Tema 4. Formas bilineales y cuadráticas.

Tema 4:
FORMAS BILINEALES Y
CUADRÁTICAS
Prof. Rafael López Camino
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
Universidad de Granada
Material docente para el alumno
Asignatura: Geometrı́a I. Curso 2003/04
Licenciatura: Matemáticas (Plan 2000)
Universidad de Granada
Universidad de Granada. Licenciatura de Matemáticas.
Asignatura: Geometrı́a I. Prof: Rafael López Camino
1. Se consideran las formas lineales de R3 dadas por α(x, y, z) = 2x + y + z
y β(x, y, z) = −x − y + 2z. Hallar la matriz respecto de la base B =
{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de las formas bilineales T (u, v) = α(u)β(v) y S(u, v) =
β(u)α(v).
2. Se consideran las siguientes étricas de r 3 , expresadas su matriz respecto de la
base B del ejercicio anterior:


1 0 1


a)  0 0 0 
1 0 0


1 1 1


b)  1 0 1 
1 1 2


1 0 1


c)  0 1 0  .
1 0 0
Hallar una base del radical y una base conjungada de cada una de ellas y
clasificarlas. Hallar también el cono de luz.
3. Se considera la forma bilineal de R2 dada por T ((x, y), (x, y )) = −2xy + 3yy .
Hallar la expresión matricial de T respecto de la base B = {(1, 2), (1, 3)}.
4. Se considera la métrica de R3 , g((x, y, z), (x, y , z )) = xx − xz − zx + 2yy −
yz − zy + zz . Se considera el subespacio U =< (1, 1, 1) >. Hallar una base
de U ⊥ . Clasificar la métrica, hallando una base conjugada.
5. En el espacio P2 [X] de los polinomios de grado 2, se considera la forma bilineal


1 −1 −1


MB (T ) =  −1 2 −1  ,
−1 −1 6
donde B = {1, 1 + X, X + X 2 }. Probar que es una métrica definida positiva
y calcular la expresión matricial respecto de la base usual.
6. Probar que la métrica asociada a la forma bilineal de R2 dada por φ(x, y) =
3x2 −xy + y 2 es definida positiva y deducir que la única solución de la ecuación
3x2 − xy + y 2 = 0 es la trivial.
7. Hallar las soluciones de la ecuación x2 + 4xy + 5y 2 + 2yz + z 2 = 0.
2
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Universidad de Granada. Licenciatura de Matemáticas.
Asignatura: Geometrı́a I. Prof: Rafael López Camino
8. Clasificar según los valores de λ la familia de formas cuadráticas ϕλ de R3
dadas por ϕλ (x, y, z) = λx2 + 2λxy + z 2 + 2yz. Calcular una base conjugada
para ϕλ .
9. Dadas las matrices
A=
1 2
2 1
,
B=
−3 −1
−1, 2
,
encontrar una matriz regular P tal que A = P t BP .
10. Estudiar si son o no congruentes las siguientes matrices:
A=
2 1
1 5
,
B=
1 1
1, 2
.
11. Clasificar las siguientes métricas de R3 :



−1 1
1


a)  1 −1 1 
1
1 −1


2 1
1


d)  1 0 −1 
1 −1 0

1 0
0


b)  0 −1 −1 
0 −1 −1


1 0 1


e)  0 0 0 
1 0 1


1 1 1


c)  1 1 1 
1 1 1


1 0
1


f )  0 −1 −1 
1 −1 0
Se prohibe cualquier reproducción sin permiso del autor


−1 −1 0


g)  −1 −2 −1 
0 −1 −1
3