2 + 1
a2 + a + 1
a2 + a + 1

a2 + a
 2
 a +1
a2

a+1

a2 + a

2
a +a+1
1
0
a
a2 + a + 1
a+1
a
a+1
a2 + a + 1
a+1
a2 + 1
0
a2 + a + 1
La composición g ◦ f no se puede hacer.
=
a+1
a2

a+1

2
a +a

a2 + a + 1