Como parece que no quedó muy claro en clase, expongo aquí el

Como parece que no quedó muy claro en clase, expongo aquí el segundo ejercicio hecho el día 30 de noviembre.
Jesús Ávila Camuñas.
Sea un cubo de lado L con paredes adiabáticas y un foco puntual en el centro irradiando un ujo de calor por unidad de
tiempo q̇ constante. Hallar la temperatura media del cubo T̄ =
1
L3
˝
T (x, y, z, t) · dV .
Pongamos el origen en el foco. Las condiciones de contorno serán:
∂T ∂T ∂T =
=
= 0.
∂x x=± L
∂y y=± L
∂z z=± L
2
2
2
La ecuación que hay que aplicar es:
∂T
+ χ4T = f (x, y, z),
∂t
donde f es la fuente de calor que representa el foco. Al ser puntual, f = q̇δ(x)δ(y)δ(z) = q̇δ(~r).
Como siempre, desarrollaremos T en la base del laplaciano. Ante la duda de si escoger senos o cosenos, hay que notar que no
se puede obtener un valor nulo de temperatura en el centro del cubo, puesto que en él está el foco, con lo cual quedan descartados
los senos. Así pues:
T =
X
αmnl (t) cos km x cos kn y cos kl z,
mnl
donde las condiciones de contorno dan: k L2 = mπ → km =
2mπ
L ,
ídem para kn y kl .
También hay que descomponer la parte inhomogénea en la base natural. Así que:
f=
X
Bmnl cos km x cos kn y cos kl z → Bmnl =
mnl
8q̇
L3
˚
L/2
cos km x cos kn y cos kl z δ(~r) d3 r =
−L/2
8q̇
.
L3
Ahora sustituimos T en la ecuación:
dα(t)mnl
8q̇
2
+ χ km
+ kn2 + kl2 α(t)mnl = 3 ,
dt
L
|
{z
}
2
=|~
kmnl |
lo que nos da la ecuación diferencial para obtener α(t)mnl .
El problema no da ninguna condición inicial para α, así que imponemos la más sencilla: α(0)mnl = 0. No quiere decir esto
que la temperatura sea el cero absoluto, sino que sencillamente hemos puesto nuestro cero de temperaturas al principio, antes
de calentar el cubo.
Recordemos que la solución de esta ecuación es la general más la particular, puesto que es inhomogénea. Se obtiene:
1
α(t)mnl =
2
8q̇
~
+ c e−χ|kmnl | t ,
2
χ ~kmnl L3
tras despejar la constante con la condición inicial se obtiene:
α(t)mnl =
2 8q̇
~
1 − e−χ|kmnl | t .
2
χ ~kmnl L3
Así pues, ya tenemos T (x, y, z, t). Para el valor medio, ahora resta sencillamente hacer la integral:
T̄ =
˚ L2
ˆ L2
ˆ L2
ˆ L2
1 X
1 X
α(t)
α(t)
cos
k
x
cos
k
y
cos
k
z
dx
dy
dz
=
cos
k
x
dx
cos
k
y
dy
cos kl z dz,
mnl
mnl
m
n
l
m
n
L3
L3
−L
−L
−L
−L
2
2
2
2
mnl
mnl
al hacer la integral:
ˆ
L
2
cos km x dx =
L
2mπ L
sin 2mπ
L 2 − sin − L 2
2mπ
L
−L
2
= 2L
sin mπ
= Lδm0 .
2mπ
Esto es, la integral se anula para todo valor de m, pues sin mπ = 0, pero en el modo 0 el límite
sin x
x
es la unidad. Por tanto,
sólo sobrevive un término del sumatorio, el del modo 0:
T̄ =
L3
α(t)000 = α(t)000 .
L3
2
Pero hay un problema con α000 : si nos jamos en la expresión antes obtenida para αmnl y recordamos que ~kmnl =
4π 2
L2
m2 + n2 + l2 , vemos que k000 = 0. Aparentemente, α000 diverge. Lo que realmente ocurre es que hay que resolver la
ecuación diferencial especícamente para el modo 0:
dα(t)000
dα(t)000
8q̇
+ χ k02 + k02 + k02 α(t)000 =
= 3,
dt
dt
L
|
{z
}
=0
lo que nos da, tras imponer, como en el resto, α(0)000 = 0:
α(t)000 =
con lo que se obtiene: T̄ =
8q̇
L3 t.
8q̇
t,
L3
En cuanto al análisis dimensional, si denimos el ujo de calor por unidad de tiempo como
unidad de temperatura por unidad de longitud al cubo partido de unidad de tiempo, se obtiene un análisis correcto.
2