Unidad temática 3 A nálisis de esfuerzos en un punto

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
3.5
Existe una interpretación grafica de las ecuaciones
anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr
(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha
llamado Circulo de Mohr.
Mohr.
Método Grafico. Circulo de Mohr
1
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de los Materiales
3.5
Método grafico. Circulo de Mohr
τ=
σ +σ
x
2
σ −σ
x
2
y
y
+
σ −σ
x
2
y
cos 2θ − τ sen 2θ
xy
2
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,
Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones
paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la
ecuación 3.1:
σ=
Método grafico. Circulo de Mohr
(3.1 y 3.2)
σ−
σx +σ y
2
2
+τ 2 =
σ x −σ y
2
2
( )2
+ τ xy
(3.11)
σx, σy, τxy son valores conocidos que definen el estado
plano de esfuerzo,
esfuerzo, mientras que σ y τ son variables.
variables.
sen 2θ + τ cos 2θ
xy
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
3
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de los Materiales
4
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
Por lo tanto (σx +σy)/2 es una constante C, y el
segundo miembro de la ecuació
ecuación (3.11) lo consideramos
como otra constante R. sustituyendo, la ecuació
ecuación (3.11) se
transforma en:
(σ
− C) + τ = R
2
2
2
Por lo que la circunferencia será de radio
y centro:
R=
(3.12)
C =
Esta ecuació
ecuación es aná
análoga a la de una circunferencia:
σx −σ
2
σx +σ
2
( )2
+ τ xy
(3.13)
y
2
(x(x-c)2 + y 2= R2
Ingenieria de los Materiales
y
11
5
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de los Materiales
6
MC. Daniel Ramirez Villarreal
La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el
estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.
El centro C esta a una distancia OC del origen que
es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el
radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.
Se puede comprobar fácilmente que las
coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las
expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por
lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la
variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y
(3.2).
Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional
bidimensional
7
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
MC. Daniel Ramirez Villarreal
8
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
σx
Dado el estado de
esfuerzos biaxial:
σy
τ
σy τyx )
τyx
σx > σy,
σx
τxy )
b
τxy )
Y b
τ
a
σn
2
ο
−σ
σ
σy τyx )
σ min
−τ
9
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
Los esfuerzos principales
normales σ1, σ2 .
c)
Su dirección y orientación
σy = 300 MPa
b a
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
τxy= 100 MPa
Y b
−σ
e) Su dirección y orientación
Ingenieria de los Materiales
σx= 500 MPa
τ
d) Los esfuerzos principales
cortantes τ1, τ2 y σn
C
o
σ
a X
−τ
11
MC. Daniel Ramirez Villarreal
θ
1
c
2’
θ
τ max
’
’
+σ
θ
a
X
τ min
σ max
10
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Método Gráfico: Circulo de Mohr
a) Los esfuerzos componentes
σx’, τxy’ para θ x’ = -30o
b)
θ
Ingenieria de los Materiales
1. Para el estado de esfuerzos biaxial
en el punto, Determinar :
σy = 300 MPa
1’
Ingenieria de los Materiales
1. Identificar el estado de esfuerzos
σx = + 500MPa (T)
σy = - 300MPa (c)
τxy = - 100MPa
τyx = 100MPa
2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.
3. Pasar los puntos a(500, -100) y
b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)
y (-6, 2).
4 Trazar los ejes σ vs. τ en el papel
milimétrico
5. Marcar los puntos a y b y unirlos
con una línea.
6. Indicar el eje X de Ca y el y de
Cb
7. Marcar el origen O y el centro C
12
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
τ
σ n,
(σ n, τ
Y
−σ
)
τmax
1’
b
(σ ,0)
2
o
C
(σ ,0)
1
2’
a X
9.
σ
−τmin
( σ n ,τ
σmin
8. Con radio R = Ca = Cb trazar
el circulo con centro en C.
identificar
los
ejes
principales.
,)
Obtener el estado de los
esfuerzos principales y sus
magnitudes:
midiendo en el papel
milimétrico
cada
punto
indicado en la figura a partir
del origen:
σ Max =(#cm)escala=518MPa(+)
σ Min = #cm x (escala) =
τ Max = #cm x (escala) =
τ Min = #cm x (escala) =
σn = #cm x (escala) =
σmax
−τ
13
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
11. Obtención de las orientación de
los
esfuerzos
principales
normales y cortantes.
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
σy = 300 MPa
Con los ángulos anteriores se
inicia la orientación con los
esfuerzos principales normales,
representando un sistema de ejes
cartesiano X-Y , luego a partir del
eje X se representa la dirección:
θ1 considerando su signo y
aplicando
la
convención;
positivos en contra del reloj y
negativos a favor con respecto al
eje X……. ver orientación del
probl. Método analítico
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
15
MC. Daniel Ramirez Villarreal
τ
(τ
10. Obtención de la dirección de
los esfuerzos principales
normales y cortantes
σ n)
Los ángulos en el circulo
son el doble del valor real.
1’
Y
−σ
b
(σ ,0)
2
2θ 1’
1
o C
2θ 2
−τ
2’
2θ 2’
(σ ,0)
(τ , σ n)
Ingenieria de los Materiales
2θ 1
a
σ
X
2θ Max
2θMin
2θ ’Max
2θ ’Min
=+
= =+
= -
θ 1 =+ #o
θ 2 = - #o
θ 1’ = + #o
θ 2’ = - #o
Ver figura
14
MC. Daniel Ramirez Villarreal
12. Obtención de las componentes de
esfuerzos σx’, τxy’ para θx’=−30ο y
sus correspondientes componentes
a 90o ; σy’, τyx’ .
θ = - 30
σx= 500 MPa
Se marca en el circulo a partir
τxy= 100 MPa
del eje X el ángulo 2θ trazándose
el nuevo eje X’ desde el centro del
σy = 300 MPa
circulo C y la intersección será el
punto cuyas coordenadas son: σx’,
τxy’ luego a 90 o de este eje se
encuentra el eje Y’ en cuya
intersección con el
circulo
representa
el
punto
con
coordenadas σy’, τyx’ .
Ingenieria de los Materiales
16
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
o y σ y τ
Calculo de: σx’ , τxy’
y’
xy’
xy’ para θ= -30
xy’ para
θ’ = -30 + 90 = 60o τ
σ y’
σy
b a
τ
−σ
σx
τxy )
b’
y b
σ
y’
θ’=120ο
ο
2
σy τyx )
−τ
σ x’
1
c
τ xy’
xy’
a’ x’
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
τ yx’
yx’
θ=−
θ=−60ο
a
+σ
x
5A-P
17
MC. Daniel Ramirez Villarreal