Deducción de las ecuaciones de Lagrange

Universidad Simón Bolı́var
7.
Introducción al MEF
Apendices
7.1.
Deducción de las ecuaciones de Lagrange
Las ecuaciones de Lagrange son una formulación de las leyes del movimiento de
un sistema material en función de los conceptos de energı́a y trabajo.
Coordenadas generalizadas (qj ) Son n parámetros geométricos independientes
q1 , . . . , qn que describen perfectamente la posición de cualquier punto de un
sistema material de n grados de libertad. En consecuencia, la posición y el
desplazamiento de un punto cualquiera del sistema dependen, en general, de
las n coordenadas generalizadas, i.e.:
xi = xi (q1(t) , . . . , qn(t) )
ui = ui (q1(t) , . . . , qn(t) )
Desplazamiento virtual (δq) Es un desplazamiento infinitesimal, instantáneo e
imaginario de la enésima coordenada generalizada de un sistema material
que respeta las limitaciones impuestas por los vı́nculos. Ası́ el desplazamiento
virtual del punto i, se obtiene como:
n
X ∂ui
∂ui
∂ui
δq1 + · · · +
δqn =
δqj
δui =
∂q1
∂qn
∂q
j
j=1
En base a la definición anterior podemos expresar la velocidad del punto i
como:
n
dui
∂ui dq1
∂ui dqn X ∂ui
u̇i =
q̇j
=
+ ··· +
=
dt
∂q1 dt
∂qn dt
∂q
j
j=1
Trabajo virtual (δW ) es el trabajo producido por las fuerzas que actúan sobre un
sistema material cuando sobre éste se impone un sistema de desplazamientos
virtuales.
δW fi = (δui )T fi
7.1.1.
Deducción a partir de las leyes de Newton
El trabajo virtual realizado sobre una partı́cula i del sistema material estudiado,
lo podemos escribir de la siguiente forma:
δWi = (δui )T fi = (δui )T mi üi
Euro Casanova, 2005
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Introducción al MEF
y sumando para las p partı́culas del sistema e introduciendo la expresión de δui
tenemos:
δW =
p
X
δWi =
p
X
T
(δui ) fi =
p
X
(δui )T mi üi
i=1
" n µ i=1
p
X X ∂ui
i=1
" n µ
#
¶T # X
p
X ∂ui ¶T
=
δqj
fi =
δqj
mi üi
∂q
∂q
j
j
i=1 j=1
i=1 j=1
"
#
" p µ
#
¶T
¶T
p µ
n
n
X
X
X
X
∂ui
∂ui
=
δqj
fi =
δqj
mi üi
∂q
∂q
j
j
j=1
i=1
j=1
i=1
Definiendo la fuerza generalizada asociada a la coordenada qj como:
Qj =
¶T
p µ
X
∂ui
∂qj
i=1
fi
Se puede escribir la siguiente expresión:
δW =
n
X
δqj Qj =
j=1
n
X
δqj
" p µ
X ∂ui ¶T
i=1
j=1
∂qj
#
mi üi
La energı́a cinética del sistema tiene la siguiente expresión:
T =
p
X
1
i=1
2
mi u̇Ti u̇i
Derivando esta expresión parcialmente respecto a la coordenada qj se obtiene:
p
X
∂ u̇i
∂T
mi u̇Ti
=
∂qj
∂qj
i=1
Por otro lado, derivando la energı́a cinética respecto a la coordenada q̇j se
obtiene:
p
p
X
X
∂T
∂
u̇
∂ui
i
=
mi u̇Ti
=
mi u̇Ti
∂ q̇j
∂ q̇j
∂qj
i=1
i=1
donde la última igualdad se verifica gracias a la ley de cancelación de los puntos
δ u̇i
δui
δ q̇k = δqk .
Euro Casanova, 2005
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Sı́ se deriva la última expresión respecto al tiempo se obtiene:
d
dt
µ
∂T
∂ q̇j
¶
·
¶¸
∂ui
=
mi
∂qj
i=1
·
µ
¶¸
p
X
dui
T ∂ui
T ∂
=
mi üi
+ u̇i
∂q
∂qj dt
j
i=1
p
X
=
p
X
du̇Ti ∂ui
d
+ u̇Ti
dt ∂qj
dt
µ
p
mi üTi
i=1
∂ u̇i
∂ui X
mi u̇Ti
+
∂qj
∂qj
i=1
Ahora, reconociendo que el término de la expresión del trabajo virtual realizado
por las fuerzas inerciales se puede escribir en función de las derivadas de T , i.e.:
" p
#
· µ
¶
¸
n
n
X
X
X
∂u
d
∂T
∂T
i
δW =
δqj
mi üTi
=
δqj
−
∂q
dt
∂
q̇
∂qj
j
j
j=1
i=1
j=1
se obtiene entonces:
δW =
n
X
δqj Qj =
j
n
X
·
δqj
j=1
d
dt
µ
∂T
∂ q̇j
¶
∂T
−
∂qj
¸
Puesto que los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas (δqj )
son independientes entre sı́, entonces existen n ecuaciones de la forma:
µ
¶
d ∂T
∂T
Qj =
−
dt ∂ q˙j
∂qj
En cuanto a las fuerzas generalizadas, escribiendo de nuevo la expresión para
δW obtengo:
" p
#
p
n
n
X
X
X ∂uT
X
i
δW =
δqj Qj =
δqj
fi =
(δui )T fi
∂qj
j=1
j=1
i=1
i=1
Las fuerzas que actúan sobre el sistema las dividimos en:
C(E)
Qj = Qj
C(I)
+ Qj
Cvisc.
C
+ QN
+ QN
j
j
C(E)
En el caso de las fuerzas conservativas externas Qj
C(E)
Qj
Euro Casanova, 2005
, tenemos:
∂ ³ T C(E) ´
∂
∂uTi C(E)
fi
ui fi
W C(E)
=
=
=
∂qj
∂qj
∂qj
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C(I)
En el caso de las fuerzas generalizadas conservativas internas Qj , éstas son
producidas por fuerzas que pueden ser expresadas como el gradiente de una función
escalar, i.e. f C(I) = −∇U , donde U es la energı́a potencial, ası́ tenemos:
C(I)
Qj
∂uTi C(I) ∂uTi
=
f
(−∇U )
∂qj i
∂qj
∂uT ∂U
∂U
=− i
=−
∂qj ∂ui
∂qj
=
En el caso de la las fuerzas no conservativas producidas por la disipación viscosa
Cvisc.
lineal QN
:
j
∂D
Cvisc.
QN
=−
j
∂ q̇j
donde D es la función de disipación.
Finalmente, definiendo la energı́a potencial total como:
Π = U − W C(E)
las expresiones que se utilizan y que se conocen como las Ecuaciones de Lagrange
tienen la siguiente forma:
µ
¶
d
∂T
∂Π ∂D
∂T
C
=
QN
+
+
j = 1, . . . , n
−
j
dt ∂ q̇j
∂qj ∂qj ∂ q̇j
Notese que para el caso estático (i.e. T = D = 0) las Ecuaciones de Lagrange
se reducen a:
∂Π
=0
j = 1, . . . , n
∂qj
de donde es claro que las posiciones de equilibrio estático corresponden a las
configuraciones donde la energı́a potencial total (Π) es máxima o mı́nima. Ası́,
diferentes tipos de equilibrio estáticos pueden ser definidos dependiendo de sı́ la
función energı́a potencial total tiene un máximo (equilibrio inestable), un mı́nimo
(equilibrio estable), un punto de inflexión (equilibrio inestable) o es constante
(equilibrio indiferente).
Euro Casanova, 2005
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