Para el caso X N(µ, σ 2), y el estadístico S2 que ya vieron que es

Para el caso X ⇠ N (µ,
comprobar que
2
), y el estadístico S 2 que ya vieron que es insesgado
V ar S 2
>
nE
Primero veamos que V ar S 2 =
2
n
2 4
n 1.
⇣
1
2)
@ ln f (x;
@ 2
⌘2 .
De clases pasadas dijimos que (n
2
1) S2 ⇠
⇣
⌘
2
1) S2 =
1 entonces la varianza es dos veces sus grados de libertad, es decir, V ar (n
2
2 (n 1). Y por propiedades de la varianza tenemos que (n 41) V ar S 2 =
2 (n 1), Al despejar V ar S 2 obtenemos lo que buscambamos.
Por otro lado, vamos a calcular la CICR, ⇣ @ ln f1(x; 2 ) ⌘2 , para evitar confunE
@ 2
siones a la hora de derivar, llamemos a
= ⌫, entonces queremos encontrar
1
h
i.
2
@ ln f (x;⌫)
nE (
)
@⌫
Entonces la función de densidad de una normal con estos parámetros es:
2
fX (x; ⌫)
=
1
p
exp
2⇡⌫
(
(x
µ)
2⌫
2
)
, para
1 < x < 1.
Al tomar logaritmo y obtenemos
ln (fX (x; ⌫))
=
=
=
ln (1)
ln
⇣p
1
ln (2⇡⌫)
2
1
ln (2⇡⌫)
2
2⇡⌫
(x
⌘
(x
µ)
2
µ)
2
2
(x
2
µ)
2⌫
⌫
1
⌫
1
2
.
De la ecuación anterior sacamos la derivada con respecto a ⌫
d
ln (fX (x; ⌫))
d⌫
=
d
d⌫
(
1
ln (2⇡⌫)
2
2
=
=
=
(x
1
(x µ)
+
2⌫
2⌫ 2
2
1
1 (x µ)
+
2⌫
2⌫
⌫
!
2
1 (x µ)
1 .
2⌫
⌫
1
µ)
2
2
⌫
1
)
2
2
Ahora noten que (X ⌫ µ) = (X 2µ) = Z 2 ⇠
esperanza de la ecuación anterior tenemos
nE

d
ln (fX (x; ⌫))
d⌫
2
!
2
1,
entonces al tomar n veces la
⌘
n ⇣ 2
2
E Z
1
2
4⌫
n
n
V ar 21 = 2 ⇤ 2.
2
4⌫
4⌫
=
=
Entonce la cota inferior de Cramer y Rao es
nE
⇣
1
@ ln f (x;⌫)
@⌫
⌘2
=
2⌫ 2
.
n
Y por lo tanto se verifica que
2 4
= V ar S 2
n 1
>
nE
⇣
1
@ ln f (x;
@ 2
2 4
=
.
⌘
2) 2
n
Observación
S 2 no es un estadístico eficiente pero si es asintóticamente eficiente.
2