Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores

Menores y cofactores.
Expansión del determinante por cofactores
Objetivos. Definir menores y cofactores de una matriz, demostrar la fórmula de expansión
por cofactores.
Requisitos. Definición y propiedades básicas del determinante de una matriz cuadrada.
Menores y cofactores
1. Motivación del concepto de cofactor. El determinante de tercer orden se puede
escribir como una combinación lineal de los elementos de la primera fila, y los coeficientes
correspondientes son determinantes de segundo orden con ciertos signos:


A1,1 A1,2 A1,3
det  A2,1 A2,2 A2,3 
A3,1 A3,2 A3,3
= A1,1 (A2,2 A3,3 − A2,3 A3,2 ) − A1,2 (A2,1 A3,3 − A2,3 A3,1 ) + A1,3 (A2,1 A3,2 − A2,2 A3,1 )
A2,2 A2,3 A2,1 A2,3 A2,1 A3,2 .
+ A1,2 − = A1,1 + A1,3 A3,2 A3,3 A3,1 A3,3 A3,1 A3,2 Vemos que det(A) se puede expandir en una suma de productos: las entradas de la primera
fila se multiplican por ciertos cofactores. Vamos a establecer una fórmula similar para el
caso general.
2. Definición (menor de una matriz). Sea A ∈ Mm,n (F), 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ m,
1 ≤ j1 < j2 < . . . < jr ≤ n. El menor de rango r de la matriz A, correspondiente a las
filas i1 , . . . , ir y las columnas j1 , . . . , jr , se define comoel determinante de la submatriz
i1 i2 . . . ir
A{i1 ,...,ir },{j1 ,...,jr } y se denota por MA
.
j1 j2 . . . jr
3. Ejemplo. Sea


3 −4
1 0
2 −1 3  .
A= 7
2
3
1 4
−4 1 1 3
= −7.
Entonces MA
= 2 3
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4. Definición (cofactor). Sean A ∈ Mn (F), p, q ∈ {1, . . . , n}. El cofactor (o el adjunto)
de la entrada (p, q) de la matriz A se define como el menor correspondiente a las filas
{1, . . . , n} \ {p} y las columnas {1, . . . , n} \ {q}, multiplicado por (−1)p+q . Lo denotamos
bp,q :
por A
1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n
p+q
b
Ap,q := (−1) MA
.
1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n
Recordamos que MA
es el determinante de la matriz obte1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
nida al eliminar la fila p y la columna q de A, ası́ que
bp,q = (−1)p+q det A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q} .
A
5. Ejemplo. Sea


−3 4
2
5 .
A= 1 0
7 3 −1
Entonces
b2,3 = det
A
−3 4
7 3
= −37.
6. Nota sobre la notación. En muchos libros la (i, j)-ésima entrada de la matriz A se
denota por ai,j y su cofactor se denota por Ai,j . En estos apuntos usamos la notación Ai,j
para la (i, j)-ésima entrada de A y por eso introducimos otra notación (no estándar) para
los cofactores.
7. Observación muy importante: el cofactor de la entrada (i, j) no depende del
valor de la entrada A. Por definición, el cofactor de la entrada (i, j) se calcula usando
las entradas de A ubicadas en las filas {1, . . . , n} \ {p} y en las columnas {1, . . . , n} \ {n}.
Esto implica que el cofactor no depende del valor de la entrada (i, j). Más aún, el
cofactor de la entrada (i, j) no depende de la i-ésima fila ni de la j-ésima columna de A.
Por ejemplo, las siguientes dos matrices A y B tienen el mismo cofactor (1, 3):




4 −2
6
−7 −9 5
7
8
b
b
= −36.
8 −5  , B =  7
8 0  , A1,3 = B1,3 = A= 7
1 −4 1 −4 −1
1 −4 6
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8. Lema (determinante de una matriz con la primera fila casi nula). Sean A ∈
Mn (F), q ∈ {1, . . . , n}. Supongamos que a1,q = 0 para todo k ∈ {1, . . . , n}\{q}. Entonces
b1,q .
det(A) = A1,q A
Demostración. Usando q − 1 transposiciones de columnas, desplacemos el elemento (1, q)
a la posición (1, 1). Formalmente, consideremos la matriz B que se obtiene de A al aplicar
las operaciones elementales:
Cq ↔ Cq−1 ,
Cq−1 ↔ Cq−2 ,
...
C2 ↔ C1 .
,
Entonces
B∗,1 = A∗,q ,
B∗,k = A∗,k−1 cuando k ≤ q;
B∗,k = A∗,k cuando k > q.
Como sabemos,
2 ... n
2 ... n
2, . . . , n
{1, . . . , n} \ q
det(B) = B1,1 · MB
.
De aquı́
q−1
det(A) = (−1)
A1,q · MA
b1,q .
= A1,q · A
9. Lema (determinante de una matriz con una fila casi nula). Sean A ∈ Mn (F),
p, q ∈ {1, . . . , n}. Supongamos que ap,k = 0 para todo k ∈ {1, . . . , n} \ {q}. Entonces
bp,q .
det(A) = Ap,q A
Demostración. Usando p − 1 transposiciones de filas y q − 1 transposiciones de columnas,
desplacemos el elemento (p, q) a la posición (1, q). Formalmente, consideremos la matriz
B que se obtiene de A al aplicar las operaciones elementales:
Rp ↔ Rp−1 ,
Rp−1 ↔ Rp−2 ,
...
,
R2 ↔ R1 .
Entonces
B1,∗ = Ap,∗ ;
Bk,∗ = Ak−1,∗ cuando k ≤ p;
Bk,∗ = Ak,∗ cuand k > p.
A la matriz B apliquemos el lema anterior:
det(B) = B1,q (−1)
q−1
MB
2, . . . , n
{1, . . . , n} \ {q}
.
Usando que det(A) = (−1)p−1 det(B), tenemos:
{1, . . . , n} \ {p}
p+q−2
bp,q .
det(A) = Ap,q (−1)
MA
= Ap,q A
{1, . . . , n} \ {q}
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10. Teorema (expansión del determinante por cofactores). Sean A ∈ Mn (F),
p ∈ {1, . . . , n}. Entonces:
n
X
bp,k ;
det(A) =
Ap,k A
(1)
k=1
det(A) =
n
X
bk,p .
Ak,p A
(2)
k=1
11. Nota. La fórmula (1) se llama expansión del determinante por cofactores a lo largo
del p-ésimo renglón. La fórmula (2) se llama expansión del determinante por cofactores a
lo largo de la q-ésima columna.
Demostración. Podemos escribir la p-ésima fila de A en forma
n
X
Ap,∗ =
Ap,k ek .
k=1
Usemos la linealidad del determinante con respecto a la p-ésima fila:
n
X
Det(A1,∗ , . . . , Ap−1,∗ , Ap,k ek , Ap+1,∗ , . . . , An,∗ ).
det(A) =
k=1
A cada sumando apliquemos el lema anterior:
n
X
bp,k .
Ap,k A
det(A) =
k=1
12. Ejemplo. Calcule el siguiente determinante al expanderlo en la segunda fila; en la
segunda columna:


3 −2
1
1 −2  .
det  5
4
2
3
13. Ejemplo. Calcule los determinantes usando las operaciones elementales y la expansión en filas o columnas casi nulas:




2
0
0 −2
−2
0
3
 2
5 −1
0 


2 −4
5 ,
det
det 
 −3 −3 −2 −3  .
2
1 −2
4
4
4
5
14. Ejercicio. Calcule los determinantes usando varios métodos:



1 4
1 2
5 −3
2
 −4 3
2 1
4 −2  ,
det  4
det 
 2 2 −2 0
−2
3
2
1 4
2 0


.

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