E. Óptica Geométrica

ÓPTICA GEOMÉTRICA
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ÓPTICA GEOMÉTRICA
Generalidades
La óptica geométrica es una técnica que se basa en el modelo corpuscular de Newton, que reconoce que la luz se comporta como un fluido
formado por corpúsculos luminosos de tamaño despreciable frente a
la de los objetos involucrados en los fenómenos estudiados1. Esos
corpúsculos portadores del efecto luminoso, brotan de las fuentes siguiendo trayectorias rectas hasta que interactúan con la materia con las mismas
leyes de la mecánica que las partículas materiales.
Así la reflexión es equivalente a un choque elástico de las partículas
contra una superficie (sin pérdida de energía), la absorción equivale a un
choque inelástico con la materia (con pérdida de energía), la transmisión
equivale a la penetración en el medio, que puede ocurrir con o sin refracción (cambio de dirección en la trayectoria por efecto del medio) y con o
sin absorción (dependiendo de la transparencia del medio).
Para la mayoría de las aplicaciones de óptica importa saber trazar la marcha de estas trayectorias, llamadas rayos, desde la fuente a la imagen.
La fuente de los rayos es en general un objeto iluminado o con luz propia
desde donde se comienza el estudio de la trayectoria, y la imagen es el
lugar donde se reúnen los rayos en algún punto de su camino, (imagen
real) , o el lugar desde donde parecen provenir (imagen virtual).
Reversibilidad de los caminos ópticos
Al igual que para partículas materiales, las trayectorias que siguen los rayos luminosos pueden estudiarse prescindiendo de su sentido, es decir
que la trayectoria es la misma si la luz va o viene2. Por esta razón se dice
que los caminos ópticos son reversibles, y serán los mismos si permuta1
Si los objetos son muy pequeños, por ejemplo del orden del micrometro, comienzan a aparecer fenómenos explicables con la teoría ondulatoria de la luz a través de los modelos conocidos como “óptica física”
2
En el estudio del movimiento de partículas, la variable tiempo, de la que dependen las sucesivas posiciones de las partículas, puede variarse en ambos sentidos fin que por eso varíe la
forma de la trayectoria. No todos los procesos admiten este principio de reversibilidad en el
estudio de sus evoluciones. Las evoluciones de sistemas reales en general exigen que se los
estudie con un sentido único de avance en la variable tiempo (Ver el capítulo de Termodinámica).
55
ÓPTICA GEOMÉTRICA
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mos el origen de los rayos (la fuente o el objeto) por su destino (generalmente una imagen real).
REFLEXIÓN DE LA LUZ
Así como una bola de billar
en su carrera rectilínea rebota
sobre la banda lisa de la mesa, la luz se refleja en superficies pulidas3, siguiendo las
siguientes dos leyes:
O
P
Q
Q’
I
P’
Objeto O e imagen I en un espejo plano
Representación en el plano de reflexión Σ
1. El rayo incidente I, la normal n al plano de reflexión Π en el punto de
incidencia P y el rayo reflejado R, los tres están en un mismo plano S
2. El ángulo α que forma la normal n con el rayo incidente I (ángulo de
incidencia) es igual al que forma la normal n con el rayo reflejado R
(ángulo de reflexión).
Estas dos leyes permiten predecir el camino de los rayos en la reflexión de
la luz.
Espejos planos
Si la superficie reflectora es un plano, por reflexión de un objeto se obtiene
una imagen virtual y simétrica con respecto al espejo. Por ejemplo, en la
figura se ve que el rayo reflejado R que sale de la fuente F, parece provenir desde un punto F’ detrás del espejo. Ese punto F’ se llama “imagen de
la fuente F” , y para el observador se comporta como otra fuente que está
“del otro lado del espejo”. Es una imagen virtual porque no es accesible al
observador. Veremos luego que en otro tipo de espejos y en ciertas condi-
3
Superficies pulidas significa que poseen irregularidades menores que el tamaño de las partículas luminosas. Considerando que el tamaño de las partículas luminosas de Newton tienen
que ver con la longitud de onda de la radiación correspondiente, se puede hablar de ¼ de la
longitud de onda de la radiación de la que se trate. Por ejemplo, para reflejar el amarillo
-6
(λ=0,59x10 m), se necesitará un pulimento que deje irregularidades del orden de 1/8 de micrón
56
ÓPTICA GEOMÉTRICA
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ciones se producen imágenes del lado del observador, las que por ser
accesibles4 se llaman “imágenes reales”.
Para el estudio de la marcha de los rayos generalmente se trabaja sobre el
plano de reflexión Σ como plano de dibujo. En la figura, los extremos del
lápiz P y Q tienen imágenes P’ y Q’ que limitan la imagen virtual del lápiz.
Cada punto del objeto lápiz tiene un correspondiente punto imagen, cuyo
conjunto forma una imagen virtual completa del lápiz.
Reflexión en espejos planos
que forman un ángulo diedro
F
n
I
α
α
R
Se forman varias imágenes, por reflexiones sucesivas. En algunos libros figura la siguiente fórmula para hallar la
cantidad N de imágenes de un objeto
cuando el ángulo que forman los espejos es α(º):
F’
( )
N = INT {(360/α
360/α) - 1} 5
Por ejemplo, en la figura se ve que dos
espejos planos perpendiculares muestran
N=(360/90-1)=3 imágenes, además del propio objeto.
No siempre se cumple exactamente esta fórmula. Invitamos al lector a investigar sobre la validez de la misma.
Aplicación de propiedades de espejos planos colocados en ángulo:
La escuadra de agrimensor
Cualquier rayo reflejado sucesivamente en dos espejos planos a 45º forma siempre un ángulo de 90º con el incidente.
4
Se pueden recoger proyectadas sobre una pantalla.
La función INT(x) , muy usada en los lenguajes de programación, significa la parte entera de
x
5
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ÓPTICA GEOMÉTRICA
α
58
Demostración:
En la figura, por estar
los espejos a 45º, sus
normales también lo
B
γ
están y entonces,
considerando el triánD
gulo ABC es:
C
α+β = 45º
Considerando ahora
el triángulo ABD es
A
γ=180º-2(α+β)=90º ,
β
que vale para cualquier valor del ángulo de incidencia del rayo sobre el primer espejo
La propiedad enunciada se aplica para definir ángulos rectos sobre un terreno plano horizontal mediante un sistema de espejos a 45º dispuestos sobre un
armazón y sostenidos mediante un mango. Este aparato se llama “escuadra de
reflexión” o “escuadra óptica de agrimensor”
Cómo se procede:
El observador sostiene el aparato con el
mango en posición vertical (siguiendo la
plomada) y observa detrás del aparato el
poste rojo de referencia.
plomada
El ayudante, sosteniendo verticalmente un poste verde, se va moviendo
poste rojo fijo
siguiendo las indicaciones
espejo Nº2
del observador hasta que
ayudante con éste tiene un panorama coposte verde
mo el de la figura: Ve directamente el poste rojo
sobre y debajo del conjunto
de espejos. Al mismo tiem45º
90º
po ve la imagen del poste
verde y al ayudante que lo
sostiene por reflejo en los
espejo Nº 1
dos espejos, como se indica
observador
en la figura de la derecha.
58
ÓPTICA GEOMÉTRICA
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Le indica al ayudante que se vaya desplazando hasta que la imagen del
poste verde se ubica en línea vertical con el poste rojo.
En esas condiciones el poste rojo, la prolongación de la plomada y el poste
verde determinan sobre el terreno dos segmentos que están en ángulo
recto.
Nótese que aunque se rote el conjunto de los dos espejos con el mango
como eje vertical, siempre se mantienen perpendiculares los rayos incidente y reflejado, es decir γ=90º
Reflexión en superficies de forma cualquiera
Sea una superficie continua de forma cualquiera y una fuente puntual P: se
pueden trazar los rayos reflejados considerando que la superficie está formada por mosaicos planos muy pequeños, sobre los que incide y se refleja
un solo rayo. Las normales en el punto de incidencia se indican en rojo
punteado. Así se ve que de un punto P se pueden obtener varias imágenes P’(virtual), P”(real). También puede ser que las imágenes no conserven la forma de los objetos o incluso no haya imágenes en absoluto.
Espejos esféricos de pequeña curvatura
Resulta particularmente útil y relativamente sencillo el estudio de la reflexión de la luz desde el punto de vista de la óptica geométrica en superficies esféricas internas (cóncavas) o externas (convexas). El trazado de la
marcha de los rayos está completamente definido en el caso de espejos
esféricos de pequeña curvatura, ya sea cóncavos o convexos. Un espejo
esférico de pequeña curvatura posee como superficie reflectora un casquete esférico de pequeño radio r comparado con el radio R de la esfera
que lo genera. Para fijar ideas numéricamente , un espejo es de pequeña
curvatura cuando el radio de curvatura de la esfera es por lo menos siete
veces el radio del espejo, es decir si R/r ≥ 7
Con esta limitación es más fácil el estudio de la reflexión porque así valen
ciertas simplificaciones que expondremos en seguida.
Espejos cóncavos
Se definen en un espejo esférico cóncavo (ver figuras)
•
•
•
El radio R de la esfera generadora del espejo.
El centro B de la superficie reflectora circular de radio r, generada por una
esfera de radio R=AO=BO
El eje principal, que es la normal al espejo que pasa por el centro B. Como
toda normal pasa por el centro de la esfera O
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ÓPTICA GEOMÉTRICA
60
r
r
R=7r
R
GRAN CURVATURA
PEQUEÑA CURVATURA
•
•
La profundidad del “plato” a (flecha correspondiente al arco de círculo que representa al espejo en el dibujo)
La distancia focal FB , cuyo concepto explicaremos en seguida.
Un rayo incidente paralelo al eje principal se refleja en un punto A del espejo formando un ángulo ω con la normal. El rayo reflejado forma con la
normal otro ángulo del mismo valor ω y corta al eje principal en un punto F.
En el triángulo isósceles AFO es AF=FO. Podemos imaginarnos el dibujo
correspondiente a un espejo de muy pequeña curvatura, en el que el ángulo ω tienda a un valor casi nulo. En tal caso el segmento AF se recuesta
sobre BF y ambos tienden a superponerse. De tal manera es AF≈
≈ BF , con
lo que BF≈
≈FO
Foco principal. Distancia focal:
Podemos decir entonces que en un espejo de pequeña curvatura, el punto
F donde se cortan con el eje los rayos reflejados que inciden paralelos al
eje principal, divide al radio
plano focal
de curvatura en dos partes
prácticamente iguales. Ese
punto F que equidista del
foco principal
espejo y del centro O se
llama foco principal del
O
espejo. La distancia f=FB
del foco principal al espejo
foco secundario
se llama “distancia focal”.
distancia focal
60
¿Qué error se comete en un espejo
cóncavo
al
aproximar
BF=AF?. Veamos: La profundidad
del cuenco del espejo es a, tal
2
2
2
2
que (R-a) + r = R , es decir R 2 2
2
2aR+a +r =R de donde
ÓPTICA GEOMÉTRICA
a2-2Ra+r2=0 De esta ecuación
61
de segundo grado en a se deduce que a1,2=R±
± (R -r ) .
2 2 1/2
De las dos soluciones elegimos la menor o sea a1=R-(R -r ) , que corresponde al casquete
6
esférico, o sea el espejo .
2
2 1/2
1/2
Si R/r=7 es a =7.r-(48) .r = 0,072 r , o sea que la profundidad del “plato” es del orden del 7%
de su radio. El ángulo ω es tal que sen(ω)=r/R o sea que
ω = arc sen(1/7) = 8,213º
Además es 2.AF.cos(ω
ω )=R de donde AF=R/cos(ω
ω )/2=R/cos(8,213º/2) = R/1,9795 = 0,5052.R
Por otra parte es BF+FO=R pero como FO=AF es
BF=R-AF=0,4948.R , es decir que el error cometido al suponer que AF=BF es de 0,005 en
0,5 (1%)
Focos secundarios. Plano focal
Los rayos reflejados en un espejo esférico cóncavo de pequeña curvatura
que provengan de un haz de rayos paralelos que formen un cierto ángulo
con el eje principal, se cortan en un punto llamado foco secundario. Los
diferentes focos secundarios correspondientes a haces de diferente inclinación están todos sobre un plano. Dicho plano es perpendicular al eje
principal y por supuesto pasa por el foco principal. Se lo llama “plano focal”. Sobre el plano focal se forman las imágenes de objetos muy alejados
del espejo, como veremos a continuación.
Espejos de gran curvatura - Aberración de esfericidad:
En la medida de que un espejo se aleje
de la condición de pequeña curvatura
(R>=7r), se producirá con más notoriedad un efecto conocido como aberración de esfericidad: Los rayos reflejados
de un haz paralelo no concurren todos
a un mismo punto, sino que los que inciden en la periferia se cortan con el eje
ABERRACIÓN DE ESFERICIDAD
óptico más cerca del espejo que los
centrales, formando cerca de lo que
sería el foco en un espejo de pequeña curvatura, una superficie puntiaguda llamada “cáustica”7.
cáustica
6
La otra solución corresponde a la profundidad del resto de la esfera, es decir a2= 2R-a1
Cáustico (del griego χαυστικε) significa quemante. Si colocamos un papel en la zona de
formación de la cásutica de un espejo cóncavo de gran curvatura colocado al sol, dejará una
marca quemada en él con la forma de la “cáustica”.
7
61
ÓPTICA GEOMÉTRICA
62
Carácter, tamaño y posición de las imágenes en espejos
esféricos de pequeña curvatura:
Refiriéndonos a la figura, vemos que de un punto cualquiera de los tres
objetos, (se toma el extremo superior de los mismos) se conoce con certeza el recorrido de cuatro rayos. Con dos de ellos basta para determinar el
punto imagen.
Esos rayos son:
1. el que va al centro O de la esfera, que se refleja simétricamente con
respecto al eje principal del espejo
2. el que pasa por el centro C del espejo, que se refleja sobre si mismo
3. el que pasa por el foco F, que se refleja paralelo al eje principal
4. el que incide paralelo al eje principal, que se refleja pasando por el foco
F
Los objetos son los números derechos y con color cargado, y sus respectivas imágenes son los números de color diluido. Se reconoce de la figura
O
C
virtual
real
F
real
que:
1. Un objeto (número 1) colocado más allá del centro de la esfera da una
imagen real de menor tamaño e invertida, entre el foco y el centro.
2. En virtud del principio de reversibilidad de los caminos ópticos, es superfluo hacer el dibujo con el número 2, porque sabemos que invirtiendo objeto por imagen del número 1 , el camino de los rayos no cambia.
Pero de todas maneras, la figura muestra a un objeto (número 2) colocado entre centro O y foco F , que da una imagen real de mayor tamaño e invertida más allá del centro (entre el centro y el infinito). Esa imagen es tanto más grande y tanto más lejana cuánto mas cerca del foco
esté el objeto.
3. Un objeto (número 3) colocado entre el espejo y el foco da una imagen
virtual (detrás del espejo), de mayor tamaño y derecha, tanto más grande y tanto más lejana cuánto más cercano al foco esté el objeto.
62
ÓPTICA GEOMÉTRICA
63
Generalización del estudio de la formación de imágenes
en espejos cóncavos esféricos de pequeña curvatura Mapping
Acabamos de ver cómo los espejos cóncavos esféricos de pequeña curvatura pueden dar dos tipos de imágenes de objetos, según que éstos estén entre el espejo y el foco, o entre el foco y el infinito. En el primer caso
dan imágenes virtuales, del otro lado del espejo. Las imágenes virtuales
son derechas y de mayor tamaño que el objeto. En el caso de que el objeto se encuentre más allá del foco, las imágenes correspondientes son
reales e invertidas. Mayores que el objeto cuando éste se encuentra entre
el foco y el centro de curvatura y menores cuando el objeto está entre el
centro y el infinito.
En todos los casos los espejos esféricos cóncavos de pequeña curvatura
transforman la geometría del espacio objeto en espacio imagen8 con las
siguientes propiedades:
a) Las rectas del espacio objeto siguen siendo rectas en el espacio imagen (sea esta real o virtual)
b) Los ángulos no se conservan. Por ejemplo en la figura un ángulo recto
del cuadrado objeto pasa a ser un ángulo agudo u obtuso del romboide
imagen. Sin embargo las rectas perpendiculares al eje principal se
mantienen con esa misma propiedad a través de la transformación. Las
8
En los medios de habla inglesa se llama “mapping” a la transformación de un espacio en
otro.
63
ÓPTICA GEOMÉTRICA
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rectas paralelas al eje principal se transforman en rectas que pasan por
el foco y viceversa.
c) Las dimensiones no se conservan: pueden ser mayores o menores,
según ya se dijo. La escala de los objetos varía, como a través de una
perspectiva
Nótese que en las figuras anteriores se ha dibujado el espejo cóncavo como si fuera un espejo plano. Con este artificio estamos admitiendo de que
su curvatura es despreciable respecto a sus dimensiones y no tenemos
que preocuparnos por dibujarlo con la curvatura verdadera que nos daría
el centro O (según la línea de raya-punto): En la medida de que el espejo
tenga una curvatura apreciable en el dibujo, no pasarán por el foco los rayos reflejados de los que son paralelos al eje principal. (Origen de las líneas cáusticas . Ver aberración de esfericidad)
A
A’
O
C
F
B’
B
Transformación producida por un espejo convexo
Espejos convexos:
Un espejo esférico convexo está formado por un casquete esférico con
su cara convexa reflectora.
Se define en un espejo convexo:
1. El centro del espejo C
2. El centro de curvatura O de la esfera que lo genera, de radio OC
3. El foco F (virtual), que es el lugar de donde parecen provenir los rayos
reflejados de un haz incidente paralelo al eje principal.
4. La distancia focal CF
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ÓPTICA GEOMÉTRICA
65
Con idéntico razonamiento al empleado para los espejos cóncavos, se demuestra
que el foco está aproximadamente en la mitad del segmento OC. Es entonces
OF≈FC
La imagen de objetos formada por espejos esféricos convexos de pequeña curvatura es siempre virtual, y está entre el espejo y el foco F(que también es virtual). En
el dibujo se ve un damero y su imagen. De un punto A se logra la imagen A’ trazando dos cualesquiera de los siguientes rayos:
1.
2.
3.
4.
El rayo que sale de A hacia el espejo paralelo al eje principal se refleja como si
proviniera del foco F
El rayo que sale de A hacia el centro del espejo C , que se refleja formando un
ángulo igual al de incidencia, simétricamente al eje principal. La prolongación
del rayo reflejado corta al rayo del punto a) en A’ (imagen virtual de A)
Un rayo de dirección AF (no dibujado) que se refleja paralelo al eje principal.
Su prolongación corta a cualquiera de las prolongaciones de los otros en A’
Un rayo AO, que por estar en dirección al centro O se refleja sobre si mismo.
Su prolongación determina el punto A’ al cortar la prolongación de cualquiera
de los otros rayos.
Como se ve en la figura, en los espejos convexos el espacio de los objetos se
transforma mediante una perspectiva de escasa profundidad en un espacio
imagen virtual entre espejo y foco. Se conservan en la transformación las
rectas y la perpendicularidad al eje principal9.
Fórmulas de los espejos esféricos: Sean y e y’ los tamaños de objeto e
imagen, y sean x y x’ sus respectivas distancias al espejo, tratándose de
espejos cóncavos. Se verifica por semejanza de triángulos ABC y DEC
que:
y’/y=x’/x
{1}
o sea que el tamaño de la imagen
es proporcional a la distancia a la
B
que se forma.
G
Además, por semejanza entre
x
y
triángulos GCF y EDF resulta
F
D
O
GC/DE=FC/FD . Pero CF=f ,
C
A
GC=y , DE=y’ , FD=x’-f , y entonf
ces podemos poner la anterior
y’
x’
relación así:
y/y’=f/(x’-f)
E
{2}
9
Los espejos convexos usados como retrovisores dan una visión engañosa del camino, de
exagerada perspectiva y poca profundidad. Un vehículo puede estar relativamente cerca por
detrás y nos parece muy lejos, por ser su imagen muy pequeña. En espejos retroscópicos
conviene usar los planos o convexos de muy escasa curvatura.
65
ÓPTICA GEOMÉTRICA
De {1} y {2} sale f=(x/x’).(x’-f)=(xx’-fx)/x’ , de donde
f(x’+x)=xx’
{3}
La {3} suele ponerse en la siguiente forma:
66
1 1 1
= +
f x x'
Esta expresión se debe a Descartes y se conoce bajo el nombre de fórmula de los focos conjugados.
Aplicaciones
Ejemplo 1: ¿A qué distancia x’ de un espejo cóncavo de f = 0,5 m se forma la
imagen de mi cara, que mide y=0,25m, si miro el espejo colocado frente a él a
x=0,3 m de distancia? ¿De qué tamaño y’ me veo?
Solución:
1/x’=1/f-1/x=(1/0,5)-(1/0,3)=-1,333 de donde x’=-0,75
El valor negativo de x´ debe interpretarse de acuerdo a la figura de la que se dedujo la fórmula de Descartes. En ella se toma como positivas las distancias medidas delante del espejo,
o sea que una distancia negativa significa que la imagen se forma detrás del espejo (virtual).
Veamos ahora el tamaño y posición bajo el cual me veo: y’=y.x’/x=0,25x(0,75)/0,3=-0,625
El signo negativo significa imagen derecha (igual posición que el objeto), ya que en
la deducción de la fórmula habíamos tomado y’ positivo con imagen invertida.
Respuesta: me veo a
una distancia d=xx’=0,3+0,75=1,05 m ,
con un tamaño de
0,625 m y derecho. El
ángulo bajo el cual
β
α
veo mi cara será a tal
que
tg(α
α)=y’/d=0,625/1,05
=0,595 , de donde
α=30,76º
Si hubiera usado un
espejo plano, me hubiera visto a 0,6m de
distancia (más cerca)
con un tamaño de 0,25m , y vería mi cara bajo un ángulo β =arc tg{(0,25/0,6)} =
22,6º
66
ÓPTICA GEOMÉTRICA
67
Ejemplo 2: Se dispone de un telescopio (ver aparatos ópticos) cuyo espejo cóncavo tiene una distancia focal f=3 m . Se desea fotografiar el sol, para lo cual se
coloca un filtro muy oscuro en la marcha de los rayos. La imagen del sol se forma
prácticamente en el plano focal del espejo. Allí se coloca una película fotográfica
adecuada durante el tiempo necesario para obtener una impresión de esa imagen.
Se da como dato que la tierra dista del sol 110 veces el diámetro solar D. ¿De
qué tamaño es la fotografía del sol?
Solución: Que la imagen del sol se forma en el foco no hay duda, ya que 1/x’=1/f1/x , y la distancia x del telescopio al sol es tan grande que 1/x resulta un valor
despreciable frente a 1/x’10. Así podemos poner 1/f≈
≈1/x’ de donde x’≈
≈f
También, de acuerdo a lo dicho es x=110.D , y=D , y’/y=x’/x de donde
y’=D.f/(110.D)=f/110
Respuesta: La imagen obtenida es un disco de f/110 = 3/110 = 0,0273 m , o sea
27 mm. La foto llena casi completamente una diapositiva de 35 mm. Se puede emplear un proyector de imágenes (ver aparatos ópticos) y observarla amplificada en
una pantalla.
Espejos parabólicos
β
Una parábola que gira alrededor de su
β
P
y
eje genera una superficie llamada “parap/2
boloide”. Un espejo cóncavo en forma de
α
paraboloide cumple exactamente, cualquiera sea su abertura, sin ningún tipo de
aberración de esfericidad, lo que los esβ
2β
pejos cóncavos esféricos aproximan en
x
F
la medida de que sean de pequeña curvatura, a saber: que los rayos que inciPropiedades de los espejos parabólicos
den paralelamente al eje principal se
y2=2px
reflejan pasando por un mismo punto F
(foco).
Esto se debe a una propiedad geométrica de
la parábola, que desarrollaremos a continuación para los que deseen saber algo más.
2
Aplicación de los espejos parabólicos a
los faros de automóviles
luz
baja
La ecuación de la parábola de la figura es y =2px
Sea un punto P de la curva, de coordenadas x,y
Diferenciando la ecuación es 2y.dy=2p.dx , de donde dy/dx=p/y , pero por la propiedad geométrica de
la derivada es tg(β
β )=p/y
Ahora bien, de acuerdo a la figura, la recta de pendiente 2β
β que pasa por P deberá cortar al eje x en
un punto F cuya abscisa xF no debe depender de
luz alta
10
Otra manera de ver las cosas: los rayos del sol llegan paralelos a la tierra, en cuyo caso, la
imagen se forma en el foco.
67
ÓPTICA GEOMÉTRICA
68
variable alguna, si es que es un punto fijo. Veremos si es cierto:
De acuerdo a la figura debe ser:
y/(x-xF)=tg(2β
β ) de donde (x-xF)=y/tg(2β
β ) y entonces
2
xF = x-y/tg(2β
β ) = y /2p-y/tg(2β
β)
(1)
Pero sabemos por trigonometría que tg(2β
β )=2.tg(β
β )/(1-tg (β
β )) y como tg(β)=p/y nos queda
2 2
2 2
tg(2β
β )=2p/y/(1-p /y )=2py/(y -p )
(2)
Reemplazando (2) en (1) resulta:
2
2
2 2
xF = y /2p-(y/tg(2β
β ) = y /2p-(y -p )/2p = p/2
Es decir que la distancia del foco al vértice de la parábola es igual a la mitad del parámetro p
2
Aplicaciones: Los faros de automóviles poseen un espejo parabólico, en cuyo
foco se coloca el pequeño filamento de la lámpara correspondiente a la “luz larga”.
Se produce así un haz de rayos paralelos horizontales de gran alcance. El filamento de la “luz baja” está un poco fuera del foco y hacia abajo, para producir un
haz algo convergente y descendente sobre el camino.
68
ÓPTICA GEOMÉTRICA
69
REFRACCIÓN DE LA LUZ
Descripción del fenómeno y leyes
Cuando un rayo de luz atraviesa la interfase entre dos medios de diferente densidad11cambia de dirección, quebrando su trayectoria. A éste fenómeno se lo llama “refracción de la luz”. La refracción está generalmente acompañada por
MEDIO MENOS DENSO
una reflexión, ambas
parciales.
I2
î
I î
La intensidad del rayo
refractado I1 más la intenrayo incidente
rayo reflejado
sidad del rayo reflejado I2
INTERFASE
es igual a la intensidad I
12
del rayo incidente . En
MEDIO MÁS
I1
los capítulos sobre ondas
DENSO
y óptica física, se ha exrayo refractado
plicado suficientemente el
r
fenómeno combinado de
normal
reflexión/refracción13.
Ahora
nos
interesa
aprender a manejarlo en la construcción de imágenes, con las técnicas de
la óptica geométrica.
Refracción simple: La luz se acerca a la normal en el medio más denso 14,
cumpliendo la ley de Snell:
sen(i)1/sen(r) 2=n1,2
11
En general a mayor densidad del medio es menor la velocidad de la luz en él.
De cómo se reparte la potencia (o la intensidad, que le es proporcional) del rayo incidente
entre los rayos reflejado y refractado, diremos por ahora que la intensidad del rayo refractado
es mayor cuánto menos refractado esté, o sea cuando la incidencia se acerque a la normal de
la superficie de separación. Consecuentemente la proporción de luz reflejada aumenta con el
ángulo de incidencia.
13
Se recuerda que la explicación de la refracción encaja en el modelo ondulatorio de la luz, el
que da cuenta de que en el medio más denso la luz tiene menor velocidad que el de menor
densidad o en le vacío. Asimismo debe recordarse que un rayo de luz cumple el principio del
camino más rápido para ir de un punto a otro, avanzando mayor trecho por el medio más
veloz. (Ver capítulos correspondientes a ondas y electromagnetismo)
14
La densidad óptica a que se alude es inversamente proporcional a la velocidad de la luz en
ese medio material; está relacionada aproximadamente en forma directa con la densidad
material (masa/volumen)
12
69
ÓPTICA GEOMÉTRICA
70
donde î es el ángulo de incidencia, r es el de refracción y n12 es el índice
de refracción del sistema 1,2 . Si el medio 2 es el vacío, o en la práctica
el aire atmosférico, en tal caso n2,1 es el índice absoluto de la sustancia15.
Si el índice n es mayor que 1 es porque sen(î) es mayor que sen(r), y por
lo tanto î>r , es decir que cuando n>1 se está considerando un pasaje de
luz del medio menos denso al más denso e inversamente, cuando n<1 la
dirección del rayo es del medio más denso al menos denso.
α
d
h’
h
h
β
Ejemplo: ¿A qué profundidad se ve desde arriba a un pez que nada a 15 cm debajo
de la superficie? - Dato: el índice de refracción aire/agua vale 4/3
Solución: teniendo en cuenta que α y β son ángulos pequeños, sus respectivos
seno, tangente y arco son prácticamente iguales. Así entonces es:
naire/agua=sen(α
α )/sen(β
β )=4/3 ≅ tg(α
α)/tg(β
β) =
(d/h’)/(d/h)= h/h’
h’= n.h = 3/4x15 cm = 11,25 cm
Respuesta: Por efectos de la refracción, el pez se ve 3,75 cm más arriba de lo que
realmente está.
NOTA: La óptica física nos enseña que la trayectoria de la luz es diferente para cada
color en los medios transparentes. Como se estudió oportunamente, esto se debe a
que la velocidad de los rayos en los medios materiales (no en el vacío) depende de su
respectiva longitud de onda. Así los rayos violeta se refractan más que los rojos.
Lo anterior equivale a decir que cada color tiene un índice de refracción propio para
cada sistema de dos medios. Así, para simplificar el estudio y siempre que no se diga
lo contrario, se estudiarán los fenómenos de refracción con luz monocromática, esto
es de un solo color. Se elige preferentemente el amarillo, de longitud de onda λ ≅ 0,59µ
µm
, que por estar en medio del espectro puede tomarse como representante de una radiación blanca.
15
Cuando se menciona un índice de refracción para una sustancia determinada sin mencionar
70
ÓPTICA GEOMÉTRICA
71
Reflexión total
En el caso de pasar el rayo del medio más denso al menos denso se
puede presentar el fenómeno de reflexión total del rayo incidente, cuando î supere un cierto valor (ángulo límite). En efecto, la fórmula de Snell
(de los senos) no admite matemáticamente un seno mayor que 1, y por lo
tanto no tiene solución para un ángulo de incidencia mayor a îlímite, para el
cual el correspondiente rayo refractado alcance 90º, o sea cuando el rayo
refractado se acueste sobre el plano de separación de ambos medios. En
tal caso será sen(r)=1 y entonces î=îlimite , tal que sen(îlimite)=
=sen(90º)x n2,1 =
n2,1
(Nótese que n2,1 es
menor que 1 ya
que estamos considerando un pa97,18º
saje de rayo desde
medio más denso
(agua) a menos
R
denso (aire).
La
imposibilidad
matemática de que
sen(r) supere a la
unidad se traduce
en la realidad por
ausencia de rayo
refractado cuando
î>îlimite . El principio
de conservación
de la energía nos
permite poner en
ausencia de rayo
refractado I=Ireflejado , o sea que prevé un rayo reflejado de igual intensidad
al incidente. Ésto es lo que en realidad ocurre: la superficie de separación
de ambos medios se comporta como un espejo perfecto para î>îlimite
Ejemplo: Para el sistema agua-aire es n=3/4 y entonces îlímite =arc.sen(0,75)=48,59º. Un buzo
que mira hacia arriba ve el mundo de afuera del agua a través de una ventana circular, fuera
la otra, se trata del índice absoluto de esa sustancia (con respecto al vacío)
71
ÓPTICA GEOMÉTRICA
72
16
de la cual observa el fondo de arena amarilla reflejado en la superficie . Ello se debe a que
los rayos provenientes del fondo como el R , no pueden salir del agua al incidir sobre la superficie bajo un ángulo mayor que el límite. Esa ventana es la base de un cono dentro del cual
están las imágenes de todo lo que está sobre la superficie: la obra muerta del barco, los pájaros, la parte de arriba del muelle. El ángulo de ese cono es el doble de îlímite. Fuera de la ventana, además del fondo y los objetos en él (como por ejemplo el ancla del dibujo), se ven
directamente los objetos sumergidos (casco del barco y parte sumergida del muelle)
Prismas de reflexión total: Un prisma de vidrio(nvidrio/aire=2/3) cuya base
α=45º
es un triángulo rectángulo isósceles
sirve para reflejar la luz, como lo haría un espejo plano a 45º. En efecto,
en el prisma de la figura el rayo penetra perpendicularmente a la cara 1
por lo que no se refracta, y cuando
llega a la cara 2 sufre una reflexión total, ya que a=45º>arc.sen(2/3)=41,81º .
Los prismas de reflexión total reemplazan con ventajas a los espejos planos de
vidrio plateado o aluminizado, que se deterioran con facilidad. En cambio son más
pesados y voluminosos. Colocando un prisma de reflexión total de manera que la
luz entre y salga de la cara 2, sirve como inversor de imágenes, al efectuar una
doble reflexión interna (ver “prismáticos” en el capítulo de instrumentos ópticos).
2
1
Refracción en lámina de caras paralelas
Un rayo de luz que atraviesa
una lámina de caras paralelas sufre un desplazaî
miento sin cambio de dirección.
r
En la figura, se tiene:
r
∆ =e/cos(r).cos(φ
φ+r)
φ
pero
φ
=(90º-î)
entonces
î
∆ =e.cos(90º-i+r)/cos(r), o
sea
e
∆
∆ = e.sen(î-r)/cos(r)
Ejemplo: ¿Qué desplazamiento de imagen produce un vidrio de ventana de 1 cm de espesor sobre
un rayo que incide a 45º?
16
En realidad la imagen del fondo reflejada fuera del círculo se ve claramente sólo cuando la
superficie del agua está muy tranquila. Si está agitada por el viento, por ejemplo, se puede
ver la luz exterior pero no la forma de los objetos sobre el agua dentro del círculo; y afuera de
éste, el reflejo del fondo se observará más o menos distorsionado por la superficie reflectora
irregular. Si el fondo es tan profundo que la luz no llega a iluminarlo, su imagen alrededor de
la ventana es negra.
72
ÓPTICA GEOMÉTRICA
Solución: î=45º . Para el sistema vidrio aire es:
n=sen(î)/sen(r)=3/2 de donde
sen(r)=2/3xsen(i)=0,4714 ; de aquí sale que
r=arc.sen(0,4714)=28,126º
Entonces î-r=45-28,126=16,874º y así es
∆ = e.sen(î-r)/cos(r) = 1xsen(16,874º)/cos(28,126º)=0,33 cm
73
Refracción en láminas de caras no paralelas (cuñas y
prismas)
Una lámina de caras planas no paralelas desvía la dirección de un rayo
que la atraviesa. Si la lámina es de caras planas no paralelas, estas forman un ángulo diedro ω .
Se denomina al sistema de caras no paralelas cuña o prisma, según que
el ángulo respectivo ω sea pequeño (ω
ω<5º) o más grande. Si ω es pequeño
(cuña) se pueden hacer algunas simplificaciones en las fórmulas del prisma que se verán a continuación (ver más adelante al tratar lentes)
Fórmulas del prisma
n2
ω
n1
V
r1
î1
δ
r2
ω
î2
R
I
Como se ve en el dibujo, el ángulo de
desviación se obtiene llevando el rayo
incidente I sobre el refractado R, mediante los siguientes movimientos:
• una rotación i1 en el sentido horario
• una rotación ω en el sentido antihorario
• una rotación i2 en el sentido horario
Asignando el signo positivo al sentido
horario, se tiene:
δ=i1+i2-ω
ω (17)
Estudio de la variación de la desviación δ . Condición de
desviación mínima
Los ángulos de entrada (i1) y salida (i2) están relacionados entre sí. Analicemos lo
que pasa en la condición de la figura, que es asimétrica, es decir i1>r2, y por lo
tanto r1>i2:
17
La fórmula vale como caso particular en una lámina de caras paralelas en la que ω=0 y δ=0
Ello implica que debe ser i1=- i2 , es decir que los ángulos de entrada y salida son iguales y de
sentido contrario.
73
ÓPTICA GEOMÉTRICA
74
Al aumentar i1 aumenta r1 en menor proporción (los senos no son proporcionales a
los ángulos)
Si aumenta r1 disminuye r2 en la misma medida, ya que la suma de ambos (r1+r2)
es constante e igual al ángulo del diedro ω
Al disminuir r2 también lo hace i2 de acuerdo a la ley de Snell. Pero como r2 es menor que r1 , se acerca más a la perpendicular de la cara de salida. Cuando un rayo
se acerca a la perpendicularidad, el refractado también, y sus variaciones de dirección tienden a igualarse. Quiere decir que el rayo refractado R variará menos que
el I cuando se modifique la dirección del rayo interno V, por estar más cerca de la
normal a la cara.
Es decir que si el ángulo de incidencia i1 aumenta, disminuye cada vez menos el
ángulo de salida i2 por estar cada vez más cerca de la normal, y la desviación, que
es la suma de ambos, va en aumento. En virtud del principio de reversibilidad de
los caminos ópticos, se pueden permutar los ángulos de subíndice 1 por los de
subíndice 2 , y razonar que la desviación aumenta cuando aumenta la asimetría de
la marcha de rayos en el prisma.
Este aserto lleva implícito que la desviación disminuye cuando se tiende a la simetría, situación para la cual la desviación pasa por un mínimo.
En esta condición de simetría y desviación mínima, se cumple que i1=i2=î
e r2=r1=r por lo que ω=2.r , y la fórmula δ=i1+i2-ω
ω se transforma en:
δmínimo= 2i-ω
ω = 2(i-r)
i=(δ
δmín+ω
ω)/2
Ahora bien, siendo n=sen(i)/sen(r), de las anteriores resulta
δ min + ω
)
2
ω
sen( )
2
sen(
n =
Ejemplo: Se tiene un prisma de base equilátera de una sustancia desconocida. Se
determina experimentalmente que δmin=30º ¿Cuál es su índice de refracción?
20º + 60
sen(
)
2
Respuesta n =
= 1,286
sen(30º )
A continuación se presenta el cálculo de los ángulos de los rayos refractados por
un prisma de vidrio para ángulos de incidencia crecientes, llevado a cabo con planilla electrónica. Se trata de un prisma de vidrio (n=1,5), de base equilátera
(ω=60º).
Como se ve en el gráfico correspondiente, la mínima desviación δ min=37º se obtiene para r1=r2=30º e i1=12=48º
74
ÓPTICA GEOMÉTRICA
75
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN EN UN PRISMA
î1 (º)
r1(º)
r2(º)
i2(º)
δ(º)
30
19,47122063
40,52877937
77,09581152
47,09581152
32,5
20,98967692
39,01032308
70,76766111
43,26766111
35
22,48144954
37,51855046
65,99745467
40,99745467
37,5
23,9438363
36,0561637
61,99016611
39,49016611
40
25,37399394
34,62600606
58,46556117
38,46556117
42,5
26,76893149
33,23106851
55,28805247
37,78805247
45
28,1255057
31,8744943
52,38130648
37,38130648
47,5
29,440419
30,559581
49,69847594
37,19847594
50
30,71022077
29,28977923
47,20931516
37,20931516
52,5
31,93131269
28,06868731
44,89377279
37,39377279
55
33,09995909
26,90004091
42,73847466
37,73847466
57,5
34,21230312
25,78769688
40,73464052
38,23464052
60
35,26438968
24,73561032
38,87676961
38,87676961
62,5
36,2521959
23,7478041
37,16176355
39,66176355
65
37,17166971
22,82833029
35,58830851
40,58830851
67,5
38,01877691
21,98122309
34,15641657
41,65641657
70
38,78955642
21,21044358
32,86706695
42,86706695
72,5
39,48018311
20,51981689
31,72191178
44,22191178
75
40,08703691
19,91296309
30,72302513
45,72302513
77,5
40,60677584
19,39322416
29,87268324
47,37268324
75
ÓPTICA GEOMÉTRICA
ángulos
de los
rayos
76
DESVIACIÓN EN UN PRISMA
r1
r2
δ
i2
80
70
60
50
40
30
20
10
0
30
35
40
45
50
55
60
65
70
ángulo de incidencia i1 en grados
76
75
ÓPTICA GEOMÉTRICA
77
LENTES
Estamos ahora en condiciones de estudiar las propiedades ópticas de una
serie de formas de vidrio y otras sustancias refringentes, limitadas por dos
superficies esféricas. Tales formas, con simetría de revolución18 sobre un
eje, se llaman genéricamente lentes.
plano cóncava
cóncavo convexa
(menisco convergente)
biconvexa
bicóncava
cóncavo convexa
menisco divergente
plano convexa
Tipos de lentes
Las figuras muestran los tipos de lentes posibles, formados con combinaciones de dos caras esféricas de distinta curvatura. Como caso particular
están las lentes con caras de igual curvatura en el caso del tipo bicóncava
y biconvexa, y las que tienen una cara de curvatura nula (cara plana, o de
radio de curvatura infinito). Las lentes que tienen dos caras de curvatura
contraria (una cóncava y otra convexa), se llaman “meniscos”, por la similitud de forma con esa parte de las articulaciones del cuerpo humano.
18
Se dice que una lente es un cuerpo de revolución porque puede considerarse generado
por una curva que gira alrededor de un eje de simetría. Se puede tallar una cara de la lente
haciendo girar una pieza de vidrio sobre un eje, desbastando el material con una herramienta
que se desplaza en un arco de circunferencia, produciendo un casquete esférico.
77
ÓPTICA GEOMÉTRICA
78
Efecto de las lentes
Para estudiar el efecto refractante de una lente sobre
los rayos de luz, consideremos una sección plana central
de la misma como formadas
por pequeños prismas, de los
que conocemos sus propiedades ópticas. Por ejemplo,
sabemos que los prismas
desvían los rayos incidentes
sobre una de las caras hacia
la base del triángulo, y por lo
DESCOMPOSICIÓN DE UNA LENTE EN PRISMAS ELEMENTALES
tanto podemos deducir que
las lentes que tienen la parte central más gruesa que la periferia desvían
los rayos que inciden sobre una de sus caras hacia adentro (son convergentes). Asimismo las lentes con los bordes más gruesos que el centro
serán divergentes, ya que los prismas elementales están colocados al revés que en el caso anterior.
ω
i1
Se reconoce en una lente
i2
δ
cualquiera, que para fijar
α
D/2
R1 β
R2
δ
ideas se ha dibujado bio
F
convexa (convergente):
• Los radios R1 y R2 de
β
α
las esferas generadof
ra de las caras de la
ε
lente.
• El centro O de la lente
• El eje principal, (señalado en punto y raya) que es la normal a las caras
que pasa por el cetro O
• El diámetro D de la lente (en la figura se acota D/2).
• El espesor máximo ε de la lente, suma de las flechas correspondientes
a los arcos que generan sus caras.
• El foco F y la distancia focal f=OF . Se llama foco F de una lente al
punto donde el rayo refractado proveniente de un rayo paralelo al eje
principal corta al mismo. En las lentes existen dos focos: uno del lado
de donde provienen los rayos, llamado foco objeto; otro del lado hacia
donde van los rayos: es el foco imagen.
78
ÓPTICA GEOMÉTRICA
79
Lentes delgadas
Al igual que con los espejos, se emplean en óptica sobre todo “lentes delgadas”, cuyo espesor ε máximo sea mucho menor que el radio r de la lente. Se considera que el centro de la lente delgada está en un plano equidistante de los focos, por lo tanto la distancia focal es única.
La marcha de lo rayos en lentes delgadas siguen reglas sencillas, que
permiten hacer las construcciones con facilidad:
• El rayo que incide paralelamente al eje principal se refracta pasando
por el foco imagen.
• El rayo que incide pasando por el foco objeto se refracta saliendo paralelamente al eje principal.
• El rayo que incide sobre el centro de la lente sigue su camino sin
cambio de dirección19.
• Rayos paralelos que incidan sobre la lente formando cualquier ángulo
con el eje principal, se refractan cortándose en un punto de un plano
perpendicular al eje principal que pasa por el foco. Dicho plano se llama
“plano focal”
plano focal
f
eje principal
r
ε
Distancia focal de una lente
delgada - en función de la curvatura de sus caras y del índice de refracción del material.
Vamos a hallar una relación entre la
distancia focal de una lente delgada y
la curvatura20 de sus caras. Es dato el
material y su índice de refracción con
respecto al vacío.
Dibujemos entonces una lente biconvexa convergente, cuyas caras tienen
radio de curvatura R1 y R2, como se muestra en la figura. Consideremos
un rayo paralelo al eje principal que alcanza a la lente justo en el extremo
de esta, refractándose hacia el foco F.
Supongamos que dicha lente es delgada, esto es que los radios de sus
caras R1 y R2 son considerablemente mayores que el diámetro D de la
19
En rigor, la parte central de la lente es una lámina de caras paralelas, que como ya se vió
produce un desplazamiento paralelo del rayo. Sin embargo en una lente delgada este efecto
se desprecia en mérito a esa condición (ε<<r)
20
La curvatura es la inversa del radio de curvatura, así gran curvatura significa pequeño radio,
y viceversa.
79
ÓPTICA GEOMÉTRICA
80
lente. Quiere decir que todos los ángulos marcados en el dibujo (ω
ω , i1, i2,
δ) son pequeños. Se ve en la figura que i1+i2-ω
ω=d
d y sabemos además
que:
sen(i1)/sen(r1) = sen(i2)/sen(r2) = n
normal 1
Pero por tratarse de
ángulos pequeños,
el arco y el seno
tienen valores muy
parecidos, por lo
que se puede poner
aproximadamente
que :
i1/r1 = i2/r2 ≈ n (21)
Es decir que con
gran aproximación ,
por tratarse de una
normal 2
ω
i1
r1 r2
R2
i2
ω
δ
R1
lente delgada es i1 = n.r1 y además i2 = n.r2
Sabemos por otra parte del estudio de la refracción en un prisma que
r1+r2= ω
Con todos estos datos, vamos a tratar de buscar una relación donde intervengan la distancia focal f y los radios R1 y R2.
Entonces fijémonos en la figura y hagamos intervenir a la distancia focal f a
través del ángulo de desviación δ. Podemos poner que :
D/2/f =
tg(δ
δ)≈
≈
δ =
i1+i2−ω = n.(r1+r2)−ω
−ω =
n ω−ω = ω.(n-1)
ω.
ω
i1
i2
α
De
1
f
=
aquí
sale
R2
que
o
2.ω.(n − 1)
D
δ
R1 β
δ
β
D/2
F
α
f
Esta fórmula contiene al
índice de refracción n y el
ε
ángulo ω junto con el
diámetro de la lente D. En realidad estamos muy cerca de tener lo que
21
Estas fórmulas valen muy aproximadamente para cuñas (prismas de pequeño ángulo ω), y
para pequeños ángulos de incidencia.
80
ÓPTICA GEOMÉTRICA
81
buscamos. Vienen en nuestra ayuda los ángulos α y β, cuya suma es ω
(Todos ellos son ángulos pequeños).
Ponemos entonces:
α+β = ω o también sen(α)
α)+sen(β)
β) ≈ ω , pero es sen(α)
α) = D/2/R2 y
sen(β)
β) = D/2/R1
o sea ω = D/2.(1/R2+1/R1) lo que reemplazado en la anterior
nos da la relación buscada:
1
f
1
+
 R2
= (n − 1).
1

R1 
La anterior fue deducida para una lente biconvexa (y por lo tanto convergente). Sin
embargo, vale para cualquier lente teniendo en cuenta la convención de signos
adoptado para la medida de los radios de curvatura R , a saber: positivo
plano focal
para caras convexas y negativo para
I m g v
plano de la lente
caras cóncavas.
2
Ejemplo: Un menisco de vidrio común (n=1,5) tiene una la cara convexa de 3m de radio y la cóncava de
2m de radio, es decir R2=-2m y
R1=3m . Sabemos a priori que será
divergente, por tener la cara cóncava
más curvada que la convexa, pero
aunque no lo advirtiéramos, el cálculo nos lo dirá.
Reemplazando valores en la fórmula, se tiene:
1
1
+
 R2
= (n − 1).
1

R1 
centro de la lente
Obj 2
Obj 1
F1
F2
eje principal
Imgr1
 1 + 1
 ( −2) 3
= 0,5 • 
= −0,083
de donde f=-12 m (el valor
f
negativo significa que el foco es virtual, que corresponde a lentes divergentes)
Si la cara más curvada fuera la convexa, el resultado del cálculo cambiaría de
signo manteniendo el mismo valor: la lente sería convergente.
81
ÓPTICA GEOMÉTRICA
82
Formación de imágenes en lentes
5
va a imagen del
punto 4 en el infinito
7
5 4 3 2 1
6
viene de
imagen del
punto 4 en el
infinito
F2
F1
1
9 8 7 6
2
3
TRANSFORMACIÓN DEL ESPACIO POR UNA LENTE CONVERGENTE
Lentes convergentes: Las lentes convergentes transforman el espacio
en forma muy parecida a lo que lo hacen los espejos cóncavos:
Objetos entre el foco y el infinito dan imágenes reales e invertidas, mayores o menores según su distancia a la lente.
Objetos entre el foco y la lente dan imágenes virtuales derechas y mayores.
Para las construcciones de imágenes se utiliza desde cada punto del objeto:
1. El rayo que incide sobre la lente paralelamente al eje principal, que
sale refractado pasando por el foco imagen.
2. El rayo que pasa por el centro de la lente, que no sufre desviación ni
desplazamiento, por ser una lente delgada.
3. El rayo que pasa por el foco objeto e incide sobre la lente, refractándose paralelamente al eje principal.
En la figura, se ve que la transformación o “mapping” no conserva los
ángulos ni las distancias pero sí la perpendicularidad con el eje principal.
El punto Nº4 no tiene imagen por estar sobre el plano focal, pero puede
considerarse que tiende a formar dos imágenes en puntos muy alejados:
82
ÓPTICA GEOMÉTRICA
83
una real a la izquierda y otra virtual a la derecha sobre los extremos de una
recta infinita que pasa por el foco F2
Lentes divergentes: Transforman el espacio en forma similar a los espejos convexos: de un objeto hay una imagen virtual entre el foco objeto F
y la lente. En este cono se instalan las imágenes de todo el semi espacio
entre la lente y el infinito. Los ángulos no se conservan y la métrica del espacio transformado tampoco. Las rectas se transforman en rectas, cambiando la dirección, salvo las perpendiculares al eje. Por ejemplo, un segmento AB con dirección hacia el foco virtual F’ se transforma en otro A’B’
paralelo al eje principal.
En el capítulo de instrumentos ópticos se verán las aplicaciones más comunes de lentes y espejos formando parte de los aparatos.
F’
F
A’
B’
A
B
Transformación del espacio por una lente divergente
x’
x
A
y
B
Fórmulas de las lentes
C
f
F1
F2
O
f
B’
y’
A’
En una lente delgada convergente o divergente, el
rayo que pasa por el centro
de la lente no sufre desviación, así que los tamaños
de objeto y e imagen y’ están en relación con sus respectivas distancias a la
lente (x y x’).
Resulta así
y
x
=
, igual que para los espejos.
y' x'
De acuerdo al dibujo, razonando sobre la flecha de tamaño y cuya imagen
real tiene tamaño y’, por semejanza de triángulos A’B’F2 y COF2 resulta:
83
ÓPTICA GEOMÉTRICA
84
f/y = (x’-f)/y’ y empleando la relación entre tamaño y distancia, se transforma en
f/x =(x’-f)/x’=1-f/x’
de donde f(1/x+1/x’)=1 , quedando finalmente:
1 1 1
= +
válida para imágenes reales.
f x x'
(Fórmula de los focos conjugados de Descartes))
La fórmula anterior se ha deducido para imágenes reales, asignando signo positivo a su tamaño y’ y a su abscisa x’ . De tal manera, el signo negativo de y’ corresponde a una imagen
derecha de lado del objeto (imagen virtual, que se produce cuando el objeto está entre el foco
y la lente, es decir para x<f)
Problema de aplicación: Se coloca un objeto de y=0,5m de altura a una
distancia de x=2m de un ojo normal, cuyo cristalino tiene f=0,0200m en
reposo. Averiguar carácter, tamaño y posición de la imagen. Analizar el
efecto de acomodación del cristalino.
Datos adicionales: Se considerará para simplificar al cristalino como único
elemento refringente del ojo22, equivalente en reposo a una lente plano
convexa de índice de refracción n=1,3 y único radio R=0,006m (el radio de
la cara plana es infinito). Su diámetro vale aproximadamente D=0,010m y
su espesor e=4mm
Solución: Aplicando la fórmula de la distancia
focal en función de los radios de curvatura y el
índice de refracción, se tiene para la distancia
focal del cristalino lo siguiente:
1/f=(n-1)/R=0,3/0,006=50 de donde f=0,02m
De acuerdo a esto, es 1/x´=1/f-1/x=50-0,5=49,5
de donde x’=0,0202m , es decir que la imagen se
forma a dos décimas de milímetro más atrás que
el fondo del ojo. Para una visión nítida del objeto,
el cristalino debe alterar la curvatura de sus caras
a través de la presión de los músculos ciliares, de
manera de crear una imagen exactamente a
20 mm
x’=0,0200 m
Ello se cumple para 1/f=1/x+1/x’=1/2+1/0,02=50,5 de donde f=0,0198m , es decir que merced
al esfuerzo de acomodación, el cristalino acorta su distancia focal en dos décimas de milímeSi
tro. consideramos que después de la deformación el cristalino sigue siendo plano convexo,
su nuevo radio de curvatura será
R=(n-1)f=0,3x0,0198=0,00594m , es decir que variará imperceptiblemente apenas 60 micrones. La correspondiente variación de diámetro D es del mismo orden.
GLOBO OCULAR Y CRISTALINO
e
D
22
Como se sabe, esto no es realmente así, sino que existen tres elementos refringentes en el
ojo: el espacio entre la córnea y la cara plana anterior del cristalino relleno de humor acuoso
(n=1,3), el cristalino (n=1,4) y el espacio entre cara posterior del cristalino y retina (interior del
globo ocular) relleno del humor vítreo (n=1,3). Esta combinación de medios hace del ojo un
sistema óptico prácticamente acromático
84
ÓPTICA GEOMÉTRICA
85
El tamaño de la imagen en la retina es y’ = x’/x.y = 0,0008m (menos de 1 mm de
altura)
Sabemos que la imagen sobre la retina es real e invertida, ya que el objeto está entre el foco
y el infinito. Consecuentemente con esto, el cálculo arroja un valor de x’ positivo que corresponde a imagen real, e y’ positivo, que corresponde a imagen invertida.
Lentes escalonadas de Fresnel
Se puede reducir drásticamente el volumen (y
consecuentemente el peso) de una lente con caras de gran curvatura,
dividiéndola en varios anillos concéntricos y quitándoles espesor, aplicánLENTE ESCALONADA DE FRESNEL
dolos después sobre una
superficie plana. En 1820, el físico francés Fresnel llevó a la práctica esa
idea, creando lentes de corta distancia focal (pequeño diámetro de sus
caras) mucho más ligeras que las equivalentes lentes convencionales. Resultan apropiadas para paralelizar los rayos de una fuente (proyectores,
faros). Se encuentran actualmente en las librerías lentes de Fresnel de
plástico flexible moldeadas con una gran cantidad de escalones (10 o más
por centímetro). Se las conoce como “page size magnifiers” (lupas tamaño página)
a/2
R
D’
D
2
2 1/2
a = R - [R -(D/2) ]
2
2
Vol=1/6p
pa(3/4D +a )
a
3
Cálculo del ahorro de peso:
Para un faro costero se desea construir una
lente de vidrio (n=1,5), de diámetro D=1m con
una distancia focal f=2m. Si diseñamos una
lente plano convexa, será
1/f=(n-1)/R o sea que el radio de curvatura de la
cara convexa de la lente resulta:
R=(n-1).f = (1,5-1).2=1m
2
La profundidad del casquete es a=R-[R 2 1/2
1/2
(D/2) ] =1-(1-0,25) =0,134m
El volumen de vidrio necesario para el lente
será, de acuerdo a la fórmula de la figura:
2
2
Vol=1/6.p
p .a.(3/4D +a )=p
p /6.0,134.(3/4+0,018)=
0,0539m
Si esta lente se transforma en una de Fresnel equivalente de la mitad de espesor (1 escalón),
tendrá un volumen V-V’ , siendo V’ el volumen del cilindro de altura a/2 y base D’ tal que:
2
2
2
2
a/2=R-[R -(D’/2) ] , de donde (D’/2) =R -R+a/2=0,067m , y así tenemos
D’=0,518m
2
Entonces V’=p
p .(D’/2) .a/2=0,014m3
O sea que con un sólo escalón se logra una reducción de volumen (y de peso) del 26%
85
a
ÍNDICE
ÓPTICA GEOMÉTRICA ............................................................................... 55
GENERALIDADES ............................................................................................ 55
REVERSIBILIDAD DE LOS CAMINOS ÓPTICOS ..................................................... 55
REFLEXIÓN DE LA LUZ............................................................................. 56
Espejos planos ........................................................................................... 56
Reflexión en espejos planos que forman un ángulo diedro ................................... 57
Reflexión en superficies de forma cualquiera .............................................. 59
Espejos esféricos de pequeña curvatura...................................................... 59
Espejos cóncavos ....................................................................................... 59
Foco principal. Distancia focal:........................................................................... 60
Focos secundarios. Plano focal ........................................................................... 61
Espejos de gran curvatura - Aberración de esfericidad:.............................. 61
Carácter, tamaño y posición de las imágenes en espejos esféricos de pequeña
curvatura: .................................................................................................. 62
Generalización del estudio de la formación de imágenes en espejos cóncavos
esféricos de pequeña curvatura - Mapping.......................................................... 63
Espejos convexos: ...................................................................................... 64
Espejos parabólicos ................................................................................... 67
REFRACCIÓN DE LA LUZ........................................................................... 69
DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO Y LEYES ............................................................ 69
Reflexión total ............................................................................................ 71
Refracción en lámina de caras paralelas .................................................... 72
Refracción en láminas de caras no paralelas (cuñas y prismas) .................. 73
Fórmulas del prisma ........................................................................................... 73
Estudio de la variación de la desviación δ . Condición de desviación mínima ....... 73
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN EN UN PRISMA..................................... 75
LENTES........................................................................................................... 77
TIPOS DE LENTES ............................................................................................ 77
Efecto de las lentes..................................................................................... 78
Lentes delgadas.......................................................................................... 79
Distancia focal de una lente delgada - en función de la curvatura de sus caras y del
índice de refracción del material. ........................................................................ 79
Formación de imágenes en lentes ............................................................... 82
Fórmulas de las lentes................................................................................ 83
Lentes escalonadas de Fresnel.................................................................... 85
ÍNDICE ........................................................................................................... A
a