Permutaciones sin repetición. Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que: - En cada grupo entran todos los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos. Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará: Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Si n = 1, se define 1!=1 Si n = 0 se define 0!=1 Si te fijas bien, se pueden relacionar las permutaciones ordinarias con las variaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n. Vn,n = Pn EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos): - ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine? - ¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta? - Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones? Sol: P8 = 403209 formas diferentes de sentarse Sol: P5 = 120 fotografías distintas Sol: P6 = 720 conexiones diferentes 9. Vuelve al apartado de las variaciones sin repetición. a) Calcula algunos ejemplos. b) Coloca " ejemplo " en "1" y realiza la formación de las permutaciones de orden 4. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. . Permutaciones con repetición. Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n); a todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ). Notaremos a este tipo de permutación como: y se calcularán: EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos): - ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo? - ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las letras de AMASAS ? - En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera? Sol: 168168 formas ordenaciones distintas Sol: 60 palabras Sol: 27720 formas de acabar la carrera Combinaciones. Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que: - En cada grupo entren m elementos distintos - Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula: Se puede observar fácilmente que: EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos): - Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERÍA PRIMITIVA. ¿ Podrías ayudarle? - Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿ De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ? - En una clase de 30 alumnos se quiere elegir un grupo de 5 alumnos para participar en un concurso. ¿ De cuántas formas podría hacerse ? Sol: C49,6 = 13983816 boletos diferentes (difícil acertar ¿no?) Sol: C7,4 = 35 formas distintas de reparto Sol: C30,5 = 142506 posibles grupos En la siguiente escena; puedes observar la fórmula general para el cálculo de combinaciones, así como una calculadora con la que te aconsejo que practiques algunos casos particulares. Si sitúas el control "ejemplo " en la posición "1"; aparece un problema clásico de combinaciones. Se trata de trazar todos los segmentos posibles que unan " n " puntos no alineados. Para asegurar esto último y sin que ello suponga ninguna pérdida de generalidad para el problema, he colocado los puntos como si fuesen los vértices de un polígono regular. 13. Coloca el control "ejemplo " en la posición "1". Por defecto aparecen 5 puntos que vas a unir por segmentos. Pon el control "traza segmentos" en "1" y cuenta los segmentos. Si vas aumentando "traza..." y contando los segmentos; al agotar el procedimiento y sumar tus resultados, verás que la cifra total coincidirá con el número combinatorio C(5,2). 14.. Aumenta el control "n" al número que desees y repite la experiencia. ( La escena tiene una limitación de 15) ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. 15.. Intenta deducir una fórmula general que nos permita calcular el número de diagonales de cualquier polígono regular. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. Volver a Autoevaluación Primeras propiedades algebraicas de los números combinatorios: a) Muy fácil de demostrar. Déjate llevar por la definición y ten en cuenta que 0!=1 b) Muy fácil. Aplica la definición c) Fácil, fácil,... d) Muy fácil. Aplica la definición e intercambia de lugar el denominador. ¿ verdad que sí? e) Difícil. Como dijo Fermat, La demostración no cabe en este espacio. Te invito a que lo intentes en tu cuaderno Binomio de Newton. Una de las aplicaciones algebraicas más interesantes de los números combinatorios. Permite el desarrollo de cualquier potencia de un binomio identificando los coeficientes de las respectivas potencias.. Como aplicación de las fórmulas anteriores observa los siguientes ejemplos prácticos. Ejemplos: Nota: Si no disponemos de calculadora en un momento dado y necesitamos el desarrollo de alguna potencia de un binomio; recuerda que el triángulo de Tartaglia ( o de Pascal ) puede sernos de gran ayuda. Grado 0 1 Grado 1 1 Grado 2 1 Grado 3 1 Grado 4 Grado 5 5 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 1 ................................................................................. Así sucesivamente........................................................... ...................................................................................
