Solución de la interrogación 1 del año 2002

Teorı́a de la Integración: Primera Interrogación
Profesor: Rolando Rebolledo
Pontificia Universidad Católica de Chile
15 de octubre de 2002
Ejercicio 1 Dada una partición π del intervalo I = [a, b] y una función
acotada f : I → R, se define
X
Vπ (f ) =
|f (ti+1 ) − f (ti )| .
(1)
ti ,ti+1 ∈π
Se dice que f tiene variaciones totales finitas si
V (f ) := sup Vπ (f ) < ∞,
π
cuando π recorre el conjunto de todas las particiones de I. El número V (f )
es en ese caso la variación total de f .
Considere una sucesión arbitraria de particiones (πn )n de modo que
|πn | ↓ 0. Pruebe que
V (f ) = lı́m Vπn (f ).
(2)
n
Usando esta propiedad, demuestre que si f es una función de clase C 1 ,
entonces
Z b
0 f (x) dx,
(3)
V (f ) =
a
donde la integral se entiende en el sentido de Riemann.
Solución. Dados tres puntos r, s, t de [a, b], la desigualdad triangular implica
que
|f (t) − f (s)| ≤ |f (t) − f (r)| + |f (r) − f (s)|.
El refinamiento de la partición πn consiste en aumentar el número de sus
puntos, intercalando nuevos entre los ya existentes. Aplicando la desigualdad
triangular anterior, donde s, t designan extremidades de intervalos de πn , que
1
también pertenecerán a πn+1 , y r un punto de πn+1 que queda intercalado
entre s y t, se observa que
Vπn (f ) ≤ Vπn+1 (f ).
Luego la sucesión Vπn (f ) es creciente y está dominada por V (f ), luego
su lı́mite existe y
lı́m Vπn (f ) ≤ V (f ).
n
Pero, por otra parte, por la definición de V (f ) y puesto que la sucesión
de particiones (πn )n crece, dado > 0 existe N tal que VπN (f ) ≥ V (f ) − .
Luego
lı́m Vπn (f ) ≥ V (f ) − ,
n
de donde resulta lı́mn Vπn (f ) = V (f ).
Si f es de clase C 1 , sobre cada intervalo de la partición πn podemos
aplicar el Teorema del Valor Medio y tendremos:
|f (tni+1 ) − f (tni )| = f 0 (θin ) (tni+1 − tni ),
para algún punto θin ∈]tni , tni+1 [, donde tni , tni+1 ∈ πn .
Siendo f 0 una función continua, ella es Riemann-integrable. Designemos
por Sπn (f ) la suma superior de Riemann, (que converge a la integral de f 0
sobre I) y por W (f 0 , |πn |) la oscilación de f 0 sobre los intervalos de πn , (que
debe tender a 0 porque |πn | ↓ 0 y f 0 es continua).
Entonces,
|Vπn (f ) − Sπn (f )| ≤ W (f 0 , |πn |)(b − a).
(4)
Rb 0
De (4) se deduce finalmente lı́mn Vπn (f ) = lı́mn Sπn (f ) = a |f (t)| dt.
`j
`
^
Ejercicio 2 Se define la aplicación µ : P(N) → [0, ∞], para todo A ⊆ N
por
X 1
µ(A) =
,
n2
n∈A
si A es finito; µ(A) = ∞ si A es infinito y µ(∅) = 0.
Probar que µ es aditiva pero no define una medida sobre (N, P(N)).
Solución. Comenzamos por verificar la aditividad. Sean A, B partes disjuntas de N, si alguno de ellas es infinito (por ejemplo A), la conclusión es
inmediata pues entonces A∪B es infinito, luego µ(A∪B) = ∞ = ∞+µ(B) =
µ(A) + µ(B). Si ambos conjuntos son finitos, entonces la propiedad resulta
2
por descomposición de una serie de términos positivos en subseries parciales
con conjuntos de ı́dices disjuntos:
X
n∈A∪B
X 1
X 1
1
=
+
.
2
2
n
n
n2
n∈A
n∈B
La función µ no es σ-aditiva. En efecto,
consideremos los conjuntos disS
juntos An = {n}, (n ∈ N). Se tiene n An = N y puesto que la serie de
término general 1/n2 es convergente,
[
X
X 1
∞ = µ( An ) 6=
µ(An ) =
< ∞.
n2
n
n
n
`j
`
^
Problema 1 Sea S = {A ∈ B(R) : A = −A} donde −A = {−x : x ∈ A}.
1.
Probar que S es una tribu sobre R.
2.
¿Son S-medibles las aplicaciones: f (x) := ex , g(x) := x3 y h(x) :=
cos x?
3.
Caracterizar las aplicaciones de R en R que son S-medibles.
Solución.
1.
Sea σ : R → R la función x 7→ −x. Dado un subconjunto A de R
nótese que σ(A) = {−x : x ∈ A} en tanto σ −1 (A) = {x : −x ∈ A}. σ
es una biyección de R pues es inyectiva y σ ◦ σ = identidad, es decir su
inversa es ella misma. S es la tribu de los conjuntos invariantes bajo σ,
i.e. S = {A : σ(A) = A}. En particular, un intervalo [a, b] pertenece a
S si y sólo si es simétrico respecto al origen, es decir a = −b.
Como σ es una biyección, σ(∅) = ∅, si σ(A) = A, también (σ(A))c =
σ(Ac ) =SAc . Además,
S dada una colección (AnS)n de elementos de S,
como σ( n An ) = n σ(An ) se tiene también n An ∈ S. Luego S es
tribu.
2.
De las tres funciones f, g, h, sólo h es S-medible, pues siendo el coseno
una función par, dado A ∈ S, es decir σ(A) = A, resulta que h−1 (A)
es también invariante bajo σ. En efecto, nótese que h = h ◦ σ y entonces σ(h−1 (A)) = σ ◦ σ −1 (h−1 (A)) = h−1 (A). Esta propiedad no es
satisfecha ni por f ni por g pues f 6= f ◦ σ, g 6= g ◦ σ.
3
3. S es la tribu generada por las aplicaciones invariantes bajo σ, es decir
por las funciones pares. Probémoslo. Llamemos T la tribu que generan las funciones pares. Se tiene de inmediato S ⊆ T porque si A ∈ S,
1A ◦ σ = 1A y 1A es par, luego, T -medible y A ∈ T . Por otra parte, si
f es cualquier función par positiva, ella es lı́mite de una sucesión creciente de funciones simples pares. Para comprobarlo basta considerar
los conjuntos
An,k = k2−n ≤ f < (k + 1)2−n , Bn = {f ≥ n} , (k = 0, . . . , n(2n −1)),
y las funciones simples
n(2n −1)
fn =
X
k=0
k
1A + n1Bn .
2n nk
Las funciones 1Ank y 1Bn son invariantes para σ, es decir son pares,
pues f lo es. Pero también quiere decir que los mencionados conjuntos
pertenecen a S, luego cada fn es S-medible y su lı́mite f también lo
es. Se tiene entonces T ⊆ S y las dos tribus coinciden.
`j
`
^
Problema 2 Considerar un espacio métrico Ω, provisto de su tribu boreliana B(Ω). Sean µ, ν dos medidas positivas σ-finitas sobre (Ω, B(Ω)). Designamos por G (resp. F), la familia de los abiertos (resp. los cerrados) de Ω.
Se recuerda que en un espacio métrico, todo conjunto cerrado es de tipo Gδ .
1.
Probar que si µ y ν coinciden sobre los abiertos (respectivamente los
cerrados) de Ω, entonces coinciden sobre todo B(Ω).
2.
Suponga ahora Ω localmente compacto de base numerable (es decir
existe una sucesión de compactos (KS
n )n tales que cada Kn está contenido en el interior de Kn+1 y Ω = n Kn ). Probar que las dos medidas coinciden si y sólo si µ(K) = ν(K) para todo compacto K de
Ω.
Solución.
1.
La propiedad de que cada cerrado es de tipo Gδ prueba que la tribu
boreliana es en realidad generada por el álgebra A = Fσ ∩Gδ . Si las dos
medidas coinciden sobre los abiertos (o sobre los cerrados), coinciden
entonces sobre A. En consecuencia, si definimos
M = {A ∈ B(Ω) : µ(A) = ν(A)} ,
4
M contiene a A. Pero además, como las medidas son σ-finitas, M
es clase monótona. Luego, por el Teorema de las Clases Monóntonas,
M contiene a σ(A) = B(Ω), de donde se deduce que M y la tribu
boreliana de Ω coinciden y en consecuencia las medidas también.
2.
La propiedad anterior puede ser usada al interior de cada conjunto
Kn primero, para probar que µn (A) = µ(A ∩ Kn ) y νn (A) = ν(A ∩
Kn ) coinciden para cada n. Esta propiedad se cumple pues, si µ y
ν coinciden sobre los compactos, entonces µn , νn coinciden sobre los
cerrados de Kn (que son compactos). Luego, la propiedad anterior
implica la igualdad de µn con νn , para cada n.
`j
`
^
5