Parte 4 - MC Daniel Ramirez Villarreal

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UT1 Conceptos basicos del diseno
4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
Unidad temá
temática 1
Aná
Análisis de esfuerzos en un punto
1.5 Método Grafico. Circulo de Mohr
4A Parte
Diseñ
Diseño de elementos de maquinas
1
MC. Daniel Ramirez
Ramirez Villarreal
Contenido
1.5
Variació
Variación del esfuerzo en un punto
Método grafico : Circulo de Mohr.
Mohr.
1.5.1 Reglas para trazar el circulo de Mohr
Diseñ
Diseño de elementos de maquinas
1.5
2
MC. Daniel Ramirez
Ramirez Villarreal
Método grafico. Circulo de Mohr
Existe una interpretación grafica de las ecuaciones
anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a
partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo
de Mohr.
Mohr.
Las ecuaciones (1.1) y (1.2) son las ecuaciones
parametricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación
1.1:
σx +σ y σx −σ y
σ−
=
cos 2θ − τ xy sen 2θ
2
2
τ=
σx −σ y
2
(1.1 y 1.2)
sen2θ + τ xy cos 2θ
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
Elevando al cuadrado sumando y simplificando,
σ +σ y

σ − x

2

2

σ − σ y
 +τ 2 =  x


2


2

 + τ xy


( )2
(1.11)
σx, σy, τxy son valores conocidos que definen el
estado plano de esfuerzo,
esfuerzo, mientras que σ y τ son
variables. Por lo tanto (σx +σy)/2 es una constante C, y
el segundo miembro de la ecuació
ecuación (1.11) lo
consideramos como otra constante R. sustituyendo, la
ecuació
ecuación (1.11) se transforma en:
− C )2 + τ 2 = R 2
(σ
(1.12)
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Esta ecuació
ecuación es aná
análoga a la de una circunferencia:
(x(x-c)2 + y 2 = R2
Por lo que la circunferencia será
será de radio y centro:
R=
C =
σ


x
−σ
2
y
2
σx +σ

 + τ xy

( )2
(1.13)
y
2
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Diseño de elementos de maquinas
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La figura 1.5 representa el círculo de Mohr para el
estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro
C esta a una distancia OC del origen que es la media
aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la
hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.
Se puede comprobar fácilmente que las
coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las
expresiones deducidas en las ecuaciones (1.5) y (1.6),
por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente
la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones
(1.1) y (1.2).
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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Figura 1.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo
bidimensional
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1.5.1 Construcción del circulo de Mohr
Dado el estado de esfuerzos biaxial: σx > σy, τxy
σy
τxy
b
a
a) (σ
σx , -ττxy )
σx
b) (σ
σy , τyx )
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1.5.1 Construcción del circulo de Mohr
τ
σn
Y b
1’
2θ1’
−σ
2
ο
σ min
−τ
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2θ2
τ max
1
c
+σ
2θ1
a
2’
2θ2’
X
τ min
σ max
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
1.5.2. Problema propuesto (Método Gráfico) CASO 2:
1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el
punto Determinar :
σy = 300 MPa
a) Los esfuerzos componentes σx’, τxy’
para θ x’ = -30o
σx= 500 MPa
b) Los esfuerzos principales normales
σ1, σ2 .
τxy= 100 MPa
c) su dirección y orientación
d) Los esfuerzos principales cortantes
τ1, τ2 . y su componente normal σn
e) su dirección y orientación
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Método Circulo de Mohr-Gráfico
σy = 300 MPa
b
1.
Identificar el estado de esfuerzos
2.
σx = + 500MPa (T)
σy = - 300MPa (c)
τxy = - 100MPa
τyx = 100MPa
Hacer escala # MPa: 1cm.
σx= 500 MPa
a
τxy= 100 MPa
Y
Y pasar los puntos a(500, -100) y
b(-300, 100) a centímetros.
τ
b
3.
Trazar los ejes σ vs.. τ en el papel
milimétrico
4.
Marcar los puntos a y b y unir los
con una línea.
5.
Indicar el eje X de Ca y el y de
Cb
6.
Marcar el origen O y el centro C
σ
o C
a X
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τ
(τ 1 , σ n )
1’
Y
b
(σ2 ,0) 2 o
C
1
(σ1 ,0)
σ
a X
2’
(τ 2 , σ n )
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5. Con radio R = Ca = Cb
trazar el circulo con centro
en C. identificar los ejes
principales.
6. Obtener el estado de los
esfuerzos principales y sus
magnitudes, midiendo en el
papel
milimétrico
cada
punto indicado en la figura a
partir del origen:
σ Max = #cm X ESCALA =
σ Min = #cm X ESCALA =
τ Max = #cm X ESCALA =
τ Min = #cm X ESCALA =
σn = #cm X ESCALA =
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
τ
7. Obtención de la dirección de
los esfuerzos principales
normales y cortantes
( τ 1 , σ n)
Los ángulos en el circulo son
el doble del valor real.
1’
Y
b
2
(σ2 ,0)
2θ 1’
(σ1 ,0)
1
σ
2θ 1
2θ 2’ a
X
o C
2θ 2
2’
(τ2 , σ n)
2θ Max
2θMin
2θ ’Max
2θ ’Min
=+
= =+
= -
θ 1 =+ #o
θ 2 = - #o
θ 1’ = + #o
θ 2’ = - #o
Ver figura
Diseñ
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8. Obtención de las orientación
de los esfuerzos principales
normales y cortantes.
Con los ángulos anteriores
se inicia la orientación con los
esfuerzos
principales
normales, representando un
sistema de ejes cartesiano X-Y ,
luego a partir del eje X se
representa la dirección: θ1
considerando su signo y
aplicando
la
convención;
positivos en contra del reloj y
negativos a favor con respecto
al eje X……. ver orientación
del probl. Método analítico
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
σy = 300 MPa
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9. Obtención de las componentes
de esfuerzos σx’, τxy’ para
θx’=−30ο y sus correspondientes
componentes a 90o ; σy’, τyx’ .
σx= 500 MPa
θ= - 30
τxy= 100 MPa
σy = 300 MPa
Diseñ
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Se marca en el circulo a
partir del eje X el ángulo 2θ
trazándose el nuevo eje X’
desde el centro del circulo C y
la interseccion sera el punto
cuyas coordenadas son: σx’, τxy’
luego a 90 o de este eje se
encuentra el eje Y’ en cuya
interseccion con el
circulo
representa el punto con
coordenadas σy’, τyx’ .
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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UT1 Conceptos basicos del diseno
4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
o y σ y τ
Calculo de: σx’ , τxy’
y’
xy’
xy’ para θ = -30
xy’ para
τ
θ’ =-30+90=60o
σ y’
σy
b
b’
τxy
a
y’
y b
σx
2θ’=120ο
−σ
a) (σ
σx , -ττxy )
2
ο
1
c
+σ
τ xy’
xy’
a
2θ= − 60ο
b) (σ
σy , τyx )
−τ
τ yx’
yx’
σ x’
x
a’ x’
Diseñ
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A3
Actividad: resolver problemas
Por mé
método grafico
Método Grafico
Circulo de Mohr
4A Parte 4
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Problemas propuestos T4
1. Determinar
indicados:
para
los
estados
de
esfuerzos
a) Esfuerzos principales normales y cortantes
b) Dirección de los esfuerzos principales
normales y cortantes
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4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
c) Orientación de los esfuerzos principales
normales y cortantes
d) Los esfuerzos componentes normal y cortante a
una dirección θ dada en cada problema
A3 Tarea 3 UT1: Método Gráfico
P1
10000 Psi
600 MPa
P2
400 MPa
θ =-60
= o
θ =45o
4000 Psi
200 MPa
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A3 Tarea 3 UT1: Método Gráfico
100 MPa
P3
1000 Psi
P4
θ =30o
200 MPa
θ =45o
1000 Psi
40 MPa
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1.5.3 Reglas para la aplicación del circulo de
Mohr a los esfuerzos Combinados.
1.
Dado el estado plano de esfuerzos, sobre
un sistema de ejes coordenados rectangulares se
sitúan los puntos de coordenadas
2.
Se unen los puntos situados mediante una
recta. El segmento de dicha recta comprendido entre
los dos puntos es el diámetro de una circunferencia
cuyo centro (C) es la intersección con el eje .
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Ramirez Villarreal
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Diseno de Elementos de Maquinas.
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UT1 Conceptos basicos del diseno
4A Metodo grafico. Circulo de Mohr
3.
Para los diferentes planos que
pasan por el punto en estudio, las
componentes del esfuerzo, normal y cortante,
están representadas por las coordenadas de un
punto que se localiza en el perímetro del
círculo de Mohr.
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MC. Daniel Ramirez
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4.
El
radio
de
la
circunferencia,
correspondiente a un punto dado de ella, representa el
eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo
vienen dadas por las coordenadas de ese punto del
círculo.
5.
El ángulo entre los radios de dos puntos
del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre las
normales a los dos planos que representan estos dos
puntos. El sentido de rotación del ángulo es el mismo
en la circunferencia que en la realidad, es decir, si el
eje N forma un ángulo con el eje X en sentido
contrario al del reloj, el radio R de la circunferencia
forma un ángulo 2θ con el radio X en sentido
contrario al del reloj.
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