Métodos de integración. - Universidad Politécnica de Cartagena

Juan Medina Molina
Universidad Politécnica de Cartagena
Algunos métodos de integración
1. Integrales de funciones racionales
R
Son integrales del la forma p(x)
q(x) dx donde p(x), q(x) ∈ R[x]. Supondremos que el grado
de p(x) es menor que de q(x).
Tenemos dos posiblidades:
i) El denominador no posee raı́ces complejas multiples
En ese caso q(x) = (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 . . . (x − ar )nr q1 (x) . . . qs (x) donde a1 , a2 , . . . , ar ∈
R, n1 , n2 , . . . , nr ∈ N y q1 (x), q2 (x), . . . , qs (x) ∈ R[x] que no poseen raı́ces reales y qi (x)
y qj (x) no poseen raı́ces complejas comunes a ambos si i 6= j.
Entonces escribiremos
Ar1
Ar2
(x−ar ) + (x−ar )2 + . . .
de p(x)
q(x) como suma de
A1n1
A2n2
p(x)
A11
A12
A21
A22
q(x) = (x−a1 ) + (x−a1 )2 +. . . (x−a1 )n1 + (x−a2 ) + (x−a2 )2 +. . . (x−a2 )n2 +
Arnr
M1 x+N1
Ms x+Ns
de donde se obtiene la integral
(x−ar )nr + q1 (x) + . . . + qs (x)
integrales inmediatas.
ii) El denominador posee raı́ces complejas multiples. Método de Hermite
En ese caso q(x) = (x−a1 )n1 (x−a2 )n2 . . . (x−ar )nr q1 (x)m1 . . . qs (x)ms donde a1 , a2 , . . . , ar ∈
R, n1 , n2 , . . . , nr ∈ N∗ , q1 (x), q2 (x), . . . , qs (x) ∈ R[x] son polinomios de grado 2 que
no poseen raı́ces reales, qi (x) y qj (x) no poseen raı́ces complejas comunes si i 6= j y
m1 , . . . , ms ∈ N∗ con algún mi ≥ 2.
R
R A1
R A2
R Ar
F (x)
Entonces expresaremos p(x)
dx
=
+
dx
+
dx
.
.
.
+
q(x)
G(x)
(x−a1 )
(x−a2 )
(x−ar ) dx +
R M1 x+N1
R Ms x+Ns
dx + . . . +
dx donde G(x) = (x − a1 )n1 −1 (x − a2 )n2 −1 . . . (x −
q1 (x)
qs (x)
ar )nr −1 q1 (x)m1 −1 . . . qs (x)ms −1 y el grado de F (x) es menor que el de G(x) (para el
cálculo de F (x) supondremos que el grado de éste es el grado de G(x) disminuido en una
unidad, pudiendo ser el grado menor).
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2. Integrales de funciones irracionales algebraicas
Son integrales no inmediatas de funciones en las cuales aparecen alguna raı́z o raı́ces con
el mismo radicando de la forma
Z
R(x, (
ax+b
cx+d
con a, b, c, d ∈ R o sea, integrales de la forma
n1
n2
nr
ax + b m
ax + b m
ax + b m
) 1,(
) 2 ,...,(
) r ) dx.
cx + d
cx + d
cx + d
s
Entonces hacemos el cambio ( ax+b
cx+d ) = t donde s = mcm(m1 , m2 , . . . , mr ).
3. Método de Euler
Se utiliza para calcular integrales del tipo
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx
que no son inmediatas. Los cambios que se pueden efectuar son:
√
√
i)
ax2 + bx + c = ± ax + t si a > 0.
√
√
ii) ax2 + bx + c = tx ± c si c > 0.
√
iii) ax2 + bx + c = t(x − α) si α es una raı́z real de ax2 + bx + c = 0.
4. Método Alemán
Se utiliza para calcular integrales de la forma
Z
An (x)
√
dx
ax2 + bx + c
donde An (x) es un polinomio de grado n. Entonces expresaremos
Z
Z
p
An (x)
L
2
√
√
dx = ax + bx + c An−1 (x) +
dx
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
donde An−1 (x) es un polinomio de grado n − 1 y L ∈ R. Derivando la expresión anterior
se determinan An−1 (x) y L.
R
Para el cálculo de √ax2L
dx, si ésta no es inmediata, puede ser necesaria la uti+bx+c
lización del Método de Euler.
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5. Integrales binomias
Son integrales de la forma
Z
xm (a + bxn )p dx
donde a, b ∈ R, y m, n, p ∈ Q.
Tenemos las siguientes posibilidades:
i) Si p ∈ Z entonces la integral anterior es irracional algebraica.
ii) Si
m+1
n
us .
iii) Si
∈Zyp=
m+1
n
r
s
irreducible con r, s ∈ Z entonces efectuaremos el cambio a+bxn =
+ p ∈ Z efectuaremos el cambio
a
xn
+ b = us donde s es el del apartado ii).
6. Integrales de funciones transcendentes
R
i) Si tenemos R(ax ) dx puede ser adecuado el cambio t = ax .
R
ii) Si tenemos R(arcsinx) dx puede ser adecuado el cambio t = arcsinx.
R
Si tenemos R(arctanx) dx puede ser adecuado el cambio t = arctanx.
R
iii) Para el caso R(sinx, cosx) dx el cambio general es tan x2 = t de donde sin x =
2t
1+t2 ,
cos x =
1−t2
1+t2
y dx =
2dt
1+t2 dt
aunque hay algunos casos especiales donde se pueden
simplificar los cálculos:
a) Si R es impar en seno, o sea R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) entonces haremos el
√
−1
cambio t = cos x de donde sin x = 1 − t2 y dx = √1−t
2 dt.
b) Si R es impar en coseno, o sea R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx) entonces haremos el
√
1
cambio t = sin x de donde cos x = 1 − t2 y dx = √1−t
2 dt.
c)
Si R es par, o sea R(−sinx, −cosx) = R(sinx, cosx) entonces haremos el cambio
t
1
1
t = tan x de donde sin x = √1+t
, cos x = √1+t
y dx = 1+t
2 dt.
2
2
R
iv) Si tenemos R(tanx) dx puede ser adecuado el cambio t = tanx.
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Cambios trigonométricos
Se suelen usar cuando tenemos integrales donde aparecen raı́ces de los siguientes tipos:
√
i) a2 − b2 u2 donde u es una función, a, b ∈ R \ {0}. Haremos el cambio u = ab sin t.
p
(Recordar que 1 − sin2 t = cost).
√
ii) a2 + b2 u2 siendo a, b, u como en i) . Haremos el cambio u = ab tan t. (Recordar que
√
1 + tan2 t = sect).
√
iii) b2 u2 − a2 siendo a, b, u como en i) . Haremos el cambio u = ab sect. (Recordar que
√
sec2 t − 1 = tant).
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