), v·cosα· - Club Pitagóricos

Bola va !
La velocidad inicial, siempre igual, tiene dos componentes; una horizontal y otra vertical.
La vertical es v·senα y la horizontal v·cosα, siendo α el ángulo de salida respecto al suelo.
Cálculo de la altura:
Cuando llega al punto más alto su velocidad vertical es nula por lo cual vf = vi –gt =0, lo
que nos permite calcular el tiempo de vuelo, t= vi/g = v·senα/g y con él precisar la altura
alcanzada, h = vi·t-1/2 gt2 =(2·v·senα· v·senα/g – g· (v·senα/g)2)/2 = v2·sen2α/2g=
(v2/g)·sen2α/2
Cálculo de la longitud:
La distancia horizontal es v·cosα·t, pero t, aquí, es doble (sube y baja),
2
2
v·cosα·
2
2·v·senα/g =2· v ·senα·cosα/g = (v /g)·2 ·senα·cosα = (v /g)·sen2α;
Así que las distancias serán (v2/g)·sen2α/2 y (v2/g)·sen2α
Como se nos pregunta por los ángulos podemos ignorar velocidades y gravedad y tratarlo
a escala (g/v2); y= sen2α/2 y x= sen2α
Modalidad I: Supongamos una relación entre ambas distancias igual a n, n entero. 
sen2α/2 = n·sen2α ó n·sen2α/2 = sen2α con cocientes ; (n·sen2α/2) /( 2senα·cosα) y
(sen2α/2) /
( n·2senα·cosα)

n·senα /4·cosα y senα /4·n·cosα  tg α = 4/n y
tg α = 4·n  α = arc tg 4/n ó α = arc tg 4·n
Las sucesiones 4·n y 4/n, (n=1, 2, 3, 4,...), nos permiten calcular todos los ángulos tales que
la razón entre longitud y altura ó altura y longitud es un número entero.
tg 4n
4
8
12
16
20
24
28
32
…
áng α y 90-α
75,9637565 14,0362435
82,8749837 7,12501635
85,2363583 4,76364169
86,4236656 3,57633437
87,1375948 2,86240523
87,614056 2,38594403
87,9545915 2,04540849
88,2100894 1,78991061
….
…
90
0
tg 4/n
1
2
3
4
5
6
7
8
4/1
4/2
4/3
4/4
4/5
4/6
4/7
4/8
..
áng α y 90-α
75,9637565
63,4349488
53,1301024
45
38,6598083
33,6900675
29,7448813
26,5650512
….
14,0362435
26,5650512
36,8698976
45
51,3401917
56,3099325
60,2551187
63,4349488
…
0
90
Modalidad II:
Suma y producto máximos sería hallar máximos de sus funciones en α. No saben. Lo
aciertan, con fortuna, pero empleando métodos sin rigor pitagórico. Por fortuna antes de
acabar el juego el Maestro les hace ver su error y rectifican.
Suma:
½·sen2α + sen2α = ½·(½·(1-cos2α)+sen2α = (1-cos2α+4sen2α)/4 = (4sen2α-cos2α)/4 + ¼
La función a maximizar será 4sen2α-cos2α.
Gracias a Sebas he conocido que a·senα + b·cosα = [(a2+b2)]1/2 · sen(α+arctg (b/a), por
lo que 4sen2α-cos2α=√15·sen(2α + arc tg (-1/4)) , que será máximo si 2α + arc tg (-1/4)=90
 α = (90-arctg(-1/4))/2 = 104,0362/2 = 52,0181
El ángulo de disparo será α = 52,01812 y la suma 1,28077, que es la tgα *
* Con ello puede afirmarse que “el ángulo de disparo, que hace la suma máxima, es aquel
cuya tangente coincide con dicha suma a escala”
Producto:
1) La diferencia xn – xn+p alcanza su máximo cuando x=
, lo han comprobado
empíricamente y el Maestro lo justificará el curso que viene. (Tramposo)
sen2α/2 ·sen2α= sen3α·cosα , haciendo senα = x  x3·(1-x2)1/2 = (x6-x8)1/2. Si en un valor la
raíz es máxima, en el mismo valor será máximo el radicando. Así podemos aplicar la
fórmula al radicando; x =
;  α= arcsen
2) sen2α/2 ·sen2α = ¼· (1-cos2α)·sen2α , para máximo = sen2α- (sen4α)/2= 2senβ-sen2β,
siendo β=2α.
Representando ambas funciones; 2senβ (Amplitud 2 y periodo 2∏) y sen 2β (Amplitud 1 y
periodo ∏), se observa que la diferencia máxima se encuentra entre ½·∏ y ¾ ∏, 90 y 135
grados , sen2β ha de ser negativo para así sumar en la expresión 2senβ-sen2β. Bien
2·sen(90+φ) = 2·(sen90·cosφ + cos 90·senφ) = 2cosφ
Sen2(90+φ) = 2 sen(90+φ)·cos(90+φ) = 2cosφ·(cos90·cosφ – sen90·senφ)=2cos2φ
Luego 2·sen(90+φ) – Sen 2(90+φ) = 2cosφ(1-cosφ) (haciendo cosφ=x) tendremos 2x(1-x),
que tendrá el máximo en el mismo punto que x(1-x), o sea ½.
Entonces deshaciendo; cosφ = ½  φ=30  β=90+30=120  α= β/2 = 60
Comprobación: 2sen120 – sen 240 = 2,59807
2sen(120 ε) – sen (240 ε) = 2 (sen120·cosε cos120·senε) -(sen240·cosε cos240·senε),
hagamos ε=0,1 2sen 120,1-sen 240,1= 2,59719 y 2sen 119,9-sen 239,1=2,59185, etc.
Y en el producto : ½·sen2α ·sen2α = ½ ·sen2 60·sen 2·60 = 0,324759 y para
½ ·sen2 (60
·sen 2·(60
< 0,324759.