123. Si un espacio (X, τ) es T 1, se dice completamente regurlar si

123. Si un espacio (X, τ ) es T1 , se dice completamente regurlar si
dado un punto x ∈ X y un cerrado A ⊂ X tal que x ∈
/ A, existe una función
continua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Demuestre:
(a) Todo subespacio de un espacio completamente regular también lo es.
(b) El producto de espacios completamente regulares también lo es.
SOLUCIÓN:
(a) Dado M ⊂ X, ¿Es (M, τM ) completamente regular?
Sea x ∈ M , F ⊂ M cerrado tal que x ∈
/ F . Si F es cerrado en (M, τM ),
existe A ⊂ X cerrado en (X, τ ) tal que F = A ∩ M y como x ∈ M y
x∈
/F ⇒x∈
/ A. Al ser (X, τ ) completamente regular, ∃ f : X −→ [0, 1]
continua tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Si consideramos la restricción
f |M : M −→ [0, 1], f |M es continua y como x ∈ M , f |M (x) = f (x) = 0 y
f |M (A) = f (A∩M ) = f (F ) = 1, ya que A∩M ⊂ A y f (A) = 1 ∀ y ∈ A.
Luego, (M, τM ) es completamente regular.
(b) Sean (XiY
, τi )i∈I una familia de espacios topológicos completamente regulares. ¿ Xi es completamente regular con la topologı́a producto?
i∈I
Q
/ F ; entonces a ∈ F c que es abierto en
Sea F ⊂ i∈ Xi un cerrado y a ∈
la topologı́a
producto y, por tanto, existe un elemento de la base tal que
Q
a ∈ i∈I Ai ⊂ F c donde Ai = Xi para todo i ∈ I, salvo una familia finita
de ı́ndices J ⊂ I. Entonces ai ∈
/ Aci que es cerrado; entonces, como cada
espacio Xi es completamente regular, existe fi : Xi −→ [0, 1] continua
tal que fi (ai ) = 0 y fi (Aci ) = 1. Para cada i ∈ J tomamos gi = fi ◦ πi
que son continuas
por ser composición de continuas. Si definimos la
Q
función f : i∈I −→ [0, 1] como f (x) = max{gi (x) : i ∈ J} se trata
de una
Q función continua que verifica que f (a) = 0 y si x ∈ F , entonces
/ Aj luego gj (xj ) = 1 y por
x∈
/ i∈I Ai , luego existe j ∈ J tal que xj ∈
tanto f (x) = 1.
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