Comparación con los teoremas de Mohr Ejercicio n º 1: estructura

Ejercicio n º 1: estructura de un nudo (Cross)
El nudo (B) es fijo por esta unido a dos fijos.
Nº ecuaciones en el equilibrio general= 3. Nº incógnitas = 3 x empotramiento = 6, el
grado hiperestático es por tanto 3.
ETAPA I : M.E.P.
factores de reparto.
Comparación con los teoremas
deyMohr
3 2
K1 = 1 EI
→ r1 = .5147
Nudo B: K2 = 0,943 EI → r2 = .4853
___________
________
Σ Kj = 1,943EI
Σ rj = 1
ETAPA II : Equilibrio de nudos. Se liberan los nudos uno a uno, se equilibra y transmite
en su caso.
Se comienza por el nudo más desequilibrado.
Cuando se han equilibrado una vez todos los nudos de la estructura, concluye el primer
ciclo.
Se puede interrumpir el proceso de aproximación cuando a un nudo regresa un
momento inferior al 10% de su primer desequilibrio.
Se realizan usualmente dos ciclos como máximo en una estructura simple.
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
1
Ejemplo nº 1: estructura de un nudo (matricial)
Nº ecuaciones en el equilibrio general= 3. Nº incógnitas = 3 x empotramiento = 6,
el grado hiperestático es por tanto 3. (Método de las fuerzas).
P = 10 t
A
ab
Ma
B
B
n
Mb
2IPN 300
bc
3 2
2I
3 m.
PN
0
30
Mc
C
4 m.
A
3 m.
P = 10 t
Todos los nudos giran en sentido positivo:
B
B+
B+
3 m.
C
4 m.
3 m.
Paso 1/ Momentos en extremo de barra:
P = 10 t
B
A
B
B+
=
Mb = K2 *
B
B+
P = 10 t
B
A
+M a = -5 mt
_
+
+M b = + 5 mt
_
A
C
Mc = 1/2 * K2 *
B
B
B+
Ma = 1/2 * K1*
B
Mb = K1*
B
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
2
Ejemplo nº 1: estructura de un nudo (método matricial)
Paso 2º: Momentos en extremo de barra:
P = 10 t
B
A
B
Mb = K2 *
B+
=
B
B+
P = 10 t
B
A
+
+M a = -5 mt
_
C
+M b = + 5 mt
_
A
Mc = 1/2 * K2 *
B
B
B+
Ma = 1/2 * K1*
Mb = K1*
B
B
Paso 2º/ Equilibrio de momentos en los nudos:
+5 + ( K1 * α B ) + ( K 2 * α B ) = 0
Ecuación en la que conocidos K1 y K2 puede despejarse “αB”
( K1 + K 2 ) *(α B ) = −5
Para formularlo con generalidad, separaremos:
1/
Σ de rigideces de las barras que concurren en cada nudo: “Matriz de rigidez al giro”.
2/ Vector de giros de los nudos: “Vector incógnitas en nudos”.
3/ Vector de carga en los nudos: “Vector de carga” = Σ Momentos acción en los nudos.
Los momentos que calculamos son los momentos reacción en extremo de barra, al pasar
al nudo (segundo miembro matemáticamente) implica el cambio de signo
Matriz rigidez
ΣMB = 0
K1 + K2
Vector cargas nudos
Vector ?
*
αB
=
– 5 mt
Paso 3º/ Cálculo del vector de incógnitas (giro de nudos) En este caso particular:
4 ⎞
⎛
1
+
⎜
⎟ *(α B ) = −5 → α B = −2,573593 / EI
⎝ 3 2⎠
α B = −2,573593*107 / 2.1*106 * 2*9800 = 0, 00062rad = −0º 2′9′′
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
3
Ejemplo nº 1: estructura de un nudo (método matricial)
Paso 2º: Momentos en extremo de barra:
P = 10 t
B
A
B
Mb = K2 *
B+
=
B
B+
P = 10 t
B
A
+M a = -5 mt
_
+
C
+M b = + 5 mt
_
A
Mc = 1/2 * K2 *
B
B
B+
Ma = 1/2 * K1*
B
Mb = K1*
B
Paso 4º/ Momentos definitivos en extremo de barra:
δ⎞
⎛
Ma = ± M a + K ⎜ α a + β * α b + 1,5 ⎟
L⎠
⎝
•
δ⎞
⎛
Mb = ± M b + K ⎜ α b + β * α a + 1,5 ⎟
L⎠
⎝
•
Condiciones de contorno:
αA = 0
αC = 0
δ=0
En este caso particular:
1
⎛
⎞
M 1 A = −5 + 1* ⎜ 0 + * −2,5736 ⎟ = −6, 286mt
2
⎝
⎠
1 ⎞
⎛
M 1B = +5 + 1* ⎜ −2,5736 + *0 ⎟ = +2, 426mt
2 ⎠
⎝
1 ⎞
4 ⎛
M 2 B = +0 +
* ⎜ −2,5736 + *0 ⎟ = −2, 426mt
2 ⎠
3 2 ⎝
1
4 ⎛
⎞
M 2C = +0 +
* ⎜ 0 + * −2,5736 ⎟ = −1, 213mt
2
3 2 ⎝
⎠
Paso 5º/ Diagramas de barra a escala y acotados:
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
4
Ejemplo nº 1. Diagramas
-6,287 mt
-4,36 mt
1º/
-2,423 mt
(P*L)/ 4 =10 mt
_
M.F.
-2,423 mt
_
Dibujar momentos extremo de barra y
_
A
Descolgar isostático.
+
1+5,64 mt
+
5,97 t
1,212 mt
C
2º/
↑5t
+
↓ 0,97
↑ 4,03
A
V.
0,86 t
Equilibrio de fuerzas cortantes en barras.
↑5t
_
↑ 5,97
+
↑ 0,97
-4,03 t
C
-5,24 t
C
3º/
-6,55 t
N.
0,86 t
A
-6,55 t
C
Equilibrio de fuerzas en nudos.
4,03 t
C
-5,24 t
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
5