exercicios

Representación integral de la forma sesqilineal
asociada a una matriz de Toeplitz
1. Espacio [0, 2π] con la medida normalizada. Denotamos por µ a la medida de
1
Lebesgue sobre R y consideramos el segmento [0, 2π] con la medida normalizada 2π
µ.
2
Denotamos por L ([0, 2π], µ/(2π)) al espacio de funciones cuadrado integrables respecto
a esta medida, con el producto interno
1
ha, bi =
2π
Z2π
a(θ)b(θ) dθ.
0
2. Base ortonormal de Fourier sobre [0, 2π] (repaso). Para cada m ∈ Z denotamos
por ϕm a la función [0, 2π] → C definida mediante la regla
ϕm (θ) = em i θ .
Demostrar que para cualesquier p, q ∈ Z
hϕp , ϕq i = δp,q .
3. Producto punto en Cn (repaso). Dados dos vectores u, v ∈ Cn , su producto punto
se define como
n−1
X
hu, vi =
uj vj .
j=0
El producto punto se puede escribir como el producto matricial
hu, vi = v ∗ u,
donde v ∗ es el vector renglón que se obtiene al transponer y conjugar el vector columna
v.
4. El polinomio trigonométrico asociado a un vector (repaso). Dado un vector
n−1
v = vj j=0 ∈ Cn , el polinomio trigonométrico asociado al vector v se define como la
función
n−1
n−1
X
X
V (θ) =
vj ϕj (θ) =
v j ej i θ .
j=0
j=0
5. Proposición (producto interno de los polinomios trigonométricos asociados
a dos vectores). Sean u, v ∈ Cn . Denotemos por U y V a los polinomios trigonométricos
asociados a u y v:
n−1
n−1
X
X
j iθ
U (θ) =
uj e ,
V (θ) =
v j ej i θ .
j=0
j=0
Forma sesqilineal asociada a una matriz de Toeplitz, página 1 de 2
Notamos que U y V son elementos de L2 ([0, 2π], µ/(2π)). Demostrar que
hU, V i = hu, vi,
esto es,
1
2π
Z2π
U (θ)V (θ) dθ =
n−1
X
uj vj .
j=0
0
6. Forma sesquilineal asociada a una matriz (repaso). Sea A ∈ Mn (C). Definimos
la función SA : Cn × Cn → C mediante la regla
SA (u, v) = hAu, vi = v ∗ Au.
Demostrar que la función SA es lineal respecto al primer argumento y lineal conjugada
respecto al segundo:
SA (αu + βv, w) = αSA (u, w) + βSA (v, w),
SA (u, αv + βw) = αA(u, v) + βA(u, w).
Demostrar que si A∗ = A, entonces SA es hermı́tica:
SA (u, v) = SA (v, u).
Expresar SA (u, v) en términos de las entradas de A, u, v, como cierta suma doble.
7. Matrices de Toeplitz asociadas a una función (repaso). Sea g ∈ L∞ ([0, 2π]).
Para cada k ∈ Z denotemos por gk al k-ésimo coeficiente de Fourier de la función g:
1
gk = hg, ϕk i =
2π
Z2π
g(θ) e−k i θ dθ.
0
La matriz
n−1
Tn (g) := gj−k j,k=0
es la matriz de Toeplitz de orden n asociada a la función g. También se dice que g es la
función generador de la sucesión de matrices T1 (g), T2 (g), T3 (g), . . ..
8. Proposición (representación integral de la forma sesquilineal asociada a una
matriz de Toeplitz). Sea g ∈ L∞ ([0, 2π]) y sea n ∈ {1, 2, . . .}. Demostrar que para
cualesquier u, v ∈ Cn
1
hTn (g)u, vi = hgU, V i =
2π
Z2π
g(θ)U (θ)V (θ) dθ,
0
donde U y V son los polinomios trigonométricos asociados a los vectores u y v.
Forma sesqilineal asociada a una matriz de Toeplitz, página 2 de 2