Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Robin Banerjee Fdez.–Bordas E.T.S.I. Telecomunicación U.P.M. [email protected] Octubre 2009 Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Esquema 1 Cuerpo de los números complejos 2 Interpretación geométrica. Módulo y argumento 3 Formas trigonométrica y exponencial 4 Raı́z de un complejo 5 Interpretación geométrica de las operaciones en C 6 Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la 2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos ecuación x√ α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios en 2 se tratase. Esta √ construcción√pretende que el nuevo conjunto Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea √ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto la ecuación √ x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2. En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se denominan números complejos En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es el cuerpo de los números complejos. Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo arbitrario por z, de modo que z = x + iy . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la 2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos ecuación x√ α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios en 2 se tratase. Esta √ construcción√pretende que el nuevo conjunto Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea √ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto la ecuación √ x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2. En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se denominan números complejos En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es el cuerpo de los números complejos. Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo arbitrario por z, de modo que z = x + iy . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la 2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos ecuación x√ α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios en 2 se tratase. Esta √ construcción√pretende que el nuevo conjunto Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea √ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto la ecuación √ x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2. En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se denominan números complejos En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es el cuerpo de los números complejos. Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo arbitrario por z, de modo que z = x + iy . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la 2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos ecuación x√ α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios en 2 se tratase. Esta √ construcción√pretende que el nuevo conjunto Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea √ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto la ecuación √ x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2. En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se denominan números complejos En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es el cuerpo de los números complejos. Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo arbitrario por z, de modo que z = x + iy . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Igualdad de complejos Observemos que si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 son dos números complejos, la igualdad z1 = z2 debe necesariamente entenderse de la forma siguiente ^ (z1 = z2 ) ⇔ (x1 = x2 ) (y1 = y2 ); (1) En efecto, si y1 6= y2 , entonces (por las propiedades de cuerpo inherentes a C) de x1 + iy1 = x2 + iy2 se deduce que i(y1 − y2 ) = x2 − x1 , o sea, i = (x2 − x1 )(y1 − y2 )−1 ∈ R, en contra de la hipótesis i ∈ / R. Luego, debe ser y1 = y2 y entonces de la igualdad x1 + iy1 = x2 + iy1 se deduce que x1 − x2 = 0, o sea, x1 = x2 . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Igualdad de complejos Observemos que si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 son dos números complejos, la igualdad z1 = z2 debe necesariamente entenderse de la forma siguiente ^ (z1 = z2 ) ⇔ (x1 = x2 ) (y1 = y2 ); (1) En efecto, si y1 6= y2 , entonces (por las propiedades de cuerpo inherentes a C) de x1 + iy1 = x2 + iy2 se deduce que i(y1 − y2 ) = x2 − x1 , o sea, i = (x2 − x1 )(y1 − y2 )−1 ∈ R, en contra de la hipótesis i ∈ / R. Luego, debe ser y1 = y2 y entonces de la igualdad x1 + iy1 = x2 + iy1 se deduce que x1 − x2 = 0, o sea, x1 = x2 . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Operaciones con complejos Análogamente, puede probarse que: 1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (2) 2 3 4 para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0, si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy , el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado necesariamente por z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 5 6 para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0, el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por z −1 = 7 (3) x −y +i 2 , x2 + y2 x + y2 el cociente de dos números “ complejos z1 = ” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene z1 −y2 +y1 y2 +y1 x2 2 = z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y = x1xx22 +y + i −xx1 2y2+y . 2 + i x 2 +y 2 2 2 z 2 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2 2 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se tratase y recordando que i 2 = −1. En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato ver que z2 6= 0 y que z1 z1 z2 z1 z2 = · = , z2 z2 z2 z2 z2 ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en el denominador. Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto, cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en otras palabras, C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}. Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se tratase y recordando que i 2 = −1. En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato ver que z2 6= 0 y que z1 z1 z2 z1 z2 = · = , z2 z2 z2 z2 z2 ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en el denominador. Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto, cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en otras palabras, C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}. Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se tratase y recordando que i 2 = −1. En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato ver que z2 6= 0 y que z1 z1 z2 z1 z2 = · = , z2 z2 z2 z2 z2 ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en el denominador. Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto, cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en otras palabras, C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}. Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (cuerpo de los números complejos) El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}, donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que V (z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ), (z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria (Im z := y ) del complejo z = x + iy . Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice que z es imaginario puro. Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C. Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo z =: x − iy que se denomina conjugado de z. Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (cuerpo de los números complejos) El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}, donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que V (z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ), (z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria (Im z := y ) del complejo z = x + iy . Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice que z es imaginario puro. Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C. Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo z =: x − iy que se denomina conjugado de z. Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (cuerpo de los números complejos) El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}, donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que V (z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ), (z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria (Im z := y ) del complejo z = x + iy . Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice que z es imaginario puro. Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C. Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo z =: x − iy que se denomina conjugado de z. Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (cuerpo de los números complejos) El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}, donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que V (z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ), (z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria (Im z := y ) del complejo z = x + iy . Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice que z es imaginario puro. Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C. Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo z =: x − iy que se denomina conjugado de z. Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (cuerpo de los números complejos) El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}, donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que V (z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ), (z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), (z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria (Im z := y ) del complejo z = x + iy . Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice que z es imaginario puro. Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C. Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo z =: x − iy que se denomina conjugado de z. Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Números complejos) (a) Para empezar, un ejercicio aritmético. (2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i, (2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i, 2 + 3i 2 + 3i −1 − i 1 − 5i 1 5 = · = = −i −1 + i −1 + i −1 − i 2 2 2 y, por lo tanto, 2 + 3i = −1 + i = (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i. (2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 · (b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles exclusivamente de los correspondientes P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Se acepta que i 0 = 1 y se tiene i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc., de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i. No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton (u + v )n = n X Cnk u n−k v k (u, v ∈ C), k=0 También, la fórmula n X q k−1 = k=1 n−1 X qk = k=0 1 − qn 1−q para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida. Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n, Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 (z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0) y de sus raı́ces. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Se acepta que i 0 = 1 y se tiene i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc., de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i. No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton (u + v )n = n X Cnk u n−k v k (u, v ∈ C), k=0 También, la fórmula n X q k−1 = k=1 n−1 X qk = k=0 1 − qn 1−q para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida. Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n, Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 (z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0) y de sus raı́ces. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Se acepta que i 0 = 1 y se tiene i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc., de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i. No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton (u + v )n = n X Cnk u n−k v k (u, v ∈ C), k=0 También, la fórmula n X q k−1 = k=1 n−1 X qk = k=0 1 − qn 1−q para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida. Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n, Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 (z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0) y de sus raı́ces. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Se acepta que i 0 = 1 y se tiene i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc., de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i. No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton (u + v )n = n X Cnk u n−k v k (u, v ∈ C), k=0 También, la fórmula n X q k−1 = k=1 n−1 X qk = k=0 1 − qn 1−q para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida. Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n, Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 (z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0) y de sus raı́ces. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades C no es un cuerpo ordenado Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio). Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o sea, a los axiomas ORD1, ORD2. Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo, más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima de un complejo o los conceptos de conjunto acotado. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades C no es un cuerpo ordenado Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio). Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o sea, a los axiomas ORD1, ORD2. Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo, más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima de un complejo o los conceptos de conjunto acotado. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades C no es un cuerpo ordenado Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio). Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o sea, a los axiomas ORD1, ORD2. Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo, más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima de un complejo o los conceptos de conjunto acotado. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Interpretación geométrica Si se toma un plano con un sistema rectangular de coordenadas, el complejo z = x + iy puede interpretarse como el punto M de coordenadas x, y o como vector de coordenadas x, y (en particular, como el vector OM que une el origen y el punto M) y, viceversa, el punto o cualquier vector de coordenadas x, y del plano puede interpretarse como el complejo z = x + yi. Obviamente, los complejos reales z = x corresponden a los puntos del eje de las abscisas (o a vectores paralelos al mismo) y los imaginarios puros z = iy , a los del eje de ordenadas (o a vectores paralelos al mismo). Por esto, se suele decir eje real en lugar de eje de las abscisas y eje imaginario en lugar de eje de las ordenadas. El propio plano se denomina entonces plano complejo y se indica con el mismo sı́mbolo C que se usa para el cuerpo de los complejos (del mismo modo que el sı́mbolo R se usa indistintamente para el cuerpo de los reales y para la recta real). Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Interpretación geométrica Si se toma un plano con un sistema rectangular de coordenadas, el complejo z = x + iy puede interpretarse como el punto M de coordenadas x, y o como vector de coordenadas x, y (en particular, como el vector OM que une el origen y el punto M) y, viceversa, el punto o cualquier vector de coordenadas x, y del plano puede interpretarse como el complejo z = x + yi. Obviamente, los complejos reales z = x corresponden a los puntos del eje de las abscisas (o a vectores paralelos al mismo) y los imaginarios puros z = iy , a los del eje de ordenadas (o a vectores paralelos al mismo). Por esto, se suele decir eje real en lugar de eje de las abscisas y eje imaginario en lugar de eje de las ordenadas. El propio plano se denomina entonces plano complejo y se indica con el mismo sı́mbolo C que se usa para el cuerpo de los complejos (del mismo modo que el sı́mbolo R se usa indistintamente para el cuerpo de los reales y para la recta real). Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Módulo y argumento Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme con el semieje real positivo.Ası́, 1 2 La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|. El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto, Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π. Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β, etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Módulo y argumento Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme con el semieje real positivo.Ası́, 1 2 La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|. El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto, Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π. Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β, etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Módulo y argumento Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme con el semieje real positivo.Ası́, 1 2 La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|. El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto, Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π. Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β, etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Módulo y argumento Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme con el semieje real positivo.Ası́, 1 2 La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|. El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto, Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π. Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β, etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Cambio a la forma binómica Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ, lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ. Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que p |z| = x 2 + y 2 En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero, el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z, y basándose en que tg ϕ = . x Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Cambio a la forma binómica Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ, lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ. Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que p |z| = x 2 + y 2 En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero, el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z, y basándose en que tg ϕ = . x Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Cambio a la forma binómica Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ, lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ. Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que p |z| = x 2 + y 2 En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero, el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z, y basándose en que tg ϕ = . x Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Módulo y argumento) (a) Si z = x es un complejo real, entonces |z| = que √ x 2 = |x|; por otro lado, está claro 1 si x > 0, arg z = 0 y Arg z = {2kπ, k ∈ Z}, y que 2 si x < 0, arg z = π y Arg z = {π + 2kπ = (2k + 1)π, k ∈ Z}. Análogamente, si z = iy es un imaginario puro, entonces |z| = |y |, y π 2 y Arg z = { 4k+1 π, k ∈ Z}, y 2 1 si y > 0, arg z = 2 si y < 0, arg z = − π2 y Arg z = { 4k−1 π, k ∈ Z}. 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (Módulo y argumento) (a) Si z = x es un complejo real, entonces |z| = que √ x 2 = |x|; por otro lado, está claro 1 si x > 0, arg z = 0 y Arg z = {2kπ, k ∈ Z}, y que 2 si x < 0, arg z = π y Arg z = {π + 2kπ = (2k + 1)π, k ∈ Z}. Análogamente, si z = iy es un imaginario puro, entonces |z| = |y |, y π 2 y Arg z = { 4k+1 π, k ∈ Z}, y 2 1 si y > 0, arg z = 2 si y < 0, arg z = − π2 y Arg z = { 4k−1 π, k ∈ Z}. 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (b) √ √ √ √ Si z = 2 + i 2, entonces |z| = 2; por otro lado, como 2 = 2 cos ϕ y 2 = 2 sen ϕ, V resulta que (ϕ ∈ I ) (tg ϕ = 1), de donde se deduce que arg z = π4 y √ √ Arg z = { π4 + 2kπ = 8k+1 π, k ∈ Z}. En cambio, si z = − 2 − i 2 , entonces 4 8k−3 −3π |z| = 2, arg z = 4 y Arg z = { 4 π, k ∈ Z}, ya que en este caso (ϕ ∈ III ) ∧ (tg ϕ = 1). (c) Si z = 3 − 4i, entonces |z| = 5 y, como 3 = 5 cos ϕ y −4 = 5 sen ϕ, resulta que (ϕ ∈ IV ) ∧ (tg ϕ = − 43 ), de donde se deduce que arg z = − arc tg 43 y Arg z = {− arc tg 43 + 2kπ, k ∈ Z}. En cambio, si z = −3 + 4i, entonces |z| = 5, arg z = − arc tg 43 + π y Arg z = {− arc tg 43 + (2k + 1)π, k ∈ Z}, ya que en este caso (ϕ ∈ II ) ∧ (tg ϕ = − 43 ). N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (b) √ √ √ √ Si z = 2 + i 2, entonces |z| = 2; por otro lado, como 2 = 2 cos ϕ y 2 = 2 sen ϕ, V resulta que (ϕ ∈ I ) (tg ϕ = 1), de donde se deduce que arg z = π4 y √ √ Arg z = { π4 + 2kπ = 8k+1 π, k ∈ Z}. En cambio, si z = − 2 − i 2 , entonces 4 8k−3 −3π |z| = 2, arg z = 4 y Arg z = { 4 π, k ∈ Z}, ya que en este caso (ϕ ∈ III ) ∧ (tg ϕ = 1). (c) Si z = 3 − 4i, entonces |z| = 5 y, como 3 = 5 cos ϕ y −4 = 5 sen ϕ, resulta que (ϕ ∈ IV ) ∧ (tg ϕ = − 43 ), de donde se deduce que arg z = − arc tg 43 y Arg z = {− arc tg 43 + 2kπ, k ∈ Z}. En cambio, si z = −3 + 4i, entonces |z| = 5, arg z = − arc tg 43 + π y Arg z = {− arc tg 43 + (2k + 1)π, k ∈ Z}, ya que en este caso (ϕ ∈ II ) ∧ (tg ϕ = − 43 ). N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos elementos recogidos en la definición siguiente: Definición (módulo y argumento) Si z = x + iy , el real no negativo |z| := p x2 + y2 > 0 se denomina módulo de z, si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ) V (y = |z| sen ϕ)} se denomina argumento de z, al elemento de este conjunto arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π, se denomina valor principal del argumento de z, de modo que Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. El complejo z = 0 carece de argumento. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos elementos recogidos en la definición siguiente: Definición (módulo y argumento) Si z = x + iy , el real no negativo |z| := p x2 + y2 > 0 se denomina módulo de z, si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ) V (y = |z| sen ϕ)} se denomina argumento de z, al elemento de este conjunto arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π, se denomina valor principal del argumento de z, de modo que Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. El complejo z = 0 carece de argumento. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos elementos recogidos en la definición siguiente: Definición (módulo y argumento) Si z = x + iy , el real no negativo |z| := p x2 + y2 > 0 se denomina módulo de z, si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ) V (y = |z| sen ϕ)} se denomina argumento de z, al elemento de este conjunto arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π, se denomina valor principal del argumento de z, de modo que Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. El complejo z = 0 carece de argumento. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos elementos recogidos en la definición siguiente: Definición (módulo y argumento) Si z = x + iy , el real no negativo |z| := p x2 + y2 > 0 se denomina módulo de z, si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ) V (y = |z| sen ϕ)} se denomina argumento de z, al elemento de este conjunto arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π, se denomina valor principal del argumento de z, de modo que Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. El complejo z = 0 carece de argumento. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Geométricamente, |z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y asociado al complejo z = x + iy , |z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 , Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo. Example (Lugares geométricos) Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que 1. r < |z − z0 | 6 R; 2. |z − z1 | = |z − z2 |. Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z, está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 . N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Geométricamente, |z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y asociado al complejo z = x + iy , |z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 , Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo. Example (Lugares geométricos) Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que 1. r < |z − z0 | 6 R; 2. |z − z1 | = |z − z2 |. Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z, está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 . N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Geométricamente, |z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y asociado al complejo z = x + iy , |z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 , Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo. Example (Lugares geométricos) Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que 1. r < |z − z0 | 6 R; 2. |z − z1 | = |z − z2 |. Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z, está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 . N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Geométricamente, |z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y asociado al complejo z = x + iy , |z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 , Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo. Example (Lugares geométricos) Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que 1. r < |z − z0 | 6 R; 2. |z − z1 | = |z − z2 |. Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z, está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 . N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Formas trigonométrica y exponencial Definición (formas trigonométrica y exponencial) Si z = x + iy es un complejo distinto de 0 de módulo |z| y ϕ es un argumento cualquiera del mismo, entonces x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ y, por lo tanto, p z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ), |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z, expresión que se conoce como forma trigonométrica o polar del complejo z. Euler propuso usar para el complejo cos t + i sen t, t ∈ R, el sı́mbolo e it , es decir, e it := cos t + i sen t, t ∈ R, lo que permite reescribir la forma trigonométrica de un complejo z = 6 0 como p z = |z|e iϕ , |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z, expresión que se conoce como forma exponencial del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Formas trigonométrica y exponencial Definición (formas trigonométrica y exponencial) Si z = x + iy es un complejo distinto de 0 de módulo |z| y ϕ es un argumento cualquiera del mismo, entonces x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ y, por lo tanto, p z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ), |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z, expresión que se conoce como forma trigonométrica o polar del complejo z. Euler propuso usar para el complejo cos t + i sen t, t ∈ R, el sı́mbolo e it , es decir, e it := cos t + i sen t, t ∈ R, lo que permite reescribir la forma trigonométrica de un complejo z = 6 0 como p z = |z|e iϕ , |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z, expresión que se conoce como forma exponencial del complejo z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example Ası́, según el ejemplo 2, se tiene z=x <0 √ √ z = − 2 − 2i z = −3 + 4i ⇒ ⇒ ⇒ z = (−x)(cos π + i sen π) = (−x)e iπ , 3π ) + i sen(− 3π )) = 2e i(− 4 ) , z = 2(cos(− 3π 4 4 4 z = 5(cos(− arc tg 3 + π) + i sen(− arc tg 34 + π)) = = 5e i(− arc tg 4 +π) 3 , donde en todos los casos se ha tomado ϕ = arg z. El sı́mbolo de Euler e it verifica unas propiedades elementales que se usan frecuentemente y cuya demostración se propone (ejercicio). Teorema (propiedades del sı́mbolo de Euler) Tienen lugar las relaciones siguientes: 1. |e it | = 1, Arg e it = {t + 2kπ, k ∈ Z}; 3. e i(t+2kπ) = e it , k ∈ Z; −it it 2. e = e ; 4. e it1 e it2 = e i(t1 +t2 ) ; iπ −i π i0 iπ 2 2 5. e = 1, e = i, e = −i, e = −1, e i2π = 1; e it + e −it e it − e −it 6. cos t = , sen t = . 2 2i Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example Ası́, según el ejemplo 2, se tiene z=x <0 √ √ z = − 2 − 2i z = −3 + 4i ⇒ ⇒ ⇒ z = (−x)(cos π + i sen π) = (−x)e iπ , 3π ) + i sen(− 3π )) = 2e i(− 4 ) , z = 2(cos(− 3π 4 4 4 z = 5(cos(− arc tg 3 + π) + i sen(− arc tg 34 + π)) = = 5e i(− arc tg 4 +π) 3 , donde en todos los casos se ha tomado ϕ = arg z. El sı́mbolo de Euler e it verifica unas propiedades elementales que se usan frecuentemente y cuya demostración se propone (ejercicio). Teorema (propiedades del sı́mbolo de Euler) Tienen lugar las relaciones siguientes: 1. |e it | = 1, Arg e it = {t + 2kπ, k ∈ Z}; 3. e i(t+2kπ) = e it , k ∈ Z; −it it 2. e = e ; 4. e it1 e it2 = e i(t1 +t2 ) ; iπ −i π i0 iπ 2 2 5. e = 1, e = i, e = −i, e = −1, e i2π = 1; e it + e −it e it − e −it 6. cos t = , sen t = . 2 2i Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial Example [Aritmética en forma exponencial] (a) Sean z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 . Entonces, resulta inmediato que z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) , es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman o, en otras palabras, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 . Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y −π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial Example [Aritmética en forma exponencial] (a) Sean z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 . Entonces, resulta inmediato que z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) , es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman o, en otras palabras, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 . Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y −π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial Example [Aritmética en forma exponencial] (a) Sean z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 . Entonces, resulta inmediato que z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) , es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman o, en otras palabras, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 . Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y −π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades División en formas trigonométrica y exponencial (b) Análogamente, al dividir dos complejos z1 y z2 6= 0, sus módulos se dividen y sus argumentos se restan: ˛z ˛ “z ” |z1 | ˛ 1˛ 1 = Arg z1 − Arg z2 ; , Arg ˛ ˛= z2 |z2 | z2 en particular, para el inverso z −1 de un complejo z 6= 0 se tiene |z −1 | = |z|−1 , Arg z −1 = Arg 1 − Arg z = − Arg z, ya que Arg 1 − Arg z = {2mπ, m ∈ Z} − {arg z + 2nπ, n ∈ Z} = = {− arg z − 2kπ, k = n − m ∈ Z} = − Arg z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Potenciación y conjugación en formas trigonométrica y exponencial (c) Además, si z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ) = |z|e iϕ y n ∈ N, es inmediato comprobar aplicando inducción (ejercicio)que z n = |z|n (cos nϕ + i sen nϕ) = |z|n e inϕ ; este resultado se conoce como fórmula de Moivre. (d) Por último, si z es el conjugado de z = |z|e iϕ , es obvio que z = |z|e −iϕ , de modo que |z| = |z|, Arg z = − Arg z, salvo que z = x < 0 sea un real negativo, en cuyo caso z = z y, por eso, Arg z = Arg z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Potenciación y conjugación en formas trigonométrica y exponencial (c) Además, si z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ) = |z|e iϕ y n ∈ N, es inmediato comprobar aplicando inducción (ejercicio)que z n = |z|n (cos nϕ + i sen nϕ) = |z|n e inϕ ; este resultado se conoce como fórmula de Moivre. (d) Por último, si z es el conjugado de z = |z|e iϕ , es obvio que z = |z|e −iϕ , de modo que |z| = |z|, Arg z = − Arg z, salvo que z = x < 0 sea un real negativo, en cuyo caso z = z y, por eso, Arg z = Arg z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Aplicaciones de los anteriores resultados Example (Aplicaciones inmediatas) “ 1 + i √3 ”45 √ √ . 2−i 2 √ √ √ √ π π 7 1+i 3 √ = e i 12 π y, por lo Como 1 + i 3 = 2e i 3 y 2 − i 2 = 2e −i 4 , resulta que √ 2−i 2 tanto, 45·7 z = e i 12 π i( π = e 4 +13·2π) √ √ π 2 2 +i . = ei 4 = 2 2 (a) Calcular z = Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Aplicaciones de los anteriores resultados P (b) Calcular la suma nk=0 cos kx = 1 + cos x + . . . + cos nx, donde x ∈ R y x 6= 2kπ, Pes obvio que la suma es igual a n + 1). Sean P k ∈ Z (si x = 2kπ, Cn = nk=0 cos kx y Sn = nk=0 sen kx. Aplicando la notación de Euler y la fórmula de Moivre, se tiene Cn + iSn = n X (cos kx + i sen kx) = k=0 n X k=0 e ikx = n X ` e ix ´k , k=0 de modo que Cn + iSn es la suma de los n + 1 primeros términos de una progresión geométrica de primer término 1 y de razón q = e ix 6= 1, ya que x 6= 2kπ. Luego: Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades tenemos Cn + iSn = 1 − q n+1 1 − e i(n+1)x = . 1−q 1 − e ix n+1 Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y 1 el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ), se obtiene Cn + iSn = = ei n+1 x 2 ei sen 1x 2 · n+1 x 2 sen x2 ei n+1 x 2 1x 2 − e −i n+1 x 2 1x 2 n = ei 2 x · n+1 x 2 sen x2 sen − e −i x sen n+1 n 2 · cos 2 x + i · sen n2 x, sen x2 ei = de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta Cn = n X k=0 cos kx = n+1 x 2 sen x2 sen · cos n X sen n+1 x n n 2 · sen x. x y Sn = sen kx = x 2 sen 2 2 k=0 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades tenemos Cn + iSn = 1 − q n+1 1 − e i(n+1)x = . 1−q 1 − e ix n+1 Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y 1 el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ), se obtiene Cn + iSn = = ei n+1 x 2 ei sen 1x 2 · n+1 x 2 sen x2 ei n+1 x 2 1x 2 − e −i n+1 x 2 1x 2 n = ei 2 x · n+1 x 2 sen x2 sen − e −i x sen n+1 n 2 · cos 2 x + i · sen n2 x, sen x2 ei = de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta Cn = n X k=0 cos kx = n+1 x 2 sen x2 sen · cos n X sen n+1 x n n 2 · sen x. x y Sn = sen kx = x 2 sen 2 2 k=0 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades tenemos Cn + iSn = 1 − q n+1 1 − e i(n+1)x = . 1−q 1 − e ix n+1 Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y 1 el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ), se obtiene Cn + iSn = = ei n+1 x 2 ei sen 1x 2 · n+1 x 2 sen x2 ei n+1 x 2 1x 2 − e −i n+1 x 2 1x 2 n = ei 2 x · n+1 x 2 sen x2 sen − e −i x sen n+1 n 2 · cos 2 x + i · sen n2 x, sen x2 ei = de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta Cn = n X k=0 cos kx = n+1 x 2 sen x2 sen · cos n X sen n+1 x n n 2 · sen x. x y Sn = sen kx = x 2 sen 2 2 k=0 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Utilidad adicional del cálculo en C Operando en el cuerpo de los complejos, es posible obtener resultados en el cuerpo de los reales que, dentro de este último, pueden ser difı́ciles de comprobar. Además, puesto que los complejos tienen parte real y parte imaginaria, en muchos casos, junto al resultado buscado, se obtiene “gratis” un segundo resultado, como sucede en el anterior ejemplo. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (raı́z de un complejo) Si z, w ∈ C, n ∈ N y w n = z, se dice que w es una raı́z n-ésima de z. En R, sabemos que la raı́z es única y existe sólo para reales no negativos. En el caso complejo la situación es diferente. Teorema (raı́ces de un complejo) Cualquier complejo z = |z|e iϕ 6= 0 tiene exactamente n raı́ces n-ésimas diferentes p ϕ+2kπ w0 , w1 , . . . , wn−1 , dadas por wk = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1,, es decir w0 = p ϕ n |z| · e i n , wk = wk−1 · e i 2kπ n , k = 1, . . . , n − 1, p n donde |z| es la √habitual raı́z real n-ésima del real positivo |z|; el conjunto de estas raı́ces se indica n z, es decir, √ n z := {w0 , w1 , . . . , wn−1 } y se dice que w0 es el valor principal de la raı́z n-ésima de z, ya que las restantes 2π raı́ces se obtienen multiplicándolo sucesivamente por e i n . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Definición (raı́z de un complejo) Si z, w ∈ C, n ∈ N y w n = z, se dice que w es una raı́z n-ésima de z. En R, sabemos que la raı́z es única y existe sólo para reales no negativos. En el caso complejo la situación es diferente. Teorema (raı́ces de un complejo) Cualquier complejo z = |z|e iϕ 6= 0 tiene exactamente n raı́ces n-ésimas diferentes p ϕ+2kπ w0 , w1 , . . . , wn−1 , dadas por wk = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1,, es decir w0 = p ϕ n |z| · e i n , wk = wk−1 · e i 2kπ n , k = 1, . . . , n − 1, p n donde |z| es la √habitual raı́z real n-ésima del real positivo |z|; el conjunto de estas raı́ces se indica n z, es decir, √ n z := {w0 , w1 , . . . , wn−1 } y se dice que w0 es el valor principal de la raı́z n-ésima de z, ya que las restantes 2π raı́ces se obtienen multiplicándolo sucesivamente por e i n . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Demostración. En efecto, si se toma w = |w |e iθ y z = |z|e i(ϕ+2kπ) , k ∈ Z, aplicando la fórmula de Moivre, la expresión w n = z puede escribirse como |w |n e inθ = |z|e i(ϕ+2kπ) , de donde, igualando los módulos y los argumentos, resulta p |w | = n |z| y θ = ϕ+2kπ , k ∈ Z. n p ˘ ¯ ϕ+2kπ Luego, el conjunto wk = n |z|e i n , k ∈ Z comprende todas las raı́ces n-ésimas de z. Pero, es inmediato ver que wk = p ϕ+2kπ n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1, son elementos diferentes de este conjunto, que cualquier otro elemento del mismo coincide con uno de éstos y que w0 = p ϕ n |z| · e i n , wk = wk−1 · e i 2kπ n , k = 1, . . . , n − 1, es decir, las raı́ces w1 , . . . , wn−1 se obtienen multiplicando sucesivamente la raı́z w0 por e i 2π n . Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (raı́ces complejas) √ (a) Calcular n 1 . Como z = 1 es un complejo de módulo |z| = 1 y argumento principal ϕ = 0, se tiene √ n ˘p ¯ ϕ+2kπ z = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = 2(n−1)π ¯ ˘ i 2kπ ¯ ˘ 2π ; = e n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = 1; e i n ; . . . ; e i n √ en este caso, el valor principal de n 1 es w0 = 1 y los restantes valores se obtienen 2π multiplicando sucesivamente por e i n : w1 = w0 · e i Ası́, para n = 3, se tiene 2π n √ 3 = ei ˘ 2π n ; . . . ; wn−1 = wn−2 e i 1 = 1; e i 2π 3 ; e Robin Banerjee Fdez.–Bordas i 4π 3 ¯ = n 2π n = ei √ 2(n−1)π n . √ o 1 3 1 3 ; − −i 1; − + i . 2 2 2 2 Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (b) Calcular tiene √ n −1 . Como z = −1 es de módulo |z| = 1 y argumento principal ϕ = π, se √ n ˘p ¯ ϕ+2kπ z = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = (2k+1)π (2n−1)π ¯ ˘ i π+2kπ ¯ ˘ π 3π = e n = e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = e i n ; e i n ; . . . ; e i n . ˘ π √ 3π 5π 7π ¯ Por ejemplo, si n = 4, resulta que 4 −1 = e i 4 ; e i 4 ; e i 4 ; e i 4 y que el valor √ √ √ π 2 2 +i . principal de 4 −1 es e i 4 = 2 2 Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (c) √ n Comprobar que la suma de √ las raı́ces el ejemplo (a), las raı́ces n 1 son w0 = 1; w1 = e i 1 es igual a 1 y el producto, a (−1)n−1 . Según 2π n ; . . . ; wn−1 = e i 2(n−1)π n , o sea, forman los n primeros términos de una progresión geométrica que tiene 1 como 2π primer término y q = e i n 6= 1 como razón; por lo tanto, n−1 X k=0 ya que 1 − qn ` =1− e ´n i 2π n wk = n−1 X 1 − qn = 0, 1−q qk = k=0 = 1 − e i2π = 1 − 1 = 0. Por otro lado, w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i 2π (1+2+ n ... +(n−1)) ; pero, n−1 X k= k=1 n(n − 1) , 2 lo que puede comprobarse por inducción; luego, y, por lo tanto, w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i(n−1)π Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2π (1 + 2 + n` ´ iπ n−1 = e . . . + (n − 1)) = (n − 1)π = (−1)n−1 . Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (c) √ n Comprobar que la suma de √ las raı́ces el ejemplo (a), las raı́ces n 1 son w0 = 1; w1 = e i 1 es igual a 1 y el producto, a (−1)n−1 . Según 2π n ; . . . ; wn−1 = e i 2(n−1)π n , o sea, forman los n primeros términos de una progresión geométrica que tiene 1 como 2π primer término y q = e i n 6= 1 como razón; por lo tanto, n−1 X k=0 ya que 1 − qn ` =1− e ´n i 2π n wk = n−1 X 1 − qn = 0, 1−q qk = k=0 = 1 − e i2π = 1 − 1 = 0. Por otro lado, w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i 2π (1+2+ n ... +(n−1)) ; pero, n−1 X k= k=1 n(n − 1) , 2 lo que puede comprobarse por inducción; luego, y, por lo tanto, w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i(n−1)π Robin Banerjee Fdez.–Bordas 2π (1 + 2 + n` ´ iπ n−1 = e . . . + (n − 1)) = (n − 1)π = (−1)n−1 . Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Interpretación geométrica de las operaciones con suma Las operaciones con complejos admiten una clara interpretación geométrica si se identifica el complejo z = x + iy con el vector cuyo afijo es el punto de coordenadas cartesianas (x, y ). Ası́, Para las operaciones relacionadas con la Adición. La suma z1 + z2 de complejos es la suma de los correspondientes vectores (diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2 ) El opuesto de z, −z es el vector simétrico respecto al origen. La diferencia z1 − z2 es, entonces, el vector diferencia, que constituye “la otra diagonal” del paralelogramo que construye la suma. El conjugado z = x − iy de un complejo es su simétrico respecto al eje real. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Interpretación geométrica de las operaciones con producto Consideramos ahora los complejos expresados en forma exponencial, i.e. z = |z|e iϕ . Para las operaciones relacionadas con el producto. El producto z1 z2 es el vector de longitud |z1 ||z2 | y que está girado un ángulo ϕ2 , en torno al origen, con respecto a z1 . El resultado de dividir z1 por z2 es un vector de longitud |z1 ||z2 |−1 y girado un ángulo −ϕ2 , en torno al origen, con respecto a z1 . El inverso de z es el vector de longitud |z|−1 y simétrico respecto al eje real del vector correspondiente a z. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades operaciones aritméticas y geometrı́a. Ejemplos. (a) La adición a todos los z ∈ C de un mismo complejo z0 puede interpretarse geométricamente como la traslación del plano complejo C al nuevo origen z0 la multiplicación de todos los z ∈ C por un complejo z0 = |z0 | · e iϕ0 , cómo la homotecia de razón |z0 | respecto al origen, seguida de una rotación alrededor del origen de ángulo ϕ0 . π En particular, si los complejos z ∈ C se multiplican por z0 = i = e i 2 (o por π z0 = −i = e −i 2 ), esto corresponde a un giro del plano complejo alrededor del o origen de 90 en el sentido (respectivamente, en contra del sentido) de las agujas del reloj. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades (b) Sean x, y las coordenadas del punto M en el sistema rectangular xOy y x 0 , y 0 , sus coordenadas en otro sistema rectangular x 0 Oy 0 , obtenido del primero por un giro de ángulo ϕ alrededor del origen. Para encontrar la relación entre las coordenadas x, y y x 0 , y 0 se puede considerar que xOy y x 0 Oy 0 son dos planos complejos. Tomando OM = z = x + iy en el primero, y OM = z 0 = x 0 + iy 0 en el segundo y girando este último en −ϕ alrededor del origen hasta confundir ambos planos complejos, queda claro que z 0 = ze −iϕ , o sea, x 0 + iy 0 = (x + iy )(cos ϕ − i sen ϕ) = = (x cos ϕ + y sen ϕ) + i(−x sen ϕ + y cos ϕ), de donde resulta que x 0 = x cos ϕ + y sen ϕ, y 0 = −x sen ϕ + y cos ϕ (expresión de las coordenadas “nuevas” x 0 , y 0 mediante las “antiguas” x, y ). Por otro lado, (z 0 = ze −iϕ ) ⇒ (z = z 0 e iϕ ) y, por eso, = (x 0 + iy 0 )(cos ϕ + i sen ϕ) = = (x 0 cos ϕ − y 0 sen ϕ) + i(x 0 sen ϕ + y 0 cos ϕ), x + iy de donde se deduce que x = x 0 cos ϕ − y 0 sen ϕ, y = x 0 sen ϕ + y 0 cos ϕ (expresión de las coordenadas “antiguas” x, y mediante las “nuevas” x 0 , y 0 ). Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Radicación √ Si z = |z|e iϕ , entonces n z = {wk , k = 0, 1, . . . , n − 1}, dondep(teorema 4.1) todos los complejos wk , k = 0, 1, . . . , n − 1 tienen el mismo módulo n |z| y cada uno se 2π obtiene del anterior multiplicando por e i n . Ası́, para realizar la radicación geométricamente debe procederse de la forma siguiente: p n |z|, 1 Trazar con centro en el origen la circunferencia C de radio 2 determinar en la misma el valor principal w0 ∈ C (cuyo argumento dividiendo por n el argumento ϕ del complejo z) ϕ n 3 desplazándose por la circunferencia según arcos de medida angular sucesivamente los restantes valores w1 , w2 , . . . , wn−1 . 2π , n Robin Banerjee Fdez.–Bordas se obtiene obtener Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades A todo complejo z se han asociado tres números reales Re z, Im z y |z|, un conjunto de números reales, Arg z y un número complejo z. Estos elementos verifican las siguientes relaciones: Teorema (relaciones) z +z z −z 1. Re z = , Im z = ; 2 2i p 2. |z| = (Re z)2 + (Im z)2 ; 5. z · z = |z|2 3. | Re z| 6 |z|, | Im z| 6 |z|; 4. |z| = |z|; √ o bien |z| = z · z. Demostración. En efecto, 1 yp4 se comprueban directamente, y 2 es trivial. Por otro lado, 3 se debe a p que | Re z| = (Re z)2 6 (Re z)2 + (Im z)2 = |z|, y análogamente | Im z| 6 |z|. Por último, de z = |z|e iϕ y z = |z|e −iϕ resulta z · z = |z|2 , de modo que se cumple 5. Observemos que la relación 3 se refiere a desigualdades entre números reales y significa geométricamente que los catetos de un triángulo rectángulo no pueden ser mayores que su hipotenusa. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example Interpretar geométricamente el conjunto formado por los complejos z que verifican V (| Im z| < 1) (0 < Re z < 2). Claramente, a partir de las correspondientes desigualdades, es fácil ver que se trata de los puntos interiores del cuadrado de vértices 2 + i, i, −i, 2 − i. N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Teorema (propiedades del argumento) El argumento verifica las propiedades siguientes ` ´ Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 , Arg z1 · z2−1 = Arg z1 − Arg z2 , −1 Arg z = − Arg z. como se ha indicado anteriormente en el ejemplo 5. Example Interpretar geométricamente el conjunto formado por los complejos z que verifican ˛ ˛ ˛| arg z| − 7π ˛ 6 π . 8 8 Deshaciéndonos sucesivamente de los valores absolutos, ˛ `˛ ´ ` ˛| arg z| − 7π ˛ 6 π ⇔ − π 6 |argz| − 7π 6 8 8 8 8 ⇔ ` 3π 4 π 8 ´ ⇔ ` ´ W` 3π ´ 6 |argz| 6 π ⇔ −π < arg z 6 − 3π 6 arg z 6 π , 4 4 ´ queda claro que se trata del ángulo de amplitud semieje real negativo como bisectriz. Robin Banerjee Fdez.–Bordas π 2 con vértice en el origen y con el Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Teorema (propiedades del conjugado) El conjugado tiene las propiedades siguientes 1. (z ∈ R) ⇔ (z = z), 4. z1 + z2 = z1 + z2 , 2. z = z, 5. z1 · z2 = z1 · z2 , 7. z1 + . . . + zn = z1 + . . . + zn , 3. −z = −z, 6. z −1 = (z)−1 , 8. z1 · . . . · zn = z 1 · . . . · z n . Demostración. Las afirmaciones 1, 2, 3 y 4 se comprueban directamente. Por otro lado, si z1 = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |e iϕ2 , se verifica z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · e i(ϕ1 +ϕ2 ) y, por eso, z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · e −i(ϕ1 +ϕ2 ) = (|z1 | · e −iϕ1 ) · (|z2 | · e −iϕ2 ) = z 1 · z 2 , es decir, se cumple 5. Además, “ ” “ ” z −1 = z −1 · (z · (z)−1 ) = z −1 · z · (z)−1 = z −1 · z · (z)−1 = (z)−1 , de modo que z −1 = (z)−1 y, por lo tanto, es cierta 6. Finalmente, 7 y 8 se obtienen por inducción a partir de 4 y 5, respectivamente. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example Sean a0 , a1 , . . . , an ∈ R, z ∈ C y Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 un polinomio en C de grado n y de coeficientes reales. Entonces, si z0 ∈ C es una raı́z de Pn (z) (es decir, Pn (z0 ) = 0), también z0 será raı́z de Pn (z) (es decir, Pn (z0 ) = 0); en otras palabras, las raı́ces complejas de un polinomio de coeficientes reales forman pares conjugados. Pruébese a partir de las anteriores propiedades (ejercicio) Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos N Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Teorema (propiedades del módulo) Tienen lugar los resultados siguientes 1. |z| > 0; 2. |z| = 0 ⇔ z = 0; 3. |z ˛ 1 + z2 | 6˛ |z1 | + |z2 |; 4. ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 |; 5. |z1 + . . . + zn | 6 |z1 | + . . . + |zn |; 6. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; 7. |z1 · z2−1 | = |z1 | · |z2 |−1 ; 8. |z1 · . . . · zn | = |z1 | · . . . · |zn |. Demostración. Las afirmaciones 1 y 2 son triviales. Por otro lado, puesto que |z|2 = z · z, usando propiedades del conjugado, se tiene |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ; pero, para los reales Re z, | Re z| y |z| se cumple Re z 6 | Re z| 6 |z| y, por tanto, |z1 + z2 |2 6 |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 | · |z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 , de modo que |z1 + z2 |2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, o sea, se verifica 3. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Teorema (propiedades del módulo) Tienen lugar los resultados siguientes 1. |z| > 0; 2. |z| = 0 ⇔ z = 0; 3. |z ˛ 1 + z2 | 6˛ |z1 | + |z2 |; 4. ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 |; 5. |z1 + . . . + zn | 6 |z1 | + . . . + |zn |; 6. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; 7. |z1 · z2−1 | = |z1 | · |z2 |−1 ; 8. |z1 · . . . · zn | = |z1 | · . . . · |zn |. Demostración. Las afirmaciones 1 y 2 son triviales. Por otro lado, puesto que |z|2 = z · z, usando propiedades del conjugado, se tiene |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ; pero, para los reales Re z, | Re z| y |z| se cumple Re z 6 | Re z| 6 |z| y, por tanto, |z1 + z2 |2 6 |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 | · |z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 , de modo que |z1 + z2 |2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, o sea, se verifica 3. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Demostración (continuación). Análogamente, como para los reales |z| y Re z se verifica −|z| 6 −| Re z| 6 Re z, resulta que (|z1 | − |z2 |)2 = |z1 |2 − 2|z1 z2 | + |z2 |2 6 6 |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 , ˛ ˛ de modo que (|z1 | − |z2 |)2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 | y, por lo tanto, se cumple 4. Las propiedades 6 (módulo del producto es igual al producto de los módulos) y 7 (módulo del cociente es igual al cociente de los módulos) se han visto anteriormente en el ejemplo 5. En cuanto a las propiedades 5 y 8, se obtienen por inducción de 3 y 6, respectivamente. Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (a) Demostrar que ` ´ |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 e interpretar geométricamente este resultado. Demostración: (ejercicio). El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo. N (b) Comprobar geométricamente la desigualdad ˛ z ˛ ˛ ˛ − 1˛ 6 | arg z|. ˛ |z| En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad ˛ centrada en ˛ el origen. Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta, arco EM d ya que obviamente EM 6 EM. N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (a) Demostrar que ` ´ |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 e interpretar geométricamente este resultado. Demostración: (ejercicio). El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo. N (b) Comprobar geométricamente la desigualdad ˛ z ˛ ˛ ˛ − 1˛ 6 | arg z|. ˛ |z| En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad ˛ centrada en ˛ el origen. Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta, arco EM d ya que obviamente EM 6 EM. N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos Cuerpo de los números complejos Interpretación geométrica. Módulo y argumento Formas trigonométrica y exponencial Raı́z de un complejo Interpretación geométrica de las operaciones en C Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades Example (a) Demostrar que ` ´ |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 e interpretar geométricamente este resultado. Demostración: (ejercicio). El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo. N (b) Comprobar geométricamente la desigualdad ˛ z ˛ ˛ ˛ − 1˛ 6 | arg z|. ˛ |z| En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad ˛ centrada en ˛ el origen. Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta, arco EM d ya que obviamente EM 6 EM. N Robin Banerjee Fdez.–Bordas Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos