Problemas resueltos de exámenes

2.- Hallar, si existe, el límite siguiente:
lim
( x ,y ) → 0,0
(
)
a1 − cos xyfsenx .
x 2 + y2
Mediante infinitésimos equivalentes el límite equivale a:
lim
( x ,y ) → 0,0
(
dx
)
2 2
i
y 2 x
x 2 + y2
. Y ahora
pasando a coordenadas polares se tiene:
lim
ρ→0
ρ 4 cos 2 α sen 2 αρ cos α
ρ 3 cos 3 α sen 2 α = 0 .
= lim
2
ρ
2ρ
→0

_______________________________________________________________________
3.- Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el origen de:
xy

 sen x 2 + y 2 , si ( x, y ) ≠ (0, 0)
f ( x, y ) = 
(
)

0, si ( x, y ) = (0, 0)

Solución:
La función no es continua en el origen como puede comprobarse, tras usar infinitésimos
equivalente, porque los límites direccionales dependen de la dirección:
xy
xy
xy
mx 2
m
≈ 2
; lim 2
=
lim 2
=
2
2
2
2
2
2
0
0
x
→
x
→
x +y
x (1 + m ) 1 + m
sen ( x + y ) x + y
y = mx
y por tanto la función no es diferenciable en el origen. Para hallar las derivadas parciales en el
origen, mediante la definición, se obtiene fácilmente que ambas son cero.
O
4.- Estudiar en el origen y en función de los valores del parámetro k ( k > 0 ) la continuidad
y la existencia de derivadas parciales de la función:
 ( xy )k

f ( x, y ) =  x 2 + y 2

 0
si ( x, y ) ≠ (0, 0)
si ( x, y ) = (0, 0)
Para estudiar la continuidad empleamos la expresión en polares del límite:
r 2 k ( cos α sen α )
lim f ( x, y ) = lim
. Para que sea continua el límite anterior ha de ser
r →0
( x , y )→( 0,0 )
r2
igual a 0, y por tanto k ≥ 1 .
k
Para hallar la derivada parcial respecto de x en el origen utilizamos la definición:
0
f ( h, 0 ) − f ( 0, 0 )
df
h 0 . Y lo mismo ocurre para la otra derivada
= lim
=
0, 0 ) lim
(=
h →0
t →0 h
dx
h
parcial.
O
6.- Estudiar en el origen la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad de la función:
 x− y

f ( x, y ) =  x 2 + y 2

0

si ( x, y ) ≠ (0, 0)
si ( x, y ) = (0, 0)
La función no es continua en el origen como puede comprobarse porque los límites
reiterados no son iguales:
lim lim
x →0 y →0
x− y
x2 + y 2
= lim
x →0
x
x2
= 1; lim lim
y →0 x →0
x− y
x2 + y 2
= lim
y →0
−y
y2
= −1
y por tanto no es diferenciable en el origen. Para hallar las derivadas direccionales en el
origen utilizamos la definición de derivada direccional:
t cos α − t sen α
f ( tv ) − f ( 0, 0 )
cos α − sen α
t2
=
Dv f ( 0, 0 ) lim
= lim
=
lim
t →0
t
t
→
→
0
0
t
t
t
Que no existe.
O
7.- Estudiar la existencia de derivadas parciales y la diferenciabilidad en el origen de la
función:
 x+ y

f ( x, y ) =  x 2 + y 2

0

si ( x, y ) ≠ (0, 0)
si ( x, y ) = (0, 0)
Por definición de derivadas parciales en un punto, resulta:
h+0
1
δf
h2 + 0
que no existe. Del mismo modo, tampoco existe
=
=
( 0, 0 ) hlim
lim
→0
h →0 h
h
δx
la otra derivada parcial en el origen. Por tanto la función no puede ser diferenciable
en el origen.
En la siguiente función se pide estudiar la continuidad en el origen, la existencia de
derivadas parciales en el origen y la diferenciabilidad en el origen: