Comparación entre diferentes procedimientos de ajuste de

Comparación entre diferentes
procedimientos de ajuste de controladores
PID. II. Márgenes de ganancia y de fase
y comportamiento como regulador
Eduard Barberà, IQS School of Engineering, Universitat Ramon Llull
Via Augusta 390, 08017-Barcelona, Spain
Comparison between different tuning methods of PID controllers. II.
Gain and phase margins and behavior as regulator
Comparació entre diferents procediments d’ajust de controladors PID.
II. Marges de guany i fase i comportament com a regulador
Recibido: 30 de abril de 2013; revisado: 17 de octubre de 2013; aceptado: 22 de octubre de 2013
RESUMEN
RESUM
La doble normalización (ganancia y tiempo) de los procesos de primer orden con tiempo muerto (First Order Plus
Dead Time, FOPDT) permite el análisis sistemático de la
respuesta dinámica de los sistemas controlados, por lo
que se presenta un ejercicio de comparación entre diferentes métodos de ajuste de controladores.
En este artículo la comparación se basa en el análisis de
los márgenes de ganancia y de fase y en su comportamiento como regulador.
La doble normalització (guany i temps) dels processos
de primer ordre amb temps morts (First Order Plus Time
Delay, FOPDT) permet l’anàlisi sistemàtica de la resposta
dinàmica dels sistemes de control, així que es presenta
un exercici de comparació entre diferents mètodes d’ajust
dels controladors.
En aquest article, la comparació es basa en l’anàlisi dels
marges de guany i de fase i en el seu comportament com
a regulador.
Palabras Clave: PI, PID, ajuste, margen de fase, margen
de ganancia, regulador
Paraules clau: PI, PID, ajustament, marge de guany, marge de fase, regulador
SUMMARY
The double normalization (gain and time) of the processes
of first order with dead time (First Order Plus Dead Time,
FOPDT) allows the systematic analysis of the dynamic answer of the controlled systems, this is the reason to present an exercise of comparison between different methods
of controller tuning.
On this article the comparison is based on the analysis of
the gain and phase margins and its behavior like regulator.
Key words: PI, PID, tuning rule, phase margin, gain margin, regulator
246
AFINIDAD LXX, 564, Octubre - Diciembre 2013
5,0
Chien 2 PI
0,0
0
0,5
20,0
5,0
0,0
0,0
1
20,0
Chien 2 PID
0
0,0
0,5
1
Figura 1.- Márgenes de ganancia (eje izquierdo) y de fase (eje derecho) en función del tiempo muerto
normalizado para los controladores PI y PID ajustados por el método de un sobreimpulso del 20% de
1. - INTRODUCCIÓN
En este trabajo, se han escogido como parámetros de
comparación entre diferentes métodos de ajuste de controladores, los márgenes de ganancia y de fase que informan de la estabilidad del sistema siempre que éste sea de
fase mínima.
Por otra parte, un controlador correctamente diseñado
para cambios de punto de consigna, es decir, para funcionar como servomecanismo, no tiene por qué dar buenos
resultados frente a las perturbaciones que pueda sufrir
el proceso, es decir, comportándose como regulador. En
consecuencia, se pretende contrastar los resultados como
reguladores de los procedimientos de ajuste tratados.
Se ha elegido trabajar con un modelo de primer orden con
tiempo muerto (FOPDT) porque además de ser un proceso
muy común, constituye una aproximación suficientemente
correcta para finalidades de control en un elevado número
de casos.
2. – COMPARACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES
MÉTODOS DE AJUSTE: MÁRGENES DE GANANCIA Y DE FASE
En sistemas de fase mínima, aquéllos que no tienen ni
ceros ni polos de lazo abierto con parte real positiva, los
valores de los márgenes de ganancia y de fase se consideran una medida de la estabilidad y de la bondad del
diseño del sistema.
Se han evaluado ambos márgenes para los sistemas de
control resultantes de la optimización del CEAIT, se comprueba que los sistemas optimizados tienen márgenes de
fase próximos a 60º - 70º y márgenes de ganancia entre
6 y 10 dB.
Los valores de los procesos optimizados se han comparado con los obtenidos con algunos de los procedimientos
habituales de ajuste de controladores (1 - 7), pero únicamente se presentan los resultados obtenidos con el segundo procedimiento de Chien (2) y con el del autor (6,
7), puesto que el resto de procedimientos conducen a
resultados que se separan mucho de los valores correspondientes a los sistemas con controladores PI o PID optimizados según el criterio CEAIT (6, 7).
- Chien et al. Sobreimpulso del 20%
30,0
120,0 30,0
GM dB
optim.
PM deg
optim.
25,0
20,0
GM dB
optim.
PM deg
optim.
100,0 25,0
80,0 20,0
15,0
60,0 15,0
10,0
Chien 2 PI
0,0
0
0,5
20,0
5,0
0,0
0,0
1
0
GM dB
optim.
PM deg
optim.
Barberà
PID
100,0 25,0
120,0
100,0
80,0
20,0
60,0
15,0
60,0
10,0
40,0
10,0
40,0
5,0
20,0
5,0
20,0
0,0
0,0
0,0
0
0,5
1
80,0
0,0
0
0,5
1
Márgenes
de ganancia
(eje
de fase
Figura 2.- Figura
Márgenes2.de ganancia
(eje izquierdo)
y de fase
(ejeizquierdo)
derecho) en yfunción
del tiempo muerto
(ejenormalizado
derecho)para
en los
función
del tiempo muerto normalizado para
controladores PI y PID ajustados por el método del autor
los controladores PI y PID ajustados por el método del autor
Se comprueba que efectivamente, los dos procedimientos escogidos proporcionan
Sedecomprueba
loscercanos
dos procedimientos
valores
los márgenesque
de efectivamente,
fase y de ganancia
a los correspondientes a
escogidos proporcionan valores de los márgenes de fase
los sistemas
optimizados,
aunque el
procedimiento esaellos
quesisalcanza una
y de ganancia
cercanos
a segundo
los correspondientes
optimizados,
segundoPID
procedimiento
es muerto
mejor temas
aproximación,
excepto aunque
para el el
controlador
cuando el tiempo
el que alcanza una mejor aproximación, excepto para el
normalizado
se aproxima
la unidad.
controlador
PID acuando
el tiempo muerto normalizado se
aproxima a la unidad.
3. – COMPARACIÓN
ENTRE
LOS DIFERENTES
3. – Comparación
entre los diferentes
métodos
de ajuste: comportamiento
MÉTODOS DE AJUSTE: COMPORTAMIENTO
como COMO
reguladorREGULADOR
Dado
un controlador
optimizado
como servomecanisDado que
unque
controlador
optimizado
como servomecanismo
no tiene por qué estar
mo no tiene por qué estar optimizado al mismo tiempo
optimizado
mismo tiempo
regulador,
parece
oportuno estudiar el
comoalregulador,
parececomo
oportuno
estudiar
el comporta-
miento como
regulador de los controladores ajustados
como regulador de los controladores ajustados con los
con los procedimientos tratados.
procedimientos
tratados.
Para poder
realizar una comparación ajustada primero
se ha procedido a evaluar los parámetros de los controPara poder realizar una comparación ajustada primero se ha procedido a evaluar los
ladores PI y PID que optimizan el comportamiento como
regulador
el valor del criterio
comportamiento
CEAIT
parámetros
de losy controladores
PI y PIDde
que
optimizan el comportamiento
como
alcanzado, utilizando éste último dato como término de
regulador y el valor del criterio de comportamiento CEAIT alcanzado, utilizando éste
comparación.
comportamiento
último dato como término de comparación.
- Ziegler – Nichols
- Ziegler – Nichols
3,0
3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
80,0
0,0
0,0
120,0 30,0
15,0
0,5
1
GM dB
optim.
PM deg
optim.
Barberà
PI
20,0
1,0
20,0
0,5
30,0
25,0
100,0
40,0
Chien 2 PID
- Barberà
120,0
60,0
40,0 10,0
5,0
Chien et al.
- Barberà
Z_N PID
R-optim.
1,0
Z_N PI
R-optim.
0,5
0,0
0
0,5
1
0
0,5
1
Figura
3.- Valores
CEAITdelentiempo
función
del
tiempo muerto
Figura
3.- Valores
de CEAITde
en función
muerto
normalizado,
obtenidos con los
normalizado, obtenidos con los controladores PI y PID
controladores PI y PID ajustados por el método de Ziegler y Nichols comparados con los valores
ajustados por el método de Ziegler y Nichols comparaoptimizados
como regulador.
dos con los valores
optimizados
como regulador.
Únicamente para valores muy pequeños de tiempo muerto el comportamiento como
Figurade1.Márgenes
de ganancia
(ejederecho)
izquierdo)
y dedel tiempo muertoÚnicamente
Figura 1.- Márgenes
ganancia
(eje izquierdo)
y de fase (eje
en función
para valores muy pequeños de tiempo muer-
regulador
muy aceptable, al aumentar
éste el valor
del criterio
de error se hace
fase (eje derecho) en función del tiempo muerto normalto elescomportamiento
como regulador
es muy
aceptable,
normalizado para los controladores PI y PID ajustados por el método de un sobreimpulso del 20% de
izado para los controladores PI y PID ajustados por el
al
aumentar
éste
el
valor
del
criterio
de
error
se
hace
exextraordinariamente grande, este efecto es mayor en el controlador PI que en el PID.
Chien et al.
método de un sobreimpulso
del 20% de Chien et al.
traordinariamente grande, este efecto es mayor en el con- Chien
et al. PI que en el PID.
trolador
- Barberà
30,0
25,0
GM dB
optim.
PM deg
optim.
Barberà
PI
120,0 30,0
100,0 25,0
GM dB
optim.
PM deg
optim.
Barberà
PID
120,0
80,0
20,0
15,0
60,0
15,0
60,0
10,0
40,0
10,0
40,0
5,0
20,0
5,0
20,0
0,0
0,0
0,0
0,0
20,0
AFINIDAD LXX, 564, Octubre - Diciembre 2013
0
0,5
1
0
0,5
1
Sin máximo sobreimpulso
100,0
80,0
247
Figura 6.- Valores de CEAIT en función del tiempo muerto normalizado, obtenidos con los
controladores PI y PID ajustados por el método de Cohen y Coon comparados con los valores
optimizados como regulador.
Un controlador PI ajustado por este método se acerca a los resultados óptimos,
aunque en el caso del controlador PID los resultados no son tan satisfactorios.
- Lopez- et
al. et al.
Lopez
- Chien et al.
Sin máximo sobreimpulso
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
2,5
2,5
2,5
2,5
2,0
2,0
2,5
Chien1
Chien1PID
PID
R-optim.
R-optim.
3,0
Lopez PI
R-optim.
2,0
2,0
2,0
2,0
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,0
Chien1
Chien1 PI
PI
R-optim.
R-optim.
0,5
0,5
0,0
0,0
00
0,5
0,5
11
0,0
0,0
0,5
0,5
11
R-optim.
0,0
0
00
Lopez PID
2,5
0,5
1
0
0,5
1
Figura 7.- Valores de CEAIT obtenidos en función del
Figura 7.- Valores de CEAIT obtenidos en función del tiempo muerto normalizado, con los
tiempo muerto normalizado, con los controladores PI y
Figura
4.- Valores
defunción
CEAIT en
función del
tiempo muerto con los
Figura
Figura 4.4.- Valores
Valores de
de CEAIT
CEAIT en
en función del
del tiempo
tiempo muerto
muerto normalizado,
normalizado,obtenidos
obtenidos con los controladores PI y PID ajustados por el método de Lopez et al. comparados con los valores
normalizado, obtenidos con los controladores PI y PID
controladores
PI
por
de
et
sobreimpulso comparados
controladores
PI yy PID
PID ajustados
ajustados
por el
el método
método
de Chien
Chienet
et al.
al. sin
sin
comparadoscon
conlos
los
ajustados
por el método
de Chien
al.
sinsobreimpulso
sobreimpulso
PID ajustados por el método de Lopez et al. comparaoptimizados
como regulador.
dos con los valores
optimizados
como regulador.
optimizados
como
comparados convalores
los valores
optimizados
como regulador.
valores
optimizados
como regulador.
regulador.
Sobreimpulso
Sobreimpulso del
del 20%
20%
3,0
3,0
3,0
3,0
2,5
2,5
2,5
2,5
2,0
2,0
2,0
2,0
1,5
1,5
1,5
1,5
1,0
1,0
0,0
0,0
0
0
0,5
0,5
Chien2
Chien2PID
PID
R-optim.
R-optim.
1,0
1,0
Chien2 PI
Chien2 PI
R-optim.
R-optim.
0,5
0,5
Se puede comprobar fácilmente que el comportamiento
de los controladores PI y PID ajustados mediante este procedimiento
se ajusta
bien al óptimo
para
entradas
PID ajustados
mediante
este muy
procedimiento
se ajusta
muy
bien al de
óptimo para
aunque
a partir de un
tiempo
muerto
normase aparta,perturbación,
llegando a valores
excesivamente
grandes
para
valores
cercanos a la
entradas
de perturbación,
aunque llegando
a partir de un
tiempo excesivamente
muerto normalizado de 0.5
lizado
de 0.5a se
aparta,
valores
se aparta,
llegando
valores
excesivamentea grandes
para valores cercanos a la
unidad. grandes para valores cercanos a la unidad.
Se puede comprobar fácilmente que el comportamiento de los controladores PI y
Sobreimpulso del 20%
unidad.
- Padma Sree et al.
- Padma
Sree et al.
- Padma
Sree et al.
3,0
0,5
0,5
1
1
0,0
0,0
2,5
0
0
0,5
0,5
2,0
1
1
1,5
Figura
5.- Valores
de CEAIT en
función
delen
tiempo
muertodel
normalizado,
con los
Figura
5.- Valores
CEAIT
función
tiempo obtenidos
muerto
Figura
5.- Valores
de CEAIT de
en función
del tiempo
muerto normalizado,
obtenidos con los
1,0
normalizado,
obtenidos
conel los
controladores
PI ysobreimpulso
PID ajustacontroladores
PI y PID
ajustados por
método
de Chien et al. con
del 20%
controladores PI y PID ajustados por el método de Chien et al. con sobreimpulso del 20%
0,5
dos por el método de Chien et al. con sobreimpulso del 20%
comparados con los valores optimizados como regulador.
comparados
convalores
los valores
optimizados como
regulador.
comparados
con los
optimizados
como
regulador.
0,0
Padma PID
Padma PID
R-optim.
R-optim.
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
0
0,5
0,5
1
1
Se comprueba
un funcionamiento
peor funcionamiento
como regulador
Figura
8.- Valores de CEAIT en función del tiempo
Se comprueba
un peor
como regulador
respecto deFigura
los8.- Valores
de CEAIT en función del tiempo muerto normalizado, obtenidos con los
Se comprueba
un los
peorcontroladores
funcionamientoajustados
como regulador
respecto de los
Figura 8.Valoresnormalizado,
de CEAIT en función
del tiempocon
muerto
obtenidos con los
muerto
obtenidos
losnormalizado,
controladores
respecto de
por el procedicontroladores
PID ajustados por el método de Padma Sree et al. comparados con los valores
controladores
ajustados
por y
el Nichols
procedimiento
de
Zieglerbajos
y Nichols
para
valores
bajos
PID
ajustados
por
el
método
de
Padma
Sree
et
al.
commiento
de
Ziegler
para
valores
de
tiempo
controladores
PID
ajustados
por
el
método
de
Padma
Sree
et
al.
comparados
con los valores
controladores ajustados por el procedimiento de Ziegler y Nichols para valores bajos
normalizado aunque de forma global el comportamiento
parados con los
valores
optimizados
optimizados
como regulador.como regulador.
optimizados como regulador.
de tiempo normalizado aunque de forma global el comportamiento sea más
de tiempo
normalizado
aunque de forma global el comportamiento sea más
sea más
aceptable.
- Barberà
- Barberà
aceptable.
- Barberà
aceptable.
3,0 3,0
- Cohen - Coon
- Cohen - Coon
Barberà
PI PI
- Cohen - Coon
Barberà
2,5 2,5
3,0
3,0
R-optim.
R-optim.
Cohen-Coon
Cohen-Coon PI
2,5
2,0 2,0
PID
2,5
R-optim.
2,0
2,0
1,5
R-optim.
3,03,0
2,52,5
2,02,0
1,5 1,5
1,51,5
1,5
1,0 1,0
1,01,0
1,0
1,0
0,5 0,5
0,50,5
0,5
0,5
0,0
0,0
0,0 0,0
0 0
0
0,5
0
1
0,5
0,5 0,5
0,00,0
1 1
0 0
Barberà
PIDPID
Barberà
R-optim.
R-optim.
0,50,5
11
1
9.-CEAIT
Valores
de CEAIT
en muerto
función
del tiempo
Figura
9.-Figura
Valores
de
en función
tiempo
normalizado,
obtenidos
conlos
los
Figura
9.- Valores
de CEAIT
en función
del del
tiempo
muerto normalizado,
obtenidos
con
muerto normalizado, obtenidos con los controladores
Figura 6.- Valores de CEAIT en función del tiempo
PI y PID ajustados por el método del autor comparamuerto normalizado, obtenidos con los controladores PI
controladores PI y PID ajustados por el método de Cohen y Coon comparados con los valores
como
regulador. como regulador.
dos con los valores
optimizados
y PID ajustados por el método de Cohen y Coon comcomo
regulador.
optimizados
como regulador.
parados con los valores
optimizados
como regulador.
Aunque
procedimiento
el que
conduce
a los
mejoresresultados
resultadosdedeCEAIT
CEAIT
Aunque
esteeste
procedimiento
es es
el que
conduce
a los
mejores
Figura 6.- Valores de CEAIT en función del tiempo muerto normalizado, obtenidos con los
controladores
y PID
ajustados
el método
autor
comparados
con
valores
optimizados
controladores
PI y PI
PID
ajustados
por por
el método
deldel
autor
comparados
con
loslos
valores
optimizados
Aunque este procedimiento es el que conduce a los meUn controlador PI ajustado por este método se acerca a los resultados óptimos,
el controlador
como
servomecanismo
(cambios
punto de
de
resultados
deutiliza
CEAIT
cuando
el controlador
se utiliza
Un controlador PI ajustado por este método se acerca cuando
a cuando
eljores
controlador
se se
utiliza
como
servomecanismo
(cambios
dedepunto
aunquelos
en resultados
el caso del controlador
PID
los
resultados
no
son
tan
satisfactorios.
como
servomecanismo (cambios de punto de consigna),
óptimos, aunque en el caso del controlador consigna),
su comportamiento, aunque razonable, no se acerca al óptimo al hacer
consigna),su
su comportamiento,
comportamiento,
aunque
razonable,
no seno
acerca
al óptimo
aunque
razonable,
se acerca
al al hacer
PID los resultados no son tan satisfactorios.
- Lopez et al.
3,0
2,5
3,0
Lopez PI
R-optim.
2,0
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
2480
Lopez PID
2,5
2,0
óptimo al hacer frente a las perturbaciones. Únicamente
en el caso del controlador PI y para valores altos de tiempo muerto se aproxima al comportamiento óptimo.
R-optim.
0,0
0,5
1
0
0,5
1
Figura 7.- Valores de CEAIT obtenidos en función del tiempo muerto normalizado, con los
AFINIDAD LXX, 564, Octubre - Diciembre 2013
4. – CONCLUSIONES
Con el método de doble normalización se puede explorar
de forma muy exhaustiva las cualidades de cualquier procedimiento de ajuste de controladores para procesos de
tipo 0, más concretamente, este trabajo se ha limitado a
procesos de primer orden con tiempo muerto.
Se han comparado diversos procedimientos, analizando
los valores obtenidos de márgenes de ganancia y de fase.
Se puede concluir que el procedimiento del autor es el que
proporciona los mejores resultados aproximándose a los
valores de los márgenes correspondientes a los controladores optimizados para cambios de punto de consigna.
Se comprueba que, en general, un controlador optimizado para cambios de punto de consigna no responde de
forma óptima frente a entradas de perturbación. No obstante, existen procedimientos de ajuste que se aproximan
más en ciertas regiones de los valores de tiempo muerto.
Especialmente, los controladores ajustados por el procedimiento de Lopez et al. se aproximan mucho al comportamiento óptimo para valores de tiempo muerto normalizado menores de 0.5.
REFERENCIAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
J.G. Ziegler; N.B. Nichols, Optimum settlings for automatic controllers, ASME Transactions, 64, 759-768
(1942)
K.L. Chien; J.A. Hrones; J.B. Reswick, On the automatic control of generalized passive systems, ASME
Transactions, 74, 175-185 (1952)
G.H. Cohen; G.A Coon, Theoretical considerations
of retarded control, ASME Transactions, 75, 827-834
(1953)
A.M. Lopez; J.A. Miller; C.L. Smith; P.W. Murrill, Tuning controllers with error-integral criteria, Instrumentation Technology, 57-62 (1967)
R. Padma Sree; M.N. Srinivas; M. Chidambaram, A
simple method of tuning PID controllers for stable and
unstable FOPTD systems, Computers and Chemical
Engineering, 28, 2201-2218 (2004)
E. Barberà, First order plus dead-time (FOPDT) processes: A new procedure for tuning PI and PID controllers, 10 Mediterranean Congress of Chemical Engineering, Barcelona, november 15-18 (2005)
E. Barberà, Procesos de primer orden con tiempo
muerto (FOPDT): Un nuevo procedimiento para el
ajuste de controladores PI y PID, Laboratorios y proveedores, (150), 53, marzo-abril (2006)
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