Termodinámica: Método de Newton–Raphson

Termodinámica: Método de Newton–Raphson
Prof. Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Quı́mica, UNAM
El método de Newton–Raphson se utiliza para encontrar las raı́ces de una función
y = f (x):
f (xr ) = 0 ,
donde xr es el valor exacto de la raı́z.
Sea xi una aproximación a xr . A partir de la pendiente m de la recta tangente a la
curva en el punto P , figura 1(a), se obtiene un punto xi+1 como siguiente aproximación
la raı́z:
f (xi )
xi+1 = xi − ′
(1)
f (xi )
m = f ′ (xi ) =
0 − f (xi )
xi+1 − xi
xr
f (xi )
xi+1 xi
La ecuación (1) permite definir un procedimiento iterativo eficiente para encontrar
las raı́ces de f (x), tal como se representa esquemáticamente en la figura 1(b). Sin
embargo, cuando la aproximación inicial a xr está muy lejos del valor exacto, pueden
ocurrir situaciones como en la figura 2(a). En este caso, o en otros como el de la figura
2(b), el método falla.
Ejemplo: Utiliza el método de Newton–
Raphson para encontrar una aproximación a
la raı́z positiva de f (x) = x2 − 1.
En este caso, f ′ (x) = 2x. En la siguiente tabla
se resume el proceso iterativo cuando se utiliza
x0 = 1.5 como valor inicial. En este ejemplo
sencillo, en cuatro iteraciones se llega a la raı́z
considerando 6 cifras significativas.
i
0
1
2
3
4
xi
1.500000
1.083333
1.003205
1.000005
1.000000
f (xi )
1.250000
0.173610
0.006420
0.000010
0.000000
f ′ (xi )
3.000000
2.166666
2.006410
2.000010
2.000000