Resumen de las distribuciones

Probabilidades y Estadística (C)
Funciones de probabilidad puntual (pX ) o densidad densidad (fX ), esperanzas, varianzas y
funciones generadoras (MX ) de las variables aleatorias más frecuentes
I. Distribuciones discretas
Distribución Binomial Bi(n, p)
µ ¶
n k
p (1 − p)n−k
pX (k) =
k
E (X) = np
var (X) = np(1 − p),
k = 0, 1, . . . , n y 0 < p < 1
MX (t) = [pet + (1 − p)]n
Un caso particular de la distribución binomial es cuando n = 1. Esta distribución suele denominarse
Bernoulli de parámetro p, Be (p) = Bi (1, p) .
Distribución Geométrica Ge(p)
si k = 1, 2, . . . y 0 < p < 1
pX (k) = p (1 − p)k−1
1
E (X) =
p
p et
1−p
, MX =
var (X) =
2
p
1 − (1 − p) et
Distribución Binomial Negativa (o de Pascal) BN (r, p)
µ
¶
k−1 r
p (1 − p)k−r
k = r, r + 1, . . . y 0 < p < 1
pX (k) =
r−1
r
E (X) =
p
¶r
µ
r(1 − p)
p et
var (X) =
, MX =
p2
1 − (1 − p) et
La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa: Ge(p) =
BN (1, p).
Distribución Poisson P(λ)
λk −λ
e
k!
E (X) = λ
pX (k) =
var (X) = λ,
si k = 0, 1, 2, . . . y λ > 0
t −1
MX (t) = eλ(e
)
Distribución Hipergeométrica H (N, B, m)
N : total poblacional
B : cantidad de “buenos” en la población
m : cantidad de elementos extraídos (tamaño de la muestra)
µ ¶µ
¶
B
N −B
k
m−k
µ ¶
si k es entero con max(B + m − N, 0) ≤ k ≤ min (B, m)
pX (k) =
N
m
B
E (X) = m
N
B (N − B) (N − m)
var (X) = m
N
N
(N − 1)
1
II. Distribuciones continuas
Distribución Normal N(μ, σ 2 )
(x−μ)2
1
e− 2σ2
fX (x) = √
σ 2π
E (X) = μ
con σ > o
var (X) = σ 2
MX (t) = e
σ 2 t2
+μt
2
Distribución Gamma Γ (α, λ)
λα α−1 −λx
x
e
I(0,+∞) (x)
Γ (α)
α
E (X) =
λ
α
var (X) = 2
λ
¶α
µ
λ
MX (t) =
I(−∞,λ) (t)
λ−t
fX (x) =
con λ > 0, α > 0
Recordemos que el símbolo Γ (α) representa a la función gamma que se define por
Z ∞
Γ (y) =
xy−1 e−x dx
si y > 0
0
Satisface las siguientes propiedades:
Γ (1) = 1
Γ (α) = (α − 1) Γ (α − 1)
Γ (n) = (n − 1)!
√
Γ (1/2) = π
para n = 1, 2, 3, ...
La distribución χ2n (chi cuadrado n) es un caso particular de la distribución gamma, χ2n = Γ
Distribución Exponencial Exp(λ)
fX (x) = λe−λx I(0,+∞) (x)
1
E (X) =
λ
1
var (X) = 2
λ
λ
I
MX (t) =
(t)
λ − t (−∞,λ)
¡n
1
2, 2
con λ > 0
La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma: Exp(λ) = Γ (1, λ) .
Distribución Uniforme U [a, b]
1
(x)
I
b − a [a,b]
a+b
E (X) =
2
(b − a)2
var (X) =
12
etb − eta
MX (t) =
t (b − a)
f (x) =
2
¢
.