Resumen sobre combinatoria

Combinatoria
1] Permutaciones
Una permutación de un número de objetos es una disposición de estos objetos en un orden definido. El número de
permutaciones de un conjunto de N elementos, tomados todos juntos es igual a N! Designando este número por NPN,
obtenemos que NPN = N! donde N! se lee “N factorial” y es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta N,
es decir: N! = 1·2·3···(N – 2)·(N – 1)·N. En particular, 1! = 1; 2! = 1·2 = 2, 3! = 1·2·3 = 6, 4! = 1·2·3·4 = 24. Finalmente, definimos 0! = 1.
El número total de disposiciones de N objetos tomados de a n cada vez, con n ≤ N, es:
N
Pn =
N!
.
(N − n )!
Ejemplo. Cuatro banderas de señales han de ser izadas, una encima de la otra, en un mástil. ¿Cuántas señales diferentes pueden ser transmitidas izando 6 banderas diferentes de a 4 cada vez?:
6
P4 =
6!
2 ⋅3⋅ 4 ⋅5⋅ 6
=
= 360 .
(6 − 4)!
2!
2] Combinaciones
Una combinación es una selección de objetos considerados sin relación con su orden. El número total de combinaciones de un conjunto de N elementos tomados de a n cada vez, es:
NCn
N
 y es igual a:
n
o 
N
N
N!
C n =   =
.
 n  n !⋅( N − n )!
Por ejemplo, ¿de cuántas maneras distintas se pueden elegir 3 letras tomándolas de a 2 cada vez?:
3!
 3  3 P2 (3 − 2 )!
3!
3 C2 = 
 2  = 2! = 2! = 2!⋅(3 − 2 )! = 3
 
Es importante recordar que en una permutación el orden cuenta mientras que en una combinación, el orden no
cuenta.
Ejemplo. Un equipo de básquet que está de viaje tiene 10 jugadores. El entrenador debe escoger un equipo inicial
para el próximo juego. ¿Cuántos equipos diferentes de 5 jugadores pueden ser designados para este objetivo? Aquí
no nos interesan las posiciones de cada uno de los 5 jugadores en cada equipo. Por tanto, es un problema de combinaciones, y:
10
C5 =
10!
= 252
5!⋅(10 − 5)!
Si al escoger un equipo, el entrenador también designa las posiciones, entonces el orden cuenta y el problema es de
permutaciones:
10
P5 =
10!
= 30240
(10 − 5)!