Parte 2 - MC Daniel Ramirez Villarreal

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
Aplicacion Metodo analitico
2A
Unidad temática 3
Análisis de esfuerzos en un punto
(σ )
max
min
1.
2
max
min
(τ )
Problema propuesto (Método Analítico) :
σ +σ y
σ x −σ y
2
+ (τxy )
= Mx étodo
± Analí
í
tico
Anal
2
2
=±
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
2
•Problema propuesto
σx −σy
2
+ (τxy )
σy = 300 MPa
2
Para el estado de esfuerzos biaxial
en el punto Determinar :
a) Los esfuerzos componentes σx’,
τxy’ para θ = -30o
b) Los esfuerzos principales
normales σ1, σ2 .
c) su dirección y orientación
d) Los esfuerzos principales
cortantes τ1, τ2 . y su componente
normal σn
e) su dirección y orientación
2a.Parte
1
2
Ingenieria de los Materiales
a) Esfuerzos componentes σx’, τxy’
σ=
σ x +σ y
para: θ =
a) Esfuerzos componentes σx’, τxy’
-30o
para: θ = -30o
Sustituyendo: σx = 500 MPa,
MPa, τxy = - 100 MPa
y θ = -30o
σy = -300 MPa
σ x −σ y
cos 2θ − τ xy sen2θ
2
2
σ −σ y
τ= x
sen2θ + τ xy cos 2θ
2
+
MC. Daniel Ramirez Villarreal
500 + (−300) 500 − (−300)
cos 2(−30) − (−100) sen2(−30)
+
2
2
σ = 213.4 MPa (T )
σ=
500 − (−300)
sen2(−30) + (−100) cos 2(−30)
2
τ = −396 MPa
τ=
3
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Materiales. FIME-UANL
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de
4
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
Aplicacion Metodo analitico
2A
b) Calculo de los esfuerzos principales normales y
cortantes. Usando ecs.:
b) Calculo de los esfuerzos principales normales y
cortantes . Usando ecs.:
(σ ) =
max
min
σ +σ
x
y
2
σ −σ
±
x
2
y
2
+ (τ
(σ ) = 500 + (−300) ±
)
max
min
2
xy
(τ ) = ±
x
max
min
2
y
2
+ (τ
2
+ (− 100 ) =
2
σ
σ = (−) 312.31 MPa
max
σ −σ
2
= (+ ) 512.31 MPa
500 − (−300)
2
min
)
2
xy
5
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
6
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
c) Cálculo de la dirección y orientación de σ1 , σ2
b) Calculo de los esfuerzos principales normales y
cortantes. Usando ecs.:
Dirección:
(τ ) = ± 500 − (−300) + (− 100) =
2
2
max
min
τ
2
= + 412.31 MPa
Max
tan 2θ = −
2τ xy
σ x −σ y
=−
2(−100)
= 0.25
500− (−300)
τ = − 412.31 MPa
Min
σ +σ
500 + ( − 300 )
2
2
σ = 100 MPa ( + )
σ =
x
n
y
=
2
θ = 14.03o θ = 7.01o
o
n
7
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Materiales. FIME-UANL
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de
8
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
Aplicacion Metodo analitico
2A
Calcule con la ec. 3.1 el esfuerzo normal sustituyendo el
ángulo obtenido e identifique a que esfuerzo normal principal
pertenece si a σ1 , σ2 :
σ =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2θ − τ xy sen 2θ
d) Cálculo de la dirección y orientación de τ1 , τ2
Dirección:
tan 2θs =
Ec.3.1
500+ (−300) 500− (−300)
+
cos2(7.018) − (−100)sen2(7.018)
2
2
= 512.31 MPa (T )
σ=
σ
σ
tan 2θs =
θ = θ1 = +7.01o
por lo que;
y la direcció
dirección de σ2 será
será; θ2 = θ1 +
500 − ( −100)
= −3
2(−100)
2θs = -71.56o
90o
σ x −σ y
2τ xy
θ s = - 35.78o
9
Ingenieria de los Materiales
Calcule con la ec. 3.2 el esfuerzo
cortante
sustituyendo el ángulo obtenido e identifique a que
esfuerzo cortante principal pertenece si a τ1 , τ2 :
τ =
σ x −σ y
2
por lo que;
y la direcció
dirección de τ1 será
será;
θ = θ2’ = -
En el plano perpendicular al del eje x’, se encuentran las
componentes del esfuerzo σy’ y τyx’ calculándose por:
σ x +σ y
2
−
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Materiales. FIME-UANL
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sen2θ
500 + (−300) 500 − (−300)
−
cos2(60) + (−100)sen2(60)
2
2
σ = −186.6 MPa
σ=
y'
35.78o
y'
θ1’ = θ2’ + 90o
11
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
e) Componentes de esfuerzos: σ’y , τ’yx a 90o del eje x’
σy ' =
500 − ( −300)
sen 2(−35.78) + (−100) cos 2( −35.78)
2
τ = − 412 MPa
τ
Ingenieria de los Materiales
sen 2θ + τ xy cos 2θ
τ=
τ
10
MC. Daniel Ramirez Villarreal
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de
12
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
Aplicacion Metodo analitico
2A
e) Componentes de esfuerzos: σ’y , τ’yx a 90o del eje x’
En el plano perpendicular al del eje x’, se encuentran las
componentes del esfuerzo σy’ y τyx’ calculándose por:
τ yx ' =
σ x −σ
2
y
f) Orientación de las componentes de esfuerzo a θ x’ = -30
y a θ y’ = -30+90o σ’x , τ’xy y σ’y , τ’yx
y
σx ’ = 213.4 MPa
τ y’ = - 396 MPa
sen 2θ + τ xy cos 2θ
θ x’ = - 30o
τxy’
500 − (−300)
sen2(60) + (−100) cos 2(60)
2
τ = 396.4 MPa
τ =
yx '
σx’
x’
yx '
13
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
f) Orientación de las componentes de esfuerzo a θ x’= -30o
y a θ y’ = -30+90o σ’x , τ’xy y σ’y , τ’yx
14
Ingenieria de los Materiales
g) Orientación de los esfuerzos principales normales σ1 , σ2
y
y’
τyx’
σmax = 512 MPa
σy’
θ y’ = 60ο
θ 1 = + 7.01o
x
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Materiales. FIME-UANL
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de
σ1
σ1
15
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
y
σy’ = -186.6 MPa
τyx’ = 396 MPa
θ y’ = -30+90 = 60o
x
θ x’ = −30ο
1
+ θ1
x
16
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
Aplicacion Metodo analitico
2A
g) Orientación de los esfuerzos principales normales σ1 , σ2
2
σmin = - 312 MPa
+y
h)
Orientación de los esfuerzos principales
cortantesτ1 , τ2
σ2
σn = + 100 MPa
θ2 = -97.01o
+x
− θ2
MC. Daniel Ramirez Villarreal
y
τmin = −412 MPa
θ2’ = - 35.78o
τmin’
σn
x
− θ2’
2’
3A-P
19
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Materiales. FIME-UANL
1’
σn
+ θ1’
x
σn
Orientación de los esfuerzos principales
cortantesτ1 , τ2
σn = + 100 MPa
τmax
θ 1’ = + 54.22o
17
Ingenieria de los Materiales
h)
y
τmax = 412 MPa
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de
18
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal