Álgebra – N 4.2 Multiplicación de polinomios y monomios

Colegio Marta Brunet - 2015
Departamento de Matemáticas
MSc: Alejandro Andrés Panes Pérez
Nombre alumno(a):
Curso:
Álgebra – N ◦ 4.2
Multiplicación de polinomios y monomios
Objetivo 1. Aplicar e interpretar las distintas convenciones algebraicas.
Conceptos 1. Variables, Términos semejantes, monomio, polinomio, suma,
resta & multiplicación.
Multiplicación de polinomios por polinomios
Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra
un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El
signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplo 1.
(a − 4) · (3 + a) = a · 3 + a · a − 4 · 3 − 4 · a = 3a + a2 − 12 − 4a = a2 − a − 12
Ejemplo 2.
(a + b − c) · (m + n) = a · (m + n) · b(m + n) − c · (m + n)
(a + b − c) · (m + n) = am + an + bm + bn − cm − cn
(a + b − c) · (m + n) = am + bm − cm + an + bn − cn
Ejercicios 1.
1. (a + 3)(a − 1) =
3. (x + 5)(x − 4) =
2. (a − 3)(a + 1) =
4. (−a − 2)(−a − 3) =
1
(1)
(2)
(3)
5. (−a + b)(−4b + 8a) =
11. (7x − 3)(4 + 2x)
6. (m − 6)(m − 5)
12. (−a + b)(−4b + 8a)
7. (−x + 3)(−x + 5)
13. (6m − 5n)(−n + m)
8. (3x − 2y)(y + 2x)
14. (8n − 9m)(4n + 6m)
9. (−4y + 5x)(−3x + 2y)
10. (5a − 7b)(a + 3b)
15. (−7y − 3)(−11 + 2y)
Ejercicios 2.
1. (x2 + xy + y 2 ) · (x − y)
9. (3a2 − 5ab + 2b2 )(4a − 5b)
2. (a2 + b2 − 2ab)(a − b)
10. (5m4 − 3m2n2 + n4 )(3m − n)
3. (a2 + b2 + 2ab)(a + b)
11. (a2 + a + 1)(a2 − a − 1)
4. (x3 − 3x2 + 1)(x + 3)
12. (x3 + 2x2 − x)(x2 − 2x + 5)
5. (a3 − a + a2 )(a − 1)
6. (m4 + m2 n2 + n4 )(m2 − n2 )
13. (m3 −3m2 n+2mn2 )(m2 −2mn−
8n2 )
7. (x3 − 2x2 + 3x − 1)(2x + 3)
14. (3y 3 + 5 − 6y)(y 2 + 2)
8. (m3 − m2 + m − 2)(am + a)
15. (x2 + 1 + x)(x2 − x − 1)
Multiplicación de polinomios con exponentes literales
Ejercicios 3.
1. (ax − ax+1 + ax+2 )(a + 1)
6. (3ax−2 −2ax−1 +ax )(a2 +2a−1)
2. (xn+1 + 2xn+2 − xn+3 )(x2 + x)
7. (3ax−1 +ax −2ax−2 )(ax −ax−1 +
ax−2 )
3. (ma−1 +ma+1 +ma+2 −ma )(m2 −
2m + 3)
8. (ma+1 − 2ma+2 − ma+3 +
ma+4 )(ma−3 − ma−1 + ma−2 )
4. an+2 − 2an + 3an+1 (an + an+1 )
5. (x
a+2
a
−x +2x
a+1
)(x
a+3
−2x
a+1
9. (xa−1 + 2xa−2 − xa−3 +
xa−4 )(ma−3 − ma−1 + ma−2 )
)
2
10. (an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 −
an−3 b4 )(an b2 − an−2 b4 )
12. (ax−1 − bn−1 )(a − b)
13. (a2m+1 −5a2m+2 +3a2m )(a3m−3 +
6a3m−1 − 8a3m−2 )
11. (ax + bx )(am + bm )
Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios
Ejercicios 4.
1 1
1
1
1. ( a − b)( a − b)
2
3 2
2
mn)
3
1
2
1
6. ( x2 + x − )(2x3 − x + 2)
8
4
5
3
2 5
1
2. (x − y)( y + x)
5 6
3
1
1
3
3
7. ( ax − x2 + a2 )( x2 − ax +
3
2
2
2
2 2
a)
3
1
1
1
2
3
3. ( x2 − xy + y 2 )( x − y)
2
3
4
3
2
2
1
3
1
4. ( a2 − ab + b2 )( a − b)
4
3
4
2
1
1
1
2
8. ( x3 + xy 2 − x2 y)( x2 −
7
2
5
4
2
5 2
xy + y )
3
6
2
1
1
3
5. ( m2 + mn− n2 )( m2 +2n2 −
5
3
2
2
Multiplicación por coeficientes separados
Ejercicios 5.
5. (x4 − 8x2 + 3)(x4 + 6x2 − 5)
1. (x3 − x2 )(x2 − 1)
2. (x4 +3x3 −5x2 +8)(x3 −2x2 −7)
4
3
2 2
6. (a6 − 3a4 − 6a2 + 10)(a8 − 4a6 +
3a4 − 2a2 )
3
3. (a + 3a b − 2a b + 5ab −
b4 )(a2 − 2ab + b2 )
7. (x9 − 4x6 + 3x3 − 2)(3x6 − 8x3 +
10)
4. (m3 + n3 + 6mn2 − 5m2 n)(a2 −
2ab + b2 )
Producto continuado de polinomios
Ejercicios 6.
3
1. 4(a + 5)(a − 3)
6. (a − b)(a2 − 2ab + b2 )(a + b)
2. 3a2 (x + 1)(x − 1)
7. 3x(x2 − 2x + 1)(x − 1)(x + 1)
3. 2(a − 3)(a − 1)(a + 4)
8. (x2 − x + 1)(x2 + x − 1)(x − 2)
4. (x2 + 1)(x2 − 1)(x2 + 1)
9. (am − 3)(am−1 + 2)(am−1 − 1)
5. m(m − 4)(m − 6)(3m + 2)
10. a(a − 1)(a − 2)(a − 3)
Multiplicación combinada de suma y restas.
Ejemplo 3. Al realizar la operación
(x + 3)(x − 4) + 3(x − 1)(x + 2)
, hay que efectuar el primer producto (x + 3)(x − 4); efectuaremos el segundo
producto 3(x − 1)(x + 2) y sumaremos este segundo producto con el primero.
Efectuaremos el primer producto:
(x + 3)(x − 4) = x2 − x − 12
.
Efectuando el segundo producto:
3(x − 1)(x + 2) = 3(x2 + x − 2) = 3x2 + 3x − 6
.
Sumando este segundo producto con el primero:
(x2 − x − 12) + (3x2 + 3x − 6) = x2 − x − 12 + 3x2 + 3x − 6 = 4x2 + 2x − 18
Ejercicios 7.
5. 4m3 − 5mn2 + 3m2 (m2 + n2 ) −
3m(m2 − n2 ) =
1. 4(x + 3) + 5(x + 2) =
2. 6(x2 +4)−3(x2 +1)+5(x2 +2) =
6. (a + c)2 − (a − c)2 =
3. a(a − x) + 3a(x + 2a) − a(x −
3a) =
7. 3(x + y)2 − 4(x − y)2 + 3x2 − 3y 2
4. x2 (y 2 +1)+y 2 (x2 +1)−3x2 y 2 =
8. (m+n)2 −(2m+n)2 +(m−4n)2
4
10. (x2 + x − 3)2 − (x2 − 2 + x)2 +
(x2 − x − 3)2
9. x(a+x)+3x(a+1)−(x+1)(a+
2x) − (a − x)2
Supreción de signos de agrupación con producto indicado.
Ejemplo 4.
5a + a − 2 [a + 3b − 4(a + b)] = 5a + a − 2 [−3a − b]
= 5a + a + 6a + 2b
= 5a + 7a + 2b
= 5a + 7a + 2b
= 12a + 2b
Ejercicios 8.
1. x − [3a + 2(−x + 1)] =
2. −(a + b) − 3 [2a + b(−a + 2)] =
3. −[3x − 2y + (x − 2y) − 2(x + y) − 3(2x + 1)]
4. 4x2 − −3x + 5 − [−x + x(2 − x)] =
5. 2a − {−3x + 2[−a + 3x − 2(−a + b − (2 + a))]} =
6. a − (x + y) − 3(x − y) + 2 [−(x − 2y) − 2(−x − y)] =
7. −2(a − b) − 3(a + 2b) − 4a − 2b + 2 [−a + b − 1 + 2(a − b)] =
8. −2(a − b) − 3(a + 2b) − 4a − 2b + 2 [−a + b − 1 + 2(a − b)] =
9. m − 3(m + n) + [−{−(−2m + n − 2 − 3[m − n + 1]) + m}] =
10. −3(x − 2y) + 2{−4[−2x − 3(x + y)]} − {−[−(x + y)]} =
11. 5{−(a + b) − 3[−2a + 3b − (a + b) + (−a − b) + 2(−a + b)] − a} =
12. −{a + b − 2(a − b) + 3{−[2a + b − 3(a + b − 1)]} − 3[−a + 2(−1 + a)]} =
–Suerte–
5