MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS

Polinomios
MULTIPLICACION Y DIVISION
DE POLINOMIOS
Propiedad de exponentes
Antes de pasar a multiplicación y división de
polinomios, debemos recordar algunas de las
leyes de exponentes.
Sea b un número real; m y n dos números
enteros, entonces:
1era ley: bn * bm = bn+m

Cuando se multiplican bases iguales se
suman exponentes.
𝑛
𝑏
2da ley: 𝑚 = 𝑏 𝑛−𝑚
𝑏
 Cuando se dividen bases iguales se
restan exponentes.
Propiedades de exponentes (cont)
Ejemplo:
32 ∙ 33 =
En general,
3 ∙ 3 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios se realiza de
la siguiente manera:


Se multiplican los coeficientes numéricos
Si la parte variable de los términos tiene la
misma variable, su producto va a tener la misma
variable con un exponente nuevo que es la suma
de los exponentes de los términos.


Ej: (2x2)(3x4) = (2)(3)(x2x4) =6x6
Si la parte variable de los términos tiene variables
diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,
sin cambiar.

Ej: (-5x3)(3y2) = (-5)(3)(x3y2) = -15x3y2
Ejemplos- Multiplicación de monomios
4x2(2x4y)
= (4)(2)(x2x4)y
= 8x(2+4)y
= 8x6y
-2y3(3y4z5)
= (-2)(3)(y3y4)z5
= -6y(3+4)z5
= -6y7z5
Ejemplos- Multiplicación de
monomios
a) 5x6y6 (-4x4y)
= (5)(-4)(x6 x4)(y6 y)
= -20x(6+4)y(6+1)
= -20x10y7
b) -2a4b3c6(ab2c5)
= -2(a4 a)(b3 b2 )(c6c5)
= -2 a(4+1)b(3+2)c(6+5)
= -2a5b5c11
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Les recordamos la ley distributiva :
a(b+c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
Ejemplos:
a) x(2x3 + 45)
= x(2x3) + 45x
= 2x4 + 45x
b) 2a2 (-3b3 – 12)
= 2a2 (-3b3) – 2a2(12)
= -6a2b3 – 24a2
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Ejemplo:
c) 5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)
= (5)(2)(y2y3) – (5)(5)(y2)(y2) + (5)(9)y2
+ (-2)(4y2) – (-2)(3y)
= 10y5 – 25y4 +45y2 +(-8y2) – (-6y)
= 10y5 – 25y4 + 37y2 + 6y
Multiplicación de
binomio por binomio
Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos
veces:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd
Esto equivale a multiplicar cada término de un
binomio por cada término del otro binomio.
Al final, simplificar términos semejantes, si
existen.
Ejemplos
•
(2x + 3)(4x2 – 5)
= 2x(4x2 – 5) + 3(4x2 – 5)
= 8x3 - 10x + 12x2 – 15
•
(x – 5)(2 – x)
= x(2 – x) – 5(2 – x)
= 2x – x2 – 10 + 5x
= -x2 + 7x – 10
•
(2x2 – 5)(x2 – 9)
= 2x2 (x2 – 9) – 5(x2 – 9)
= 2x4 – 18x2 – 5x2 + 45
= 2x4 – 23x2 + 45
Diferencia de cuadrados
a) (2x + 1) (2x – 1)
= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)
= 4x2 – 2x + 2x – 1
= 4x2 – 1
b) (7 + 3y)(7 – 3y)
= 7(7 – 3y) + 3y(7 – 3y)
= 49 – 21y + 21y – 9y2
= 49 – 9y2
Diferencia de cuadrados
En los ejemplos anteriores vemos que se
multiplican dos binomios que sólo
difieren en el signo de uno de los
términos. Al multiplicar estos binomios el
resultado es un binomio de la forma
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
A este resultado se le conoce como una
diferencia de cuadrados.
Diferencia de cuadrados
a) (x + 1) (x – 1)
Usando la fórmula anterior
= x2 – 1
b) (7x + 4)(7x – 4)
Usando la fórmula anterior
= (7x)2 – 42
= 49x2 – 16
Otros ejemplos
(4x2 – 1)2
= (4x2 – 1) (4x2 – 1)
= 4x2 (4x2 – 1)– 1(4x2 – 1)
= 16x4 – 4x2 – 4x2 + 1
= 16x4 – 8x2 + 1
•
(10 – 2x)2
= (10 – 2x)(10 – 2x)
= 10(10 – 2x) – 2x(10 – 2x)
= 100 – 20x – 20x + 4x2
= 100 – 40x + 4x2
Otros ejemplos – cont.
•
(4x – 1)(3x + 1)
= 4x(3x + 2)– 1(3x + 1)
= 12x2 + 8x – 3x – 1
= 12x2 + 5x – 1
•
(1 – 2x)(2 – x)
= 1(2 – x) – 2x(2 – x)
= 2 – x – 4x + 2x2
= 2 – 5x + 2x2
Multiplicación - ejercicios
Multiplicación - ejercicios
División de un
polinomio entre un monomio
•
Cuando dividimos un polinomio entre un
monomio, aplica la propiedad distributiva,
además de la regla de exponentes.
2da ley:
𝑏𝑛
𝑏𝑚
= 𝑏 𝑛−𝑚
Cuando se dividen bases
iguales se restan exponentes.
( a  b) a b
 
c
c c
División de un
polinomio entre un monomio
Se divide cada término del polinomio entre el
monomio.
4
3
2
2
x
6
x
2
x
( 2x  6x  2x )
propiedad distributiva



2x 2x 2x
2x
4
3
2
 x 3  3x 2  x
𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟏𝟔𝒙𝟒 𝒚𝟐 𝟖𝒙𝒚
=
+
−
𝟐𝒙𝒚
𝟐𝒙𝒚
𝟐𝒙𝒚
= 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝟑 𝒚 − 𝟒
propiedad de exponentes
División de un
polinomio entre un monomio
9𝑎3 𝑏 3 36𝑎2 𝑏 45𝑎4 𝑏 2
=
−
−
9𝑎2 𝑏
9𝑎2 𝑏
9𝑎2 𝑏
= 𝑎𝑏 2 − 4 − 5𝑎2 𝑏
12𝑥 8 𝑦 6 96𝑥 5 𝑦 4 72𝑥 2 𝑦 2
=
+
−
6𝑥 2 𝑦 2
6𝑥 2 𝑦 2
6𝑥 2 𝑦 2
= 2𝑥 6 𝑦 4 + 16𝑥 3 𝑦 2 − 12
División – cont.
−42𝑥 6 70𝑥 4 98𝑥 2
=
−
+
14𝑥 2
14𝑥 2 14𝑥 2
= −3𝑥 4 − 5𝑥 2 + 7
−24𝑎4 𝑏 2 36𝑎3 𝑏 48𝑎2 𝑏
=
+
−
−6𝑎𝑏
−6𝑎𝑏
−6𝑎𝑏
= 4𝑎3 𝑏 − 6𝑎2 + 8𝑎
Práctica: División
4 x  12
2
Simplificar x  9
4( x  3)
4
x

12
Solución:

2
( x  3)( x  3)
x 9
Factorizamos
Numerador y
denominador
4

x3
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 3
2x  2x
Simplificar x 2  3x  2
3
Solución:
3
2
2x  2x
2
x
(
x

1
)

2
x  3x  2 ( x  2)( x  1)
Factorizamos
Numerador y
denominador
2x( x  1)( x  1)

( x  2)( x  1)
2x( x  1)

x2
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 1