1 INTEGRALES de LÐNEA y de SUPERFICIE (Serie 1) 1 Hallar una

4
LQWHJUDOHV gh OÐQHD | gh VXSHUILFLH +Vhulh 4,
4 Kdoodu xqd sdudphwul}dflöq gh od holsvh gh hfxdflöq
{f4 5
d
.
|f5 5
e
@ 4=
Vroxflöq= +w, = L @ ^3> 5` $ 75 > +w, @ +f4 . d frv w> f5 . e vhq w,=
5 Kdoodu xqd sdudphwul}dflöq gh od fxuyd F gdgd sru od lqwhuvhfflöq gh odv vxshuflhv {5 . | 5 . } 5 @ 4> | . } @ 4=
Vroxflöq= +w, = L @ ^3> 5` $ 76 > +w, @ + I45 frv w> 45 .
4
5
vhq w> 45 4
5
vhq w,=
s 6 Kdoodu od orqjlwxg gh dufr gh od kìolfh ghqlgd sru +w, = ^3> 7` $ 76 / w $ frv 5w> vhq 5w> 8w 1
7 Frqvlghuhprv od sdudphwul}dflöq gh vxshuflh gdgd sru odv hfxdflrqhv { @ x frv y> | @ x vhq y> } @ x> x A 31 ÁHv
glihuhqfldeohB1 ÁHv vxdyhB1
Vroxflöq= Hv glihuhqfldeoh1 Qr hv vxdyh hq +3> 3> 3, =
8 Vhd W = 75 $ 76 gdgd sru { @ x frv y> | @ x vhq y> } @ x5 . y5 1 ÁGöqgh h{lvwh sodqr wdqjhqwhB1 Kdoodu ho sodqr
wdqjhqwh hq W +4> 3, =
Vroxflöq= Qr h{lvwh sodqr wdqjhqwh hq +3> 3> 3,1 Hq W +4> 3, ho sodqr wdqjhqwh hv } @ 5{ 4=
9 Vxsrqjdprv txh xqd vxshuflh V hv od juäfd gh xqd ixqflöq glihuhqfldeoh frq frqwlqxlgdg } @ j+{> |, frq j = 75 $
71 Ghprvwudu txh od vxshuflh hv vxdyh hq wrgrv orv sxqwrv +{3 > |3 > j+{3 > |3 ,, 5 76 | kdoodu ho sodqr wdqjhqwh1
Cj
Cj
Vroxflöq= } }3 @ C{
+{ {3 , . C|
+| |3 , =
: Kdoodu xqd sdudphwul}dflöq sdud ho klshuerorlgh gh xqd krmd {5 . |5 } 5 @ 4=
Vroxflöq= +frvk x frv > frvk x vhq > vhqk x,/ 3 5> 4 ? x ? 41
; Kdoodu grv sdudphwul}dflrqhv sdud ho sduderorlgh } @ {5 . |5 =
Vroxflöq=
Frrughqdgdv fduwhvldqdv= W = G 75 $ 76 > W +x> y, @ +x> y> x5 . y5 ,> G @ +4> .4, +4> .4,1
Frrughqdgdv floðqgulfdv= W = G 75 $ 76 > W +x> y, @ +x frv y> x vhq y> x5 ,> G @ ^3> .4, ^3> 5`1
< Kdoodu grv sdudphwul}dflrqhv sdud od vhplhvihud {5 . |5 . } 5 @ d5 > } 3=
Vroxflöq=
s
Frrughqdgdv fduwhvldqdv= W = G 75 $ 76 > W +x> y, @ +x> y> d5 x5 y5 ,> G @ i+x> y,@x5 . y5 d5 j=
Frrughqdgdv hviìulfdv= W = G 75 $ 76 > W +x> y, @ +d vhq x frv y> d vhq x vhq y> d frv x,> G @ ^3> ` ^3> 5`=
43 Fdofxodu ho äuhd gh od sruflöq gh vxshuflh ghqlgd sru W +x> y, @ +x vhq y, l . +x frv y, m . x5 n> 3 x 6>
3 y 5=
Vroxflöq=
6:6@5 4
45
^5 3` =
44 Vhd G od uhjlöq ghwhuplqdgd sru 3 5> 3 u 4 | vhd od ixqflöq W = G $ 76 ghqlgd sru { @ u frv >
| @ u vhq > } @ u xqd sdudphwul}dflöq gh xq frqr V1 Fdofxodu ho äuhd gh od vxshuflh V1
s
Vroxflöq= 5=
45 Fdofxodu ho äuhd gh od sduwh gho sduderorlgh {5 . |5 . } @ 8 txh hvwä sru hqflpd gho sodqr } @ 41
Vroxflöq=
6@5
9 +4:
4,=
46 Kdoodu ho äuhd gh od sruflöq gho sodqr { . | . } @ 4 txh hvwä hq ho sulphu rfwdqwh +{ 3> | 3> } 3,1
Vroxflöq=
I
6
5 =
5
5
5
47 Kdoodu ho äuhd odwhudo gho flolqgur { . | @ 7> 3 } 6=
Vroxflöq= 451
48 Kdoodu ho äuhd gh od vxshuflh gh od hvihud V ghvfulwd sru od hfxdflöq {5 . |5 . } 5 @ 4=
Vroxflöq= 71
49 Vhd I +{> |> }, @ {l . {|m . n1 Kdoodu u I =
Vroxflöq= |n=
4: Vhd Y +{> |> }, @ |l {m1 Ghprvwudu txh Y qr hv xq fdpsr judglhqwh1
4; Kdoodu od glyhujhqfld gh I @ {5 |l . }m . {|}n=
Vroxflöq= 6{|=
4< Vhd od kìolfh = ^3> 5` $ 76 > w $ +frv w> vhq w> w, | vhd i+{> |> }, @ {5 . |5 . } 5 1 Fdofxodu od lqwhjudo
Vroxflöq=
I
5 5
6
6 . 75 =
53 Vhd i xq fdpsr hvfdodu | F xqd fxuyd1 Fdofxodu od lqwhjudo gh oðqhd
U
F
U
i+{> |> },gv
igv hq orv vljxlhqwhv fdvrv= d, i+{> |, @ s {|
4.| 5
| F od holsvh gh hfxdflöq {5 . 5| 5 @ 5= e, i+{> |> }, @ 5{5 } 5 | F od fxuyd gdgd sru od sdudphwul}dflöq +w, @ +4> w> hw ,>
w 5 ^3> 5` =
Vroxflöq= d, 31 e,
5
6
6@5
4 . h7
I
7 5
6 =
54 Vhd +w, @ +vhq w> frv w> w,> frq 3 w 51 Vhd I +{> |> }, @ {l . |m . }n1 Fdofxodu
U
I gv=
Vroxflöq= 55 =
U
55 Fdofxodu {5 g{ . {|g| . g}/ grqgh = ^3> 4` $ 76 hvwä gdgd sru +w, @ +{+w,> |+w,> }+w,, @ +w> w5 > 4,=
Vroxflöq=
44
48 =
56 Fdofxodu od lqwhjudo
U
frv }g{ . h{ g| . h| g}/ grqgh +w, @ +4> w> hw , | 3 w 51
Vroxflöq= 5h . 45 h7 45 =
57 Frqvlghuhprv ho fdpsr yhfwruldo I = 75 $ 75 ghqlgr sru I +{> |, @ +{|> {5 |5 , | od flufxqihuhqfld gh
udglr xqlgdg fhqwudgd
K hq ho ruljhq gh frrughqdgdv/ hq od txh ho sxqwr lqlfldo hv ho sxqwr +4> 3,/ uhfruulgd hq vhqwlgr
dqwlkrudulr1 Kdoodu I gv=
Vroxflöq= 3=
U
58 Fdofxodu od lqwhjudo gh oðqhd L @ F {g{ . |g| . }|g} d or odujr gh od fxuyd
F @ +{> |> }, 5 76 @{5 . | 5 . } 5 @ d5 > {5 . | 5 d{ @ 3> } 3 =
Vroxflöq=
d6
; =
Vroxflöq=
4
7=
U
59 Vhd od sdudphwul}dflöq +w, @ w7 @7> vhq6 +w@5, > w 5 ^3> 4`1 Fdofxodu |g{ . {g|=
5: Vxsrqjdprv txh vh ghvfuleh xqd kholfrlgh
W +u> , @ +u frv > u vhq > , > 3 5>
phgldqwh od sdudphwul}dflöq
s
UU
3 u 4 | vhd i gdgd sru i+{> |> }, @ {5 . | 5 . 41 Kdoodu V i gV1
Vroxflöq=
;
6 =
5; Gdgd od vxshuflh V ghqlgd sru } @ {5 . |/ grqgh G hv od uhjlöq 3 { 4> 4 | 4/ fdofxodu
s s
Vroxflöq= 5 6 46 =
UU
V
{gV=
5< Fdofxodu
Vroxflöq=
V
6
5
5
5
5
} gV/ grqgh V hv od hvihud xqlwduld { . | . } @ 41
7
6 =
63 Fdofxodu
Vroxflöq=
UU
UU
V
{gV/ grqgh V hv ho wuläqjxor gh yìuwlfhv +4> 3> 3, > +3> 4> 3, | +3> 3> 4,1
I
6
9 =
64 Vhd W = G $ 76 > W +u> , @ +u frv > u vhq > , > 3 5> 3 u 4 od sdudphwul}dflöq gh od kholfrlgh V @ W +G,1
Vxsrqjdprv txh V s
wlhqh sru ghqvlgdg gh pdvd hq +{> |> }, 5 V/ grv yhfhv od glvwdqfld gh +{> |> }, do hmh fhqwudo/ hv
ghflu/ p+{> |> }, @ 5 {5 . | 5 @ 5u/ vlhqgr u ho udglr yhfwru gh odv frrughqdgdv floðqgulfdv1 Kdoodu od pdvd wrwdo gh od
vxshuflh1
6@5
Vroxflöq= 7
4 =
6 5
65 Vhd G ho grplqlr hq ho sodqr ! ghqlgr sru 3 5> 3 ! | vhd od vxshuflh V ghqlgd sru od
sdudphwul}dflöq W = G $ 76 gdgd sru { @ frv vhq !> | @ vhq vhq !> } @ frv !1 Revìuyhvh txh | ! vrq orv äqjxorv
gh frrughqdgdv hviìulfdv/ | V hv od UU
hvihud xqlwduld gh fhqwur ho ruljhq/ sdudphwul}dgd sru W 1 Vhd u ho yhfwru gh srvlflöq
u+{> |> }, @ {l . |m . }n1 Fdofxodu W u gV=
Vroxflöq= 7=
66 Vxsrqjdprv txh xqd ixqflöq gh whpshudwxud hvwä gdgd sru W +{> |> }, @ {5 .| 5 .} 5 | vhd V od hvihud {5 .| 5 .} 5 @ 4
rulhqwdgd frq od qrupdo h{whulru1 Kdoodu ho xmr gh fdoru d wudyìv gh od vxshuflh V vl n @ 4=
Vroxflöq= ;=
67 Od lqwhuvhfflöq gh } @ 45 | {5 . | 5 58/ hv xq fðufxor
UU gh udglr 8 txh hvwä hq ho sodqr } @ 451 Vxsrqjdprv txh u
hv ho fdpsr yhfwruldo u+{> |> }, @ {l . |m . }n1 Fdofxodu V u gV=
Vroxflöq= 633=
UU
68 Fdofxodu od lqwhjudo gh vxshuflh V |g|g}{g{g}.}g{g| grqgh V hv ho klshuerorlgh gh krmd ýqlfd {5 .| 5 } 5 @ 4>
3 } 5> rulhqwdgr vhjýq odv qrupdohv kdfld ho lqwhulru gho vöolgr txh olplwdq od vxshuflh | orv sodqrv } @ 3 | } @ 51
Vroxflöq=
49
6 =
69 Yhulfdu ho whruhpd gh Juhhq sdud S +{> |, @ { | T+{> |, @ {| vlhqgr G = {5 . |5 41
6: Fdofxodu ho äuhd gh od uhjlöq hqfhuudgd sru od fxuyd +klsrflforlgh, ghqlgd sru {5@6 . | 5@6 @ d5@6 / xwlol}dqgr odv
hfxdflrqhv sdudpìwulfdv { @ d frv6 > | @ d vhq6 > 3 5=
Vroxflöq= 6; d5 =
6; Vhd I @ |h} l . {h} m . {|h} n1 Suredu txh od lqwhjudo gh I douhghgru gh xqd fxuyd fhuudgd vlpsoh rulhqwdgd F txh
hv od iurqwhud gh xqd vxshuflh V hv 31
U
6< Xvdu ho whruhpd gh Vwrnhv sdud fdofxodu od lqwhjudo gh oðqhd F |6 g{ . {6 g| } 6 g} grqgh od fxuyd F hv od
lqwhuvhfflöq gho flolqgur {5 . | 5 @ 4 | ho sodqr { . | . } @ 4/ vlhqgr od rulhqwdflöq gh F od fruuhvsrqglhqwh do
prylplhqwr hq vhqwlgr frqwudulr d dtxho hq txh jludq odv pdqhfloodv gho uhorm/ hq ho sodqr {|1
Vroxflöq=
6
5 =
K
73 Fdofxodu F 5|g{.6{g| } 5 g}/ vlhqgr F od flufxqihuhqfld gh hfxdflrqhv sdudpìwulfdv { @ 6 frv w> | @ 6 vhq w> } @ 3/
sdud 3 w 5=
Vroxflöq= <=
74 Vhd I @ 5{l . | 5 m . } 5 n/ | V od vxshuflh hviìulfd xqlwduld ghqlgd sru {5 . |5 . } 5 @ 41 Fdofxodu
Vroxflöq=
;
6 =
75 Xwlol}du ho whruhpd gh od glyhujhqfld sdud fdofxodu
Vroxflöq=
7
6 =
UU
CZ
UU
V
I qgV=
+{5 . | . },gV grqgh Z hv od erod {5 . | 5 . } 5 41
7
76 Fdofxodu V I gV/ vlhqgr I +{> |> }, @ {| l . { |m . |n | V od vxshuflh gho flolqgur { . | @ 4/ dfrwdgr sru orv
sodqrv } @ 4 | } @ 4 h lqfox|hqgr odv sruflrqhv {5 . |5 4 fxdqgr } @ 4=
UU
5
5
5
5
Vroxflöq= =
77 Vhd ho fdpsr yhfwruldo I hq 76 ghqlgr sru I +{> |> }, @ |l . +} frv |} . {,m . +| frv |},n1 Suredu txh I hv
luurwdflrqdo | kdoodu xq srwhqfldo hvfdodu sdud I 1
Vroxflöq= i+{> |> }, @ {| . vhq |}=
78 Od ixhu}d judylwdwruld hmhuflgd sru xqd pdvd gh pdjqlwxg P/ vlwxdgd hq ho ruljhq R/ vreuh rwud pdvd
gh pdjqlwxg
{l . |m . }n
p vlwxdgd hq xq sxqwr duelwudulr +{> |> }, gh 76 ylhqh gdgd sru od ixqflöq I +{> |> }, @ 5 JPp
6
5
5
+{ .| .} , 5
grqgh J hv od frqvwdqwh gh judylwdflöq xqlyhuvdo1 Kdoodu ho wudedmr uhdol}dgr sdud ghvsod}du od pdvd p ghvgh xq sxqwr
D/ vlwxdgr d xqd glvwdqfld d gho ruljhq/ d rwur E/ vlwxdgr d xqd glvwdqfld e gho ruljhq/ frq 3 ? e ? d1
Vroxflöq= JPp 4e d4 =
U
79 Ghprvwudu txh od lqwhjudo 5{| 6 g{ . 6{5 |5 g| hv lqghshqglhqwh gh od wud|hfwruld hq wrgr ho sodqr/ | kdoodu od
ixqflöq srwhqfldo1
Vroxflöq= {5 | 6 =
K
6
g{{| 5 g|
5
5
7: Fdofxodu F . | +{
@ 4 hq vhqwlgr srvlwlyr1 +e, douhghgru gh od
5 .| 5 ,5 1 +d, douhghgru gh od holsvh F4 = { . 6|
5
5
flufxqihuhqfld F5 = { . | @ 4 hq vhqwlgr srvlwlyr1
+f, douhghgru gh od flufxqihuhqfld F6 = +{ . 5,5 . +| 4,5 @ 4 hq vhqwlgr srvlwlyr=
Vroxflöq= +d, 1 +e, 1 +f, 3=
7; Kdoodu ho äuhd hqfhuudgd sru od ohpqlvfdwd/ fx|d hfxdflöq hq frrughqdgdv sroduhv hv u5 @ d5 frv 5 phgldqwh xqd
lqwhjudo gh oðqhd1
Vroxflöq= d5 =
7< Fdofxodu odv äuhdv gh odv vxshuflhv vljxlhqwhv=
s
d, Ho wurqfr gh frqr gh hfxdflöq } @ d {5 . | 5 frq udglrv gh odv edvhv u4 | u5 =
e, Od vxshuflh hviìulfd {5 . | 5 . } 5 @ < olplwdgd sru ho flolqgur {5 . 7| 5 @ <=
Vroxflöq=
s
d, 4 . d5 u55 u45 1 e, 451
83 Fdofxodu ho fhqwur gh judyhgdg gho frqr gh hfxdflöq } @
frqvwdqwh1
Vroxflöq= 3> 3> 5d
6 1
s
{5 . | 5 / frq 3 } d/ gh ghqvlgdg vxshufldo 84 Vhd od flufxqihuhqfld { @ frv w> | @ vhq w> } @ 3/ sdud 3 w 51 Kdoodu ho prphqwr gh lqhufld gh uhvshfwr gh
od uhfwd | @ 5> } @ 31 Frqvlgìuhvh od ghqvlgdg olqhdo frqvwdqwh1
Vroxflöq= <=
85 Fdofxodu ho äuhd gho wrur flufxodu rewhqlgr do jludu xqd flufxqihuhqfld gh udglr U douhghgru gh xq hmh vlwxdgr hq ho
sodqr hq txh vh hqfxhqwud od flufxqihuhqfld | d xqd glvwdqfld d gh vx fhqwur/ frq d A U1
Vroxflöq= 75 dU=
86 Kdoodu odv frrughqdgdv gho fhqwur gh pdvd gh xq dufr gh flufxqihuhqfld gh udglr U | äqjxor fhqwudo / vxsrqlhqgr
od ghqvlgdg olqhdo frqvwdqwh1
5U vhq 5
Vroxflöq=
> 3> 3 =
87 Fdofxodu ho prphqwr gh lqhufld gh od vxshuflh hviìulfd {5 . |5 . +} 6,5 @ < uhvshfwr gho hmh R\ 1 Frqvlgìuhvh od
8
ghqvlgdg vxshufldo frqvwdqwh1
Vroxflöq= 873=
88 Od sulphud hfxdflöq gh Pd{zhoo/ h{suhvdgd hq irupd glihuhqfldo/ sdud xq fdpsr hoìfwulfr H @ +{> |> }, hq ho
vlhqgr m od ghqvlgdg yroxpìwulfd gh fdujd h{suhvdgd hq f@p6 | %3 od shuplvlylgdg gho ydfðr
ydfðr/ hv gly H @ m+{>|>},
%3
h{suhvdgd hq I@p1 Kdoodu ho xmr gh H d wudyìv gh xqd vxshuflh fhuudgd V1
Vroxflöq=
T
%3 =
89 Vh frqvlghud ho fdpsr yhfwruldo gdgr sru ho yhfwru gh srvlflöq U/ hv ghflu U+{> |> }, @ {l . |m . }n1 Kdoodu ho xmr
gh U d wudyìv gh od vxshuflh V> txh hv ho frqwruqr gho vöolgr Y vlhqgr Y @ i+{> |> },@{5 . | 5 d5 > k } kj=
Vroxflöq= 9d5 k=