Enunciados

ESTADÍSTICA APLICADA
Primer Curso del Grado en Bioquı́mica (2015-2016)
Tema 4: INTERVALOS DE CONFIANZA
4.1. Consideremos los datos 168Perros.txt del problema 3.8. Supongamos que el logaritmo de
la alanina aminotransferasa, log(ALT), sigue una distribución normal. Calcular un intervalo de confianza al 95 % para la media y la varianza de esta distribución.
4.2.
Los loci de un marcador genético pueden ser más o menos polimórficos dependiendo del
número de alelos y de sus frecuencias poblacionales. El nivel de polimorfismo de un marcador se
puede medir mediante la proporción de individuos de la población que son heterocigóticos para ese
marcador. En otras palabras, la probabilidad de que un individuo elegido al azar sea heterocigótico
se utiliza como medida del grado de polimorfismo.
Supongamos que un investigador encuentra un nuevo polimorfismo de ADN. Se toma una muestra
de 50 individuos para medir la heterocigosidad para el marcador correspondiente en la población.
Las frecuencias genotı́picas aparecen en la siguiente tabla:
Genotipo
Frecuencia absoluta
1/1
2
1/2
23
1/3
2
2/2
13
2/3
9
3/3
1
Determina un estimador puntual y un intervalo de confianza al 95 % para la proporción real p de
individuos heterocigóticos. ¿Qué tamaño muestral n habrı́a que haber tomado si hubiéramos querido
estimar p con un error menor que 0.1 al nivel de confianza del 95 %?
4.3. Con el fin de realizar un estudio en un grupo grande de pacientes con tensión baja, se tomaron las tensiones sanguı́neas de una muestra aleatoria de 10 pacientes hipotensos, obteniéndose las
siguientes mediciones:
10 10,5 11 10,7 10,8 12 11,5 9,1 11,3 9,9.
Suponiendo una distribución normal de las tensiones en la población de hipotensos observada, hallar
los intervalos de confianza al nivel de confianza del 90 %
a) para la media µ;
b) para la varianza σ 2 de esta población.
4.4. Consideremos los datos del problema 1.4 sobre los niveles de SHBG en un grupo de mujeres
con poco acné y en otro grupo de mujeres con acné severo . Supongamos que el nivel de SHBG en
cada uno de los grupos sigue una distribución normal, es decir, X = “nivel de SHBG en mujeres con
poco acné” ∼ N(µ1 , σ1 ) e Y = “nivel de SHBG en mujeres con acné severo” ∼ N(µ2 , σ2 ) .
a) Calcular estimaciones de las medias µi y de las varianzas σi2 .
b) Calcular un intervalo de confianza para el cociente de varianzas σ12 /σ22 al nivel de confianza 0,90.
¿Es razonable suponer que σ1 = σ2 ?
c) A nivel de confianza 1 − α = 0, 95, calcular un intervalo de confianza para la diferencia de las
medias, µ1 − µ2 , primero suponiendo que σ1 = σ2 y luego suponiendo que las varianzas puedan ser
diferentes. En base al intervalo de confianza obtenido, determinar si hay diferencias entre los niveles
de SHBG de ambos grupos.
d) Representar los datos de los dos grupos por separado en sendos histogramas. ¿Es razonable la
hipótesis de normalidad?
4.5. Los siguientes datos proporcionan la recuperación de bromuro adicionado a muestras con
contenido vegetal, medido mediante un método cromatográfico gas-lı́quido. La cantidad de bromuro
potásico añadido a cada hortaliza fue la misma.
1
Tomate
Pepino
777
782
790
773
759
778
790
765
770
789
758
797
764
782
µg g−1
µg g−1
(Fuente: Roughan, J.A., Roughan, P.A. y Wilkins, J.P.G. 1983, Analyst, 108, 742.)
a) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que las varianzas en
las dos poblaciones de hortalizas son iguales. ¿Que hipótesis se están utilizando implı́citamente para
poder obtener el intervalo?
b) Determinar si la hipótesis de igualdad de varianzas es razonable.
c) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, si las varianzas en las dos poblaciones
de tomates y pepinos son posiblemente distintas. Comparar el intervalo con el obtenido en (a).
4.6.
La beta-endorfina humana (BEH) es una hormona segregada por la glándula pituitaria bajo
condiciones de estrés. Un investigador realizó un estudio para investigar si un programa de ejercicio
regular podrı́a afectar a las concentraciones en reposo (sin estrés) de BEH en la sangre. Midió los
niveles de BEH en sangre, en enero y de nuevo en mayo, de 10 participantes en un programa de
ejercicio fı́sico. Los resultados fueron
Participante
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Enero
42
47
37
9
33
70
54
27
41
18
Mayo
22
29
9
9
26
36
38
32
33
14
Construir un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de medias poblacionales de niveles de
BEH entre enero y mayo. ¿Existe evidencia de que los niveles de BEH son menores en mayo que en
enero?
4.7.
Según un ensayo fiable, el contenido de ATP (trifosfato de adenosina) de un cierto tipo de
célula es 111 µmol/100 mL. Al diseñar un nuevo ensayo se obtuvieron los siguientes valores en análisis
replicados: 117, 119, 111, 115, 120 µmol/100 mL (promedio = 116,4). ¿Se puede tener una confianza
del 95 % de que ese resultado difiere del valor “conocido”? Especificar las hipótesis que se emplean
en la solución del problema. (Fuente: Harris, D. C., 2006, Análisis quı́mico cuantitativo)
4.8.
En un estudio acerca de la relación entre el colesterol y los infartos1 , en 28 pacientes infartados
se midieron los niveles de colesterol (en mg/dL) dos, cuatro y catorce dı́as tras el ataque al corazón.
Además, se midió el nivel de colesterol en un grupo de control de 30 personas que no habı́an sufrido
infartos. Los datos están en el fichero cholestg.txt:
Variable
patient
group
day
cholest
Descripción
Número de individuo
1= Infartado, 2 = control
Número de dı́as desde el ataque al corazón
Nivel de colesterol
Resumimos la información muestral básica con R:
1
Fuente de los datos: Ryan, B. F., Joiner, B. L., and Ryan Jr, T. A. (1985). Minitab Handbook Second Edition.
Duxbury Press.
2
Datos = read.table("cholestg.txt",header=TRUE) # Cargamos los datos
Grupo = Datos$group # Datos con indicador de infartados (1), no infartados (2)
Infarto = Grupo==1 # Indice de infartados
# Separo la tabla de datos en dos tablas (infartados y sanos):
DatosInfarto = Datos[Infarto,]
DatosSanos = Datos[!Infarto,]
Dia = DatosInfarto$day # Dias pasados tras el infarto
InfartoDia2 = Dia==2 # Indice de medidas el dia 2 tras el infarto
InfartoDia4 = Dia==4 # Indice de medidas el dia 4 tras el infarto
ColesterolDia2 = DatosInfarto$cholest[InfartoDia2] # Colesterol dia 2 tras infarto
ColesterolDia4 = DatosInfarto$cholest[InfartoDia4] # Colesterol dia 4 tras infarto
ColesterolSanos = DatosSanos$cholest # Colesterol en individuos sanos
mediaI2 = mean(ColesterolDia2) # Nivel medio de colesterol dia 2 tras infarto
mediaI4 = mean(ColesterolDia4) # Nivel medio de colesterol dia 4 tras infarto
mediaS = mean(ColesterolSanos) # Nivel medio de colesterol en no infartados
s2I2 = var(ColesterolDia2) # Cuasivar de colesterol dia 2 tras infarto
s2I4 = var(ColesterolDia4) # Cuasivar de colesterol dia 4 tras infarto
s2S = var(ColesterolSanos) # Cuasivar de colesterol en no infartados
Para los apartados a), b) y c), suponemos normalidad del nivel de colesterol en individuos sanos y
en individuos infartados (para cualquiera de los dı́as analizados).
a) Calcula un intervalo de confianza para los cocientes de las varianzas del colesterol el dı́a 4 en
infartados y en individuos sanos. ¿Se puede suponer homocedasticidad?
b) Calcula un intervalo de confianza para la diferencia de medias del colesterol el dı́a 4 en infartados
y en individuos sanos. ¿Hay diferencias entre ambas poblaciones?
c) Determina un intervalo de confianza para el nivel esperado y la varianza del nivel de colesterol
en individuos sanos.
d) ¿Te parece razonable la hipótesis de normalidad? Razona tu respuesta.
e) Ahora queremos comparar los niveles de colesterol a 2 y 4 dı́as del infarto. Calcula un intervalo de
confianza para la diferencia de niveles medios de colesterol entre ambos dı́as. Indica las suposiciones
previas para resolver este apartado.
3