2007 - Universidad de los Andes

CÁLCULO VECTORIAL-PARCIAL 2.
Nombre:
1. Considere la función
f (x, y)
Muestre que
ble en (0, 0)
∂f
∂x
(0, 0) y
xy
x2 +y 2
0
∂f
∂y
si
si
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(0, 0) existen, pero que f no es diferencia-
2. Considere la función f (x, y) = 4x2 − y 2 + 2y.
(a) Halle una ecuación para el plano tangente de f en el punto
(−1, 2, 4)
(b) Calcule la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en la dirección del vector i + j
3. Muestre que la función dada por
x2 y 2
si (x, y) = (0, 0)
x2 +y 2
0
si (x, y) = (0, 0)
es diferenciable en todo punto.
4. Encuentre los puntos crı́ticos de la función
f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 2
y decida si son máximos locales, mı́nimos locales o puntos de silla.
1
Cálculo Vectorial,
Marzo 28 de 2007.
Nombre:
Examen 2
1. (13 pts) Calcule el centro de masa del semicı́rculo x2 + y 2 = 1, y ≥ 0.
Asuma que la densidad es constante.
2. (6+6=12 pts) Dibuje la región de integración para la integral
Z
4Z
√
x
f (x, y)dy dx
0
0
y cambie el orden de integración.
3. (6+6=12 pts) La temperatura de un punto (x, y, z) está dada por
T (x, y, z) = 200e−x
2 −3y 2 −9z 2
donde T está dado en grados centı́grados y x, y, z en metros.
(a) (6 pts) Encuentre la rata de cambio de la temperatura en el punto
P (2, −1, 2) en la dirección del punto (3, −3, 3).
(b) (6 pts) En cuál dirección desde el punto P aumenta la temperatura
lo más rápido posible?
4. (13 pts) Encuentre el valor máximo y mı́nimo de la función
f (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 4x − 5
en la región determinada por la desigualdad x2 + y 2 ≤ 16.
Cálculo Vectorial, Prof. Bernardo Uribe, Septiembre 25 2007.
Nombre:
Examen 2
1. (7 + 7= 14 pts) Una mosca que estudia cálculo III en un salón del O en
la universidad de los Andes se dá cuenta que la humedad relativa está dada
por la función:
1
1
H(x, y, z) = sen(xy) +
.
2
z+1
(a) En cual dirección debe volar la mosca desde su posición inicial (π, 2, 1)
para que disminuya la humedad del aire alrededor de ella lo más rápido
posible?
(b) Como cambia la humedad si en vez vuela hacia el punto (π + 3, 2, 5)?
(Dé su respuesta como una razón de cambio en esta dirección).
2. (12 pts) Encuentre y clasifique los puntos crı́ticos de
f (x, y) = x3 y + 12x2 − 8y
3. (12 pts) Una caja de cartón sin tapa tiene un volumen de 32.000cm3 .
Encuentre las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de cartón
utilizado.
4. (6+6=12 pts)La ecuación 2x2 − 4y 2 + z 2 = 3 determina una superficie
Σ en el espacio tres dimensional. Alrededor del punto P (3, 2, 1) se puede
expresar la variable z como una función de x y de y.
a. (6 pts) Determine la ecuación del plano tangente a Σ en el punto P .
b. (6 pts) Aproxime el valor de z cuando x = 2.95 y y = 2.08.
Cálculo Vectorial PARCIAL II, parte 1
Marzo del año 2007.
Todas las respuestas deben estar justificadas.
I.
(4)
La siguiente tabla muestra algunos valores de una función f ( x, y )
Dé valores aproximados para f x (2,1) y
Dado el vector u =
II.
3 1
,
2 2
f y (2,1) .
, calcule Du f (2,1) .
Considere la función f ( x, y ) = xy
1.
2.
(4)
(4)
Dominio de definición, rango y curvas de nivel (análisis y dibujo).
Estoy parado en el punto P(2,1,2):
a. Si quiero subir por el camino más inclinado, con qué pendiente subiré
inicialmente?
b. Si quiero caminar sin cambiar de altura, con qué dirección debo
moverme inicialmente?
Considere la restricción ( x − 1) 2 + y 2 = 1
3.
En un mismo dibujo grafique las curvas de nivel de f y la restricción dada.
Marque en el dibujo donde están el máximo y el mínimo de f sujeta a la
restricción.
4. (5) Use multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos de f
sujeta a la restricción dada.
(3)
BONO: (1.5)
Haga una gráfica en R 3 de f ( x, y ) = xy
II Semester 2007
24.09.2007
Department of Mathematics
University of Los Andes
Vectorial Calculus
2. Partial Exam
Problem 1: (1 Point)
Use the Chain Rule to find ∂z/∂s and ∂z/∂t if
z = sin α tan β,
α = 3s + t,
Problem 2: (1 Point)
Find the directional derivative of
f (x, y, z) =
β = s − t.
x
y+z
at the point (4, 1, 1) in the direction of the vector ~v = ebx + 2 eby + 3 ebz .
Problem 3: (1 Point)
Find maxima and minima of the function
f (x, y) = 1 + xy − x − y
on the closed region D bounded by the parabola y = x2 and the line x = 4. Are there any absolute maximum
and minimum values of f ?
Problem 4: (1 Point)
Find the points on the surface z 2 = xy + 1 that are closest to the origin (0, 0, 0).
Problem 5: (1 Point)
Use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of
f (x, y) = x2 − y 2
subject to the constraint x2 + y 2 = 1.
Maximal Time: 50 minutes
BUENA SUERTE!
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
SEGUNDO PARCIAL. CALCULO VECTORIAL
JULIO 03 DE 2007.
1. Halle los máximos y mínimos absolutos de
x2+y2≤1.
f ( x, y)  x 2  xy  y 2 en la región
2. Usando multiplicadores de Lagrange demuestre que una caja de volumen dado
y área mínima es un cubo.
3. Determine a de manera que el volumen interior al hemisferio z  16  x 2  y 2 y
exterior al cilindro x 2  y 2  a 2 sea la mitad del volumen del hemisferio.
4. Demuestre que
a) El centro de masa de un círculo con densidad constante es su centro
geométrico.
b) Si para la función f  f ( x, y) existen f x (a, b), f y (a, b) y f tiene un punto crítico
en (a,b) entonces el plano tangente a f en (a,b) es horizontal.
5. Evalúe las integrales
1 arccos y
a)
 
0
Exitos!
0
ln10 10
sin x 1  sin xdxdy
2
b)
1
  ln y dydx
0 ex
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
SEGUNDO PARCIAL. CALCULO VECTORIAL
JULIO 4 DE 2007.
1. Una caja rectangular tiene tres de sus caras en los planos coordenados y
el vértice opuesto al origen se encuentre sobre la superficie
z  4  2 x 2  y 2 . Halle las dimensiones de la caja de mayor volumen. (La
caja se encuentra en el primer octante)
2. Encuentre y clasifique los puntos críticos de la función
f ( x, y, z )  x 2 
3 2
y  2 z 2  2 xy  xz  2 yz  3x  3 y  5 z
2
2
3. Sea W la siguiente integral, W  
0
2x x2

x 2  y 2 dxdy :
0
a) Identifique la región de integración e invierta el orden de integración
b) Calcule la integral
4. Calcule el volumen acotado en el primer octante por la superficie
y 2  z 2  4 y por los planos x  y  2, x  2 y  6
TIEMPO: 60 MINUTOS
¡SUERTE!
Opcional
Calcule las siguientes integrales:
1
a) Calcule
 
0
1  y
b)

0
1
y2
x
 e dxdy 
3
1
y sen( x 2 ) dx dy
1

0
1
x
 e dxdy
3
y