UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Decaimiento

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
E.A.P DE MATEMÁTICAS
Decaimiento exponencial para la ecuación de onda con
amortiguamiento localmente distribuido - caso
globalmente Lipschitziana
Introducción
TRABAJO MONOGRÁFICO
Para optar el Título Profesional de Licenciado en Matemática
AUTOR
Andrés Guardia Cayo
LIMA – PERÚ
2004
Introducción
El objetivo del presente trabajo es estudiar el comportamiento de la energı́a asociada
a las soluciones débiles de la siguiente ecuación semilineal de onda con amortiguamiento
localmente distribuido
¯
¯
Ω × (0, ∞)
¯ utt − 4u + f (u) + a(x)ut = 0 en
¯
¯ u=0
sobre Γ × (0, ∞)
¯
¯
¯ u(0) = u0 , ut (0) = u1
en
Ω
(0.1)
donde Ω es un subconjunto acotado, abierto y conexo de Rn , (n ≥ 1) cuya frontera Γ = ∂Ω
es de clase C 2 , f una función globalmente Lipschitz-continua y a ∈ L∞
+ (Ω) una función
acotada, no negativa tal que:
a ≥ a0 > 0 casi siempre en ω
donde ω ⊂ Ω es una vecindad abierta de Γ, es decir,
ω = ωε =
[
B(x, ε) ∩ Ω con Γ0 ⊂ Γ
(0.2)
x∈Γ0
tal que
Γ0 = {x ∈ Γ; (x − x0 ).η(x) > 0}
para algún x0 ∈ Rn fijo
y η = η(x) es un vector normal unitario en x ∈ Γ, dirigido hacia el exterior de Ω.
Los sistemas con disipación localmente distribuidos, generados por una fuente externa
y que actúa en una parte de la frontera del material, esto es a(x) = 1 en Ω, fueron
estudiados por muchos autores entre ellos J. Rauch and M. Taylor [11], C. Bardos , G.
Lebeau y J. Rauch [12], Komornik y Zuazua [13], Greenberg y Tatsien[14], Shen y Zheng
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[15] entre otros, que mostraron la existencia y unicidad de la solución, además de su
comportamiento asintótico por el método de la energı́a.
El modelo matemático descrito fue propuesto por Zuazua E. [10], en donde el término
disipativo actúa solamente en una parte del material definido por ω. Esto es suficiente
para que el fenómeno sea afectado en todo el cuerpo, puesto que las disipaciones están
actuando en una vecindad ω de la frontera.
Este trabajo está dividido en dos capı́tulos. En el primer capı́tulo, son introducidas
algunas notaciones y resultados que serán utilizados en el capı́tulo siguiente.
Finalmente, en el segundo capı́tulo, se demuestra que la energı́a asociada a las soluciones
débiles del problema (0.1) tienen un decaimiento de tipo exponencial cuando el tiempo
tiende al infinito.
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