MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES

MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN
DE SEÑALES
Teoría de circuitos y sistemas
1
Introducción
• Sabemos modelar sistemas continuos (Laplace) o
sistemas discretos (Z).
• Pero en muchos casos los sistemas contienen tanto
bloques continuos como bloques discretos.
• Ejemplo: control de un sistema físico (continuo)
mediante un computador (discreto).
• Se necesitan elementos que permitan interconectar
sistemas continuos con sistemas discretos.
• Estos elementos deben servir para convertir una señal
continua en una secuencia y viceversa:
– Muestreador: convierte una señal continua en una secuencia.
– Bloqueador: convierte una secuencia en una señal continua.
2
Conexión bloqueador y muestreador
SISTEMA
CONTINUO
Señal
continua x(t)
MUESTREADOR
Señal
discreta {xK}
SISTEMA
DISCRETO
Ejemplo en el control de un horno: la temperatura x(t) medida en el horno es introducida a un
ordenador como una secuencia {xK}
SISTEMA
DISCRETO
Señal
discreta {xK}
Señal
continua x(t)
BLOQUEADOR
SISTEMA
CONTINUO
Ejemplo en el control de un horno: una secuencia de valores {xK} generada por el ordenador es
introducida al horno como una tensión x(t) que se debe aplicar en su resistencia.
3
MUESTREO DE SEÑALES
4
Muestreo de señales
• Permite obtener una secuencia a partir de una señal.
x(t)
{xK}
t
T
t
• El muestreador toma los valores de la señal cada cierto
tiempo.
• Este tiempo se conoce como periodo (T) y normalmente
es constante.
5
Representación y comportamiento
x(t)
{xK}
T
T = periodo de muestreo
Relación entrada/salida en el dominio del tiempo:
xk = x(kT)
x0 = x(0); x1 = x(T); x2 = x(2T); …
6
Importancia del periodo de muestreo
• T debe ser suficientemente pequeño para no perder
información de la señal:
{x }
K
T adecuado
x(t)
t
{xK}
t
T excesivo
t
• T debe ser elegido en función de la señal a muestrear.
7
Comportamiento del muestreador en
los dominios de Laplace y Fourier
•
•
Conocemos la relación x(t) / {xK} en el dominio del tiempo:
Buscamos la relación en los dominios de Laplace y Fourier:
– Dominio tiempo:
– Dominio Laplace:
– Dominio Fourier:
•
•
xk = x(kT)
X(s) / X(s) ?
X(ω) / X(ω) ?
{xK}
x(t)
X(s)
X(ω)
T
X(s)
X(ω)
Trabajaremos en el dominio de Fourier.
Partimos de las expresiones directa e inversa de la transformada:
+∞
X (ω ) =∫−∞ x(t ) ⋅ e
χ (ω ) =
+∞
− j ωt
⋅ dt
− jωKT
x
⋅
e
∑ K
k = −∞
1 +∞
j ωt
x(t ) =
X
(
ω
)
⋅
e
⋅ dω
∫
−∞
2π
T + πT
jωKT
xK =
χ
(
ω
)
⋅
e
⋅ dω
π
∫
−
2π T
8
•
Operamos sobre el comportamiento del muestreador en el dominio t:
1
xK = x( KT ) =
2π
•
jωKT
X
(
ω
)
⋅
e
⋅ dω
∫−∞
Dividimos el intervalo de integración en fragmentos de tamaño 2π/T:
− 5π
− 3π
T
T
1
xK =
2π
•
+∞
−π
T
( 2 r +1) π
T
( 2 r −1) π
r = −∞
T
+∞
∑∫
π
T
3π
5π
T
t
T
X (ω ) ⋅ e jωKT ⋅ dω
Hacemos un cambio de variable: ω = Ω + 2πr/T
1
xK =
2π
+∞
∑∫
π
T
−π
r = −∞ T
2πr
jKT ⋅
2πr
1
X (Ω +
) ⋅ e jΩKT ⋅ e T ⋅ dΩ =
T
2π
+∞
∑∫
π
T
−π
r = −∞ T
X (Ω +
2πr
) ⋅ e jΩKT ⋅ dΩ
T
9
•
Se introduce 1/T y se cambian de orden sumatorio e integral:
T
xK =
2π
•
π
+∞
T
−π
T r = −∞
∫ ∑
1
2πr
X (Ω +
) ⋅ e jΩKT ⋅ dΩ
T
T
Comparando con la expresión de xK en la transformada de Fourier, se obtiene:
1
2πr
χ (ω ) = ∑ X (ω +
)
T
r = −∞ T
+∞
•
La relación en el dominio de Laplace se puede obtener de forma similar:
1
2πr
χ (s) = ∑ X (s +
j)
T
r = −∞ T
+∞
•
En ninguno de los casos se puede hablar de función de transferencia, es sólo una relación E/S.
10
Representación gráfica del comportamiento
del muestreador en el dominio de Fourier
•
Señal continua de partida (se muestra módulo de su transformada de
Fourier y se supone fase 0):
X (ω )
A
− ω0
•
ω
ω0
Señal muestreada con periodo T según la fórmula anterior:
χ (ω )
AT
− ω0
ω0
ω
2π T
(suma de señales originales escaladas y desplazadas)
11
Periodo de muestreo (I)
•
•
•
•
•
Interesa conocer el periodo de muestreo T adecuado para cada señal.
El objetivo es no perder información.
Intuitivamente, señales con contenido en frecuencias más elevadas
requerirán menor T (mayor frecuencia de muestreo).
La transformada de Fourier nos indica los contenidos frecuenciales.
Señal de banda limitada: no contiene frecuencias por encima de un cierto
límite, por ejemplo ω0:
X 1 (ω )
− ω0
ω0
X 2 (ω )
− ω0
ω
ω0
ω
X 3 (ω )
− ω0
ω0
ω
12
Periodo de muestreo (II)
•
Muestreamos la señal X2 anterior con 3 periodos distintos:
χ 2 (ω )
T1
− ω0
ω
ω0
2π T1
χ 2 (ω )
T2
− ω0
ω0
2π T2
ω
χ 2 (ω )
T3
− ω0
ω0
ω
2π T3
13
Periodo de muestreo (III)
•
•
•
En los dos primeros casos no se produce solapamiento: sería posible reconstruir la señal original
(continua) a partir de la señal muestreada. No hay deformación de la señal.
En el tercer caso sí se produce solapamiento, y sería imposible reconstruir la señal original. La
señal se ha deformado.
Relación con el periodo de muestreo: T debe ser suficientemente pequeño para que no se pierda
información:
T<
•
π
ω0
La misma relación se puede expresar en términos de la frecuencia de muestreo f:
1 ω0
>
T π
⇒
f > 2 f0
La frecuencia de muestreo f debe ser al menos el doble que la máxima frecuencia f0 contenida en la
señal a muestrear (TEOREMA DEL MUESTREO)
14
Periodo de muestreo (IV)
EJEMPLO: tarjeta de adquisición de datos para un PC.
• El tipo de tarjeta a elegir dependerá del tipo de señal a capturar:
–
–
Señales de audio (altas frecuencias): es necesaria una tarjeta con una frecuencia de
muestreo rápida (periodo T pequeño).
Señales de temperatura (variaciones lentas, bajas frecuencias): es suficiente con una
tarjeta más simple, con frecuencia de muestreo lenta (periodo T grande).
SITUACIÓN COMÚN: señales no de banda limitada.
• Muchas señales reales (por ejemplo, un tren de pulsos rectangulares) no son de
banda limitada, contienen todas las frecuencias.
• Estas señales nunca se pueden muestrear sin pérdida de información, por pequeño
que sea el periodo de muestreo.
X 4 (ω )
El módulo de la transformada de Fourier de
la señal X4 no llega a hacerse cero; la señal
contiene todas las frecuencias
− ω0
ω0
ω
15
RECONSTRUCCIÓN DE
SEÑALES
16
Reconstrucción de señales
• Obtención de una señal a partir de una secuencia.
Reconstruir = volver a obtener una señal que ha sido muestreada.
• Elemento que realiza la operación: bloqueador.
{xK}
{xK}
B
x(t)
x(t)
NOTA: veremos cómo el ejemplo de reconstrucción mostrado es
físicamente irrealizable.
17
Representación del bloqueador
• 2 posibilidades:
– Respuesta impulsional.
– Función de transferencia (en ω o en s).
NOTA: para el bloqueador SÍ existe función de
transferencia (para el muestreador NO)
18
Respuesta impulsional g(t)
• Señal continua de respuesta ante una
secuencia impulso de entrada.
{δK}
{δK}
B
g(t)
g(t)
19
Uso de la respuesta impulsional
•
•
•
La respuesta impulsional de un sistema permite conocer la salida
del sistema ante cualquier señal de entrada.
La salida se obtiene como la convolución entre la respuesta
impulsional y la entrada.
En el caso del bloqueador, se trata de una convolución híbrida.
x(t ) = {xK } * g (t ) =
+∞
∑ xn ⋅ g (t − nT )
n = −∞
20
Función de transferencia
•
•
Se utiliza en el dominio s y en el dominio ω.
Se obtienen a partir de las transformadas de Fourier y Laplace de
la respuesta impulsional:
G (ω ) = F [g (t )]
•
Ambas permiten conocer la salida (señal continua) a partir de la
entrada (secuencia discreta) en los dominios s o ω:
X (ω ) = G (ω ) ⋅ χ (ω )
•
G ( s ) = L[g (t )]
X (s) = G (s) ⋅ χ (s)
Se trata de funciones de transferencia híbridas.
21
Tipos de bloqueadores
• En función del criterio seguido para reconstruir una
señal continua a partir de los valores de la secuencia.
• Estudiaremos 3 tipos:
– Bloqueador ideal.
– Bloqueador de orden 0.
– Bloqueador de orden 1.
22
Bloqueador ideal (I)
•
Es capaz de reconstruir perfectamente la señal original, si se ha
muestreado con un periodo T adecuado (teorema del muestreo).
•
Visto en el dominio de Fourier, el objetivo es recuperar la
transformada de Fourier de la señal original:
{xK}
x1(t)
Bi
X(ω)
T
X1(ω)
X 1 (ω )
χ (ω )
ω
−π
π
T
x2(t)
X2(ω)
X 2 (ω )
ω
ω
T
23
Bloqueador ideal (II)
•
La función de transferencia en ω del bloqueador ideal, debe
“cancelar” las repeticiones y debe restaurar la escala original:
Bi (ω )
T
−π
•
•
T
π
ω
⎧T ω < π
⎪
T
Bi (ω ) = ⎨
⎪⎩0 ω ≥ π T
T
El valor cero fuera del intervalo central cancela las repeticiones.
El valor T dentro de ese intervalo restaura la escala.
24
Bloqueador ideal (III)
• Respuesta ante impulso:
1
g (t ) = F [G (ω )] =
2π
−1
π
T ⎡ e jω t ⎤ T
=
2π ⎢⎣ jt ⎥⎦ −π
T
∞
∫−∞ G (ω ) ⋅ e
jωt
1
⋅dω =
2π
π
∫−π T
T
T ⋅ e jωt ⋅dω =
⎛π ⎞
π
π
π
−j t ⎤
j t
−j t
sen
⎡ j πT t
⎜ t⎟
T
T
T
T ⎢e − e ⎥ e − e
⎝ T ⎠ = sen(ω1t )
=
=
=
π
π
⎥
2π ⎢
ω1t
jt
⋅
2
t
j
t
⎦
⎣
T
T
sen(ω1t )
g (t ) =
ω1t
25
Bloqueador ideal (IV)
• Representación de g(t):
•La respuesta impulsional
toma valores para instantes
anteriores a cero.
g(t)
•Es un bloqueador no causal
•Se trata de un sistema
físicamente irrealizable.
0
t
(recordar ejemplo 1ª transparencia)
• No existen bloqueadores ideales en la práctica.
• Sólo se estudiarán teóricamente.
26
Bloqueadores causales
•
La salida en un cierto instante t0 sólo depende de los valores que
toma la entrada en instantes anteriores t<t0.
•
Estudiaremos 2 tipos:
– Bloqueador de orden 0.
– Bloqueador de orden 1.
•
•
Bloqueador de orden 0: la señal continua de salida toma el valor del
último dato conocido para la entrada (ajuste polinomial de orden 0).
Bloqueador de orden 1: la señal continua de salida se obtiene a
partir de los dos últimos datos conocidos para la entrada (ajuste
polinomial de orden 1).
27
Bloqueador de orden cero (I)
{xK}
x(t)
B0
{xK}
x(t)
t
t
28
Bloqueador de orden cero (II)
•
Respuesta impulsional:
{δK}
⎧0 t < 0
⎪
g (t ) = ⎨1 0 ≤ t < T
⎪0 t ≥ T
⎩
g(t)
t
•
t
Funciones de transferencia:
G (ω ) = F [g (t )] = ∫−∞ g (t ) ⋅ e − jωt ⋅ dt = ∫0
∞
T
G ( s ) = L[g (t )] = ∫0 g (t ) ⋅ e − st ⋅ dt = ∫0
∞
T
− j ωT
e
1
−
e − jωt ⋅ dt =
jω
− sT
e
1
−
e − st ⋅ dt =
s
29
Bloqueador de orden uno (I)
{xK}
B1
{xK}
x(t)
x(t)
t
t
30
Bloqueador de orden uno (II)
•
Respuesta impulsional:
g(t)
{δK}
t
•
⎧0
⎪
⎪1 +
g (t ) = ⎨
⎪1 −
⎪
⎩0
t<0
t
t
T
T
0≤t <T
T ≤ t < 2T
t ≥ 2T
Funciones de transferencia:
1 + jωT ⎛ 1 − e − jωT ⎞
− jωt
G (ω ) = F [g (t )] = ∫−∞ g (t ) ⋅ e ⋅ dt = ... =
⎜
⎟
T ⎝ jω ⎠
∞
G ( s ) = L[g (t )] = ∫0
∞
1 + sT ⎛ 1 − e − sT ⎞
− st
g (t ) ⋅ e ⋅ dt = ... =
⎟
⎜
T ⎝ s ⎠
2
2
31
Comparación f. de transferencia en ω
Bi (ω )
T
−π
π
T
ω
T
B1 (ω )
B0 (ω )
T
T
−π
T
π
ω
T
−π
T
π
ω
T
32
Resumen muestreo y reconstrucción
Muestreadores
x(t)
{xK}
T
xk = x ( k ⋅ T )
1 + ⎛
2πr ⎞
χ (ω ) = ∑ X ⎜ ω +
⎟
T r = −∞ ⎝
T ⎠
1 + ⎛
2πr ⎞
j⎟
χ (s) = ∑ X ⎜ s +
T r =−∞ ⎝
T ⎠
Bloqueadores
{xK}
B
x(t)
⎧
π
sen(ω1t )
ω1 =
Bi : ⎨ g (t ) =
ω1t
T
⎩
⎧
1 − e − j ωT
⎪⎪ B0 (ω ) = jω
B0 : ⎨
− sT
⎪B ( s) = 1 − e
⎪⎩ 0
s
2
⎧
1 + j ω T ⎛ 1 − e − j ωT ⎞
⎜
⎟
⎪ B1 (ω ) =
ω
T
j
⎪
⎝
⎠
B1 : ⎨
2
1 + sT ⎛ 1 − e − sT ⎞
⎪
⎪ B1 ( s ) = T ⎜ s ⎟
⎝
⎠
⎩
33
MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN
DE SEÑALES
Teoría de circuitos y sistemas
34