Gu´ıa 4: Simplificación, multiplicación y división de fracciones

Tercero Medio Cientı́fico
Álgebra y Modelos Analı́ticos
Departamento de Matemática
Prof.: Francisca Vera Ferreira
Guı́a 4: Simplificación, multiplicación y división de
fracciones algebraicas
Simplificación
Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común.
En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar
primero y luego simplificar.
Ejemplos:
2a2
3ab
Aquı́ tanto el numerador (2a2 ) como el denominador (3ab) contienen el término a
como factor. Simplificando por él, obtenemos:
2a2
2a
=
3ab
3b
Simplifiquemos
2a2 + 2
Simplifiquemos
4a
En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el numerador
hay un binomio (recordemos que no se pueden simplificar números que se suman o
restan).
Debemos entonces factorizar primero y después simplificar:
2a2 + 2
2(a2 + 1)
a2 + 1
=
=
4a
4a
2a
Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar
más.
Ejercicios: Simplifique las siguientes expresiones
1.
−125x6 y 5 z 4
=
5xyz
1
2.
3.
a2 + b 2
=
(a2 + b2 )4
xy
=
− xy 3
x2 y 2
4.
x4 − y 2
=
x2 + y
5.
3a3 − 3a2 − 6a
=
2a3 + 6a2 + 4a
6.
x2 − 11x + 30
=
x2 − 25
7.
2p2 x + 2px2
=
p2 − pq + xp − xq
8.
ac − ad − bc + bd
=
c2 − d 2
9.
x2 + x − 2
=
ax + 2a − x − 2
10.
2a2 b − 2ab2
=
a2 − 2ab + b2
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sı́ y hacemos todas las simplificaciones posibles.
En el caso de los monomios, las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar; en el caso de los polinomios es conveniente hacer todas las simplificaciones primero
(factorizando) y luego las multiplicaciones.
Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recı́proco de la segunda.
Ejemplos:
Efectuemos el siguiente producto:
3ab 2b
·
2a 3a2
3ab 2b
3ab · 2b
6ab2
b2
Multiplicando en forma directa obtenemos:
·
=
=
= 3
2a 3a2
2a · 3a3
6a3
a
Efectuemos la siguiente división:
2ab 2a
:
3x 3xy
2
Cambiamos el signo de división : por el de multiplicación · e invertimos la segunda
fracción. Nos queda:
2ab 3xy
2ab 2a
:
=
·
= by
3x 3xy
3x 2a
Ejercicios: Efectúe las operaciones indicadas
1. (x2 + 2xy + y 2 ) ·
1
=
x+y
2.
a + 4 x2 − 4
2a + 4
· 2
·
=
3a − 12 a − 16 x2 − 1
3.
a2 − 25b2 a2 − 7b + 12b2
·
=
a − 3b
a − 5b
4.
3x − 6 x2 − 9 1
·
· =
2x − 6 x2 − 4 3
5.
1 + x 1 − x2
·
=
1 − x (1 + x)2
6.
a − 1 a2 − 1
:
=
a − 2 a2 − 4
7.
x3
1
1
: 2
=
2
− 6x x − 12x + 36
c2 − d2
ac − ad − bc + bd
:
=
a2 − b 2
a2 + 2ab + b2
22x2 y 11xy
9.
:
: 2x =
7
14
1
1 1
10.
:
:
=
x
x x
8.
3