Semana 2 Regla de Cramer - Radio Fe y Alegría Noticias

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22
Regla de Cramer
Regla de Cramer
¡Empecemos!
Como recodarás en el 7mo
semestre estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales
(SEL) con tres incógnitas, los
cuales se resolvieron empleando los métodos analíticos:
sustitución, igualación y reducción. En esta ocasión para
resolver dichos sistemas utilizaremos la regla de Cramer,
que se basa en el cálculo de
determinantes.
¿Qué sabes de...?
1. Los SEL que no tienen ninguna solución se conocen como:
a) Compatibles determinados.
b) Compatibles indeterminados.
c)Incompatibles.
2. Si el SEL tiene más de una solución se denomina:
a) Compatible determinado.
b) Compatible indeterminado.
c)Incompatible.
3. Si dos SEL tienen la misma solución, se conocen como:
a)Iguales.
b) Compatibles determinados.
c)Equivalentes.
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Semana 2
Regla de Cramer
El reto es...
Los estudiantes del IRFA organizaron un evento deportivo y recreativo a fin
de recoger fondos para arreglar los talleres. Para ello vendieron 110 helados
en tres presentaciones: vasitos, barquillas y tinas. Recolectaron 1.038 Bs y los
precios de cada helado eran: Bs. 7 el vasito, Bs. 8 la barquilla y Bs. 10 la tina. Si
se sabe que entre barquillas y tinajas se compraron el 20% más que de vasitos, ¿qué cantidad de helados se compraron de cada uno? En este momento
estás en condiciones de resolver el problema por los métodos ya estudiados.
¡Hazlo! Esperamos que al finalizar la lectura de este material puedas solucionar los SEL usando el método de Cramer.
Vamos al grano
Determinantes
Dada una matriz cuadrada A se llama determinante de A, abreviado: det (A),
al número real que se obtiene a partir de los elementos de la matriz.
Por ejemplo, en una matriz de orden 2, su determinante se expresa así:
a a
det (A) = a11 a12 = a11· a12 - a21· a12
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Producto
Producto
de la diagonal de la diagonal
principal
secundaria
Ejemplos:
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
-3 3
0 1/4
4 -10
a)b)c)
5 6
12 5
12 -30
Recuerda que debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarlos al producto de la diagonal secundaria.
a) (-3) · 6 - (-5) · 3 = -18 + 15 = - 3
b) 0 · 5 -12 · 1 = 0 - 3 = -3
4
c) 4 · (-30) -12 · (-10) = -120 + 120 = 0
Determinante de orden 3
Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al número que se obtiene así:
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det (A) =
Regla de Cramer
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a32 - a12 · a21 · a33 - a13 · a22 · a31
Observa que para calcular el determinante se hacen todos los productos
posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes.
La idea no es que memorices esa expresión. Hay una manera sencilla de
encontrar el determinante de una matriz de orden 3, empleando la regla de
Sarrus (en honor al matemático francés Pierre Sarrus), de la siguiente forma:
•
Se escriben a la derecha de la matriz las dos primeras columnas.
•
Se realiza el producto de los elementos que contiene cada flecha. Los
productos de la diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +;
la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -.
•
Finalmente realizamos la suma algebraica de los productos resultantes.
A través de un ejercicio se ejemplifica la regla:
5 11 -1
Halla el determinante de la matriz B = -4 0 9
2 3 8
Se repiten las dos primeras columnas a continuación de la tercera.
Diagonal secundaria y paralelas
5 11 -1 5 11
-4 0 9 -4 0
2 3 8 2 3
Diagonal principal y paralelas
det (B)= 5 · 0 · 8 + 11 · 9 ·2 + (-1) · (-4) · 3 - (-1) · 0 · 2 -3 · 9 · 5 - 8 ·(-4) · 11
Suma algebraica de los productos
de la diagonal principal.
Suma algebraica de los productos
de la diagonal secundaria.
det (B) = 0 + 198 + 12 + 0 - 135 + 352 = 562 - 135 = 427
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
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Sea un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas de
la forma:
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a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … +a1nxn= b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … +a2nxn= b2
(1)
am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amnxn=bm
Los números reales aij se denominan coeficientes, los xi se llaman incógnitas
y bj se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por
x e y en vez de x1 y x2; y, en el caso de tres, x, y, z, en lugar de x1, x2, y x3, pero
esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las
incógnitas para que se cumplan todas las
ecuaciones del sistema simultáneamente.
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo siguiente:
···
a11 a12 a13 ··· a1n
a21 a22 a23 ··· a2n
a31 a32 a33
a3n
···
Matrix de
Coeficientes
=
b1
b2
b3
···
···
···
···
···
am1 am2 am3 ··· amn
·
x1
x2
x3
xn
bm
Matrix de
incógnitas
Matriz de términos
independientes
Al usar tus conocimientos sobre la multiplicación de matrices, advertirás
que el producto de la matriz A y la matriz X de las incógnitas, se corresponde
con el miembro izquierdo del sistema de ecuaciones (1).
Regla de Cramer
La regla de Cramer (en honor a su inventor, Gabriel Cramer) es aplicable a
sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Expresamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y se halla el
determinante de la matriz A de coeficientes.
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Semana 2
Regla de Cramer
Sea det(A) el determinante de la matriz de coeficientes:
···
a11 a12 a13 ··· a1n
a21 a22 a23 ··· a2n
a31 a32 a33
a3n
···
···
···
···
am1 am2 am3 ··· amn
Y cada uno de los determinantes det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n se forma
a partir del determinante del sistema det(A), sustituyendo la columna de la
incógnita que se está hallando por la columna de las constantes (matriz de
términos independientes).
El valor de cada incógnita se calcula dividiendo el det(A)1 , det(A)2 , det(A)3...,
det(A)n entre el determinante det(A). La solución del sistema de ecuaciones
lineales, utilizando la regla de Cramer viene dada por:
det(A)2
det(A)3
y =
z=
det(A)
det(A)
det(A)1
x =
det(A)
Es importante recordar que un sistema con igual número de ecuaciones que
de incógnitas tiene una única solución, que es justamente la anterior.
Concretemos esta regla a través de la situación propuesta al inicio, considerando las siguientes incógnitas: x: cantidad de helados de vasitos; y: cantidad
de barquillas; z: cantidad de helados en tinajas.
Al plantear el sistema de ecuaciones, obtenemos:
x+y+z=132x+y+z=132x+y+z=132
7x+8y+10z=10387x+8y+10z=10387x+8y+10z=1038
y+z=1.2x-1.2x+y+z=0-12x+10y+10z=0
Multiplicamos por 10 la última ecuación para eliminar el punto y ordenamos
el sistema.
•
Expresamos el último sistema de ecuaciones en forma matricial; esto es:
1 1 1
7 8 10
-12 10 10
•
=
132
1038
0
Se halla el determinante de la matriz de coeficientes A:
Aplicando Sarrus:
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·
x
y
z
1 1 1
1 1
7 8 10 -7 8
-12 10 10 -12 10
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Regla de Cramer
det (A)= 1· 8 ·10 + 1·10 · (-12) + 1 · 7 · 10 - 1 · 7 ·10 -1 ·10 ·10 -1 ·8 · (-12)
= 80 -120 -100 + 96= 176 - 220= -44
Como el determinante es distinto de cero se puede aplicar la regla de Cramer.
•
Hallamos el determinante asociado a cada una de las incógnitas.
En la matriz del sistema A, sustituimos la primera columna de las x por la
columna de términos independientes, pues x es la primera incógnita; así:
132 1 1
1038 8 10
0 10 10
132
1038
0
1
8
10
Observa que la primera columna ha sido sustituida por la columna de términos independientes.
Aplicamos Sarrus para obtener el determinante.
det(A)x =132 · 8 ·10 +1 ·10 · 0 +1 · 1038 ·10 -1 · 1038 ·10 -10 ·10 ·132 -1 · 8 · 0
=10560 + 0 -13200 + 0= -2640
-2640
det(A)x
La solución de x, será x=
=
= 60 helados de vasito.
-44
det(A)
•
Hallamos el determinante asociado a la incógnita:
Se ha sustituido la columna de las y en el determinante del sistema por la
columna de términos independientes.
1 132
7 1038
-12 0
1
10
10
1 132
7 1038
-12
0
det(A)y= 1 ·1038 ·10 +132 ·10 · (-12)+1 · 7 · 0 -132 · 7 ·10 -1·10 · 0 -1·1038 · (-12)
= 10380 - 15840 + 0 - 9240 - 0 +12456= 22836 - 25080= -2244
det(A)y
La solución de y, será y= det(A)
•
=
-2244
= 51 barquillas.
-44
Hallamos el determinante asociado a la incógnita.
En la matriz del sistema, sustituimos la tercera columna por la columna de
términos independientes; así:
1
7
-12
1 132
8 1038
10 0
1 1
-7 8
12 10
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det(A)z= 1· 8 · 0 +1 ·1038 · (-12) +132 · 7 · 10 -1 · 7 · 0 -1 · 10 ·1038 -132 · (-12) · 8
= 0 -12456 + 9240 - 0 -10380 + 12672= -22836 + 21912= -924
det(A)z
La solución de z, será z=
=
det(A)
-924
= 21 tinas
-44
Para saber más…
Para reforzar la resolución de problemas de un sistema de ecuaciones
mediante la regla de Cramer, puedes observar el video que se muestra
en la siguiente dirección web: http://goo.gl/fWABb
Aplica tus saberes
1. Halla el determinante de las siguientes matrices:
a) -6 4
0 5
b) 7 -8
21 -24
3 1 -0,6
c) 2 2/3 1
-9 7 0
d)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas:
a) 3x-2y+z=-1
b) x+y+z=6
c) 3x+y+z=1
2x+y-z=2
x-y+2z=5
2x+2y+z=5
x-3y+z=0
x+y-z=0
x-y+z=0
3. Una empresa de computadoras ofreció servicio técnico: revisión, mantenimiento y reparación (incluye costo de materiales y mano de obra)
a tres departamentos de una escuela: Control de estudio y evaluación,
Pedagogía y Sala telemática. En Control de estudio y evaluación se tienen dos computadoras: una recibió revisión y mantenimiento mientras
la otra sólo mantenimiento (limpieza). En la sala telemática se revisaron
4 computadoras, se hizo mantenimiento a 3, por un costo de 720 Bs. A
la computadora del departamento de Pedagogía se le hicieron los tres
servicios (R, M, R) por un costo de 520 Bs. En total la escuela hizo un gasto de 1520 Bs. ¿Cuánto es el costo de cada uno de los servicios?
Comprobemos y demostremos que…
Discute en el CCA con tus compañeros los problemas mostrados en “Aplica
tus saberes”.
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La tierra es suficiente para todos pero no para la voracidad
de los consumidores. Gandhi