1. Verify the Identity: Ans: Please note that there are more than one

1. Verify the Identity:
Ans: Please note that there are more than one approach to any of the identity
problems. Your approach may be different but may still be correct.
cos2 x − sin2 x
a.
= cot x − tan x
cos x sin x
sin2 x
cos x sin x
cos2 x
−
=
−
= cot x − tan x = R.H.S.
Ans: L.H.S. =
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x
b.
cos x − sin x
= csc x − sec x
cos x sin x
Ans: LHS =
c.
sin x
1
1
cos x
−
=
−
= csc x − sec x = RHS.
cos x sin x cos x sin x sin x cos x
tan x + 1
= sin x + cos x
sec x
tan x
1
1
1
sin x
Ans: LHS =
+
= tan x ·
+
=
· cos x + cos x =
sec x
sec x
sec x
sec x
cos x
sin x + cos x = RHS.
d.
sin x + 1
cos x
=
cos x
1 − sin x
Ans:
(sin x + 1)(cos x) (sin x + 1)(cos x) (sin x + 1)(cos x)
(sin x + 1)(cos x)
LHS =
=
=
=
=
(cos x)(cos x)
(cos2 x)
(1 − sin x)(1 + sin x)
1 − sin2 x
cos x
= RHS.
1 − sin x
e. tan x + cot x = sec x csc x
sin x
cos x
sin2 x + cos2 x
1
Ans: LHS = tan x + cot x =
+
=
=
=
cos x
sin x
cos x sin x
cos x sin x
1
1
·
= sec x csc x = RHS.
cos x sin x
sin(x + h) − sin x
(cos h) − 1
sin h
f.
= (sin x)
+ (cos x)
h
h
h
Ans: LHS =
sin(x + h) − sin x sin x cos h + cos x sin h − sin x
=
=
h
h
(sin x cos h − sin x) + cos x cos h sin x(cos h − 1) + cos x sin h
=
=
h
h
sin x(cos h − 1) cos x sin h
cos h − 1
sin h
+
= sin x ·
+ cos x ·
= RHS.
h
h
h
h
g.
cos x − cos 3x
= tan x
sin x + sin 3x
x−3x
4x
sin
−2
sin
−2 sin x+3x
cos x − cos 3x
2 2 2 sin
Ans: LHS =
=
=
sin x + sin 3x
2 sin x+3x
cos x−3x
2 sin 4x
2
2
2 cos
− sin(2x) sin(−x)
sin(2x) sin x
sin x
=
=
= tan x = RHS.
sin(2x) cos x
sin(2x) cos x cos x
h.
−2x
2
−2x
2
=
sin x
= (csc x)(1 + cos x)
1 − cos x
sin x
(sin x)(1 + cos x)
sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x)
=
=
=
=
1 − cos x (1 − cos x)(1 + cos x)
1 − cos2 x
sin2 x
1 + cos x
1
= (1 + cos x) ·
= (1 + cos x) csc x = RHS.
sin x
sin x
Ans: LHS =
i.
sin 2x
= 1 − cos 2x
cot x
sin 2x 2 sin x cos x
1
=
= 2 sin x cos x ·
cot x
cot x
cot x
sin x
= 2 sin x cos x tan x = 2 sin x cos x ·
= 2 sin2 x = sin2 x + sin2 x =
cos x
2
2
2
(1 − cos x) + sin x = 1 − (cos x − sin2 x) = 1 − cos 2x = RHS.
Ans: LHS =
j.
sin(x − y) tan x − tan y
=
sin(x + y) tan x + tan y
sin x cos y − cos x sin y
(sin x cos y − cos x sin y)/(cos x cos y)
=
=
sin x cos y + cos x sin y
(sin x cos y + cos x sin y)/(cos x cos y)
sin x cos y−cos x sin y
sin x cos y
cos x sin y
sin y
sin x
tan x − tan y
cos x cos y
cos x cos y − cos x cos y
cos x − cos y
= sin x cos y cos x sin y = sin x sin y =
= RHS.
sin x cos y+cos x sin y
tan
x
+
tan
y
+
+
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y
cos x
cos y
Ans: LHS =
k.
2 − sec2 x
= cos 2x
sec2 x
2
sec2 x
2 − sec2 x
=
−
= 2 cos2 x − 1 = cos 2x = RHS.
Ans: LHS =
2
2
2
sec x
sec x sec x
l.
sin x + sin 5x
= tan 3x
cos x + cos 5x
2 sin x+5x
sin x + sin 5x
2 cos
Ans: LHS =
=
cos x + cos 5x
2 cos x+5x
cos
2
sin 3x cos(−2x)
sin 3x
=
= tan 3x = RHS.
cos 3x cos(−2x) cos 3x
m.
6x
−4x
2 cos
2 6x
−4x
2 cos
2
sin
=
cos
x−y
2 x−y
2
cos
=−
sin
x−y
2 x−y
2
x−y
= − cot
2
cos x − cos y
x+y
x−y
= − tan
tan
cos x + cos y
2
2
x−y
x+y
−2 sin x+y
sin
−
sin
cos x − cos y
2
2 2 sin
Ans: LHS =
=
=
x+y
x−y
x+y
cos x + cos y
2 cos 2 cos 2
cos 2 cos
x+y
x−y
sin 2
sin 2
x−y
x+y
−
tan
= RHS.
x+y ·
x−y = − tan
2
2
cos 2
cos 2
x−y
2
x−y
2
sec(x) sec(y)
1 − tan(x) tan(y)
1
1
=
=
Ans: LHS = sec(x + y) =
cos(x + y) cos x cos y − sin x sin y
o. sec(x + y) =
1
cos x cos y
cos x cos y−sin x sin y
cos x cos y
=
1
1
1
cos x · cos y
sin x sin y
− cos
x · cos y
=
sec x sec y
= RHS
1 − tan x tan y
sin(x + y)
= tan x + tan y
cos x cos y
sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y
sin x cos y
cos x sin y
Ans: LHS =
=
=
+
=
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y cos x cos y
sin x sin y
+
= tan x + tan y = RHS
cos x cos y
p.
=
x−y
sin x + sin y
= − cot
cos x − cos y
2
2 sin x+y
sin x + sin y
2 cos
Ans: LHS =
=
cos x − cos y
−2 sin x+y
sin
2
RHS.
n.
x−5x
2 x−5x
2
=
=
cos(x − y)
= tan x + cot y
cos x sin y
cos(x − y) cos x cos y + sin x sin y
cos x cos y sin x sin y
Ans: LHS =
=
=
+
=
cos x sin y
cos x sin y
cos x sin y cos x sin y
cos y sin x
+
= cot y + tan x = RHS.
sin y cos x
q.
r. sin(x + y) sin(x − y) = cos2 y − cos2 x
1
Ans: LHS = sin(x+y) sin(x−y) = (cos [(x + y) − (x − y)] − cos [(x + y) + (x − y)]) =
2
1
1
(cos [x + y − x + y] − cos [x + y + x − y]) = (cos(2y) − cos(2x)) =
2
2
1
1
2 cos2 (y) − 1 − 2 cos2 (x) − 1 =
2 cos2 (y) − 1 − 2 cos2 (x) + 1 =
2
2
1 2
1
2 cos2 (y) − 2 cos2 (x) =
2 cos (y) − cos2 (x) = cos2 (y) − cos2 (x) = RHS
2
2
2
1 − tan x
s. cos(2x) =
1 + tan2 x
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1
2
Ans: RHS =
=
=
(1−tan
x)·
= (1−tan2 x) cos2 x =
2
2
2
1 + tan x
sec x
sec x
sin2 x
2
2
2
2
· cos2 x = cos2 x − sin2 x = cos(2x) = LHS
cos x − tan x cos x = cos x −
2
cos x
t. 1 + cos(2x) = cot x sin(2x)
cos x
Ans: RHS = cot x sin(2x) =
· 2 sin x cos x = 2 cos2 x = 2 cos2 x − 1 + 1 =
sin x
2
(2 cos x − 1) + 1 = cos(2x) + 1 = LHS
u. sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x
Ans: LHS = sin(3x) = sin(2x + x) = sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x) =
sin(x)(1−2 sin2 (x))+cos(x)·2 sin(x) cos(x) = sin(x)−2 sin3 (x)+2 sin(x) cos2 (x) =
sin(x)−2 sin3 (x)+2 sin(x)(1−sin2 (x)) = sin(x)−2 sin3 (x)+2 sin(x)−2 sin3 (x) =
3 sin(x) − 4 sin3 (x) = RHS
v. sin(2x) =
2 tan x
1 + tan2 x
1
sin x
2 tan x
2
=
2
tan
x
·
=
2
tan
x
cos
x
=
2
·
· cos2 x =
2
2
1 + tan x
sec x
cos x
2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
Ans: RHS =
w. 1 + tan x tan(2x) = tan(2x) cot(x) − 1
1
2 tan x
1
−1=
·
−1=
2
tan x
1 − tan x tan x
2
2
1 − tan2 x 2 − (1 − tan2 x) 2 − 1 + tan2 x
−1=
−
=
=
=
1 − tan2 x
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 + tan2 x 1 + tan2 x + (tan2 x − tan2 x) 1 + 2 tan2 x − tan2 x 1 − tan2 x + 2 tan2 x
=
=
=
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
2 tan2 x
2 tan x
1 − tan2 x
+
=
1
+
tan
x
·
= 1 + tan x tan(2x) = LHS
=
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1 − tan2 x
(cot x) − 1 1 − sin(2x)
x.
=
(cot x) + 1
cos(2x)
Ans: RHS = tan(2x) cot(x) − 1 = tan(2x) ·
(cot x) − 1
Ans: LHS =
=
(cot x) + 1
cos x
sin x
cos x
sin x
x
− sin
sin x
=
x
+ sin
sin x
cos x−sin x
sin x
cos x+sin x
sin x
=
cos x − sin x
=
cos x + sin x
(cos x − sin x)(cos x − sin x) cos2 x − 2 cos x sin x + sin2 x
=
=
(cos x + sin x)(cos x − sin x)
cos2 x − sin2 x
cos2 x + sin2 x − 2 cos x sin x 1 − 2 cos x sin x 1 − 2 sin(2x)
=
=
= RHS
cos(2x)
cos2 x − sin2 x
cos2 x − sin2 x
y. sin(4x) = 4 sin x cos x − 8 sin3 x cos x
Ans: LHS = sin(4x) = sin(2(2x)) = 2 sin(2x) cos(2x) = 2(2 sin x cos x)(1 −
2 sin2 x) = 4 sin x cos x(1 − 2 sin2 x) = 4 sin x cos x − 8 sin3 x cos x = RHS
z. cos(4x) = 8 cos4 x − 8(cos2 x) + 1
2
2
2
2
Ans: LHS = cos(4x) = cos(2(2x))
=
2
cos
(2x)−1
=
2
[cos(2x)]
−1
=
2
2
cos
x
−
1
−
4
2
4
2
4
2
1 = 2 4 cos x − 4 cos x + 1 −1 = 8 cos x−8 cos x+2−1 = 8 cos x−8 cos x+
1 = RHS
2
cot x + tan x
2
Ans: RHS =
=
cot x + tan x
aa. sin(2x) =
cos x
sin x
2
+
sin x
cos x
=
2
cos2 x
sin x cos x
+
2
sin x
sin x cos x
=
2
cos2 x+sin2 x
sin x cos x
=
2 sin x cos x
2 sin x cos x
=
= 2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
1
cos2 x + sin2 x
1
1 + tan(2x) tan x
1
1
1
1
=
Ans: RHS =
=
=
2
2
2 tan x
2 tan x
1−tan x
1 + tan(2x) tan x 1 + 1−tan
· tan x 1 + 1−tan
+
2
2
x
x
1−tan2 x
2
2
1
1
1
1 − tan x 1 − tan x
2
=
=
(1
−
tan
x)
·
=
=
=
2
2
2
1−tan x+2 tan x
1+tan x
1 + tan2 x
sec2 x
sec2 x
2
2
bb. cos(2x) =
1−tan x
2 tan2 x
1−tan2 x
=
1−tan x
sin2 x
(1 − tan x) · (cos x) = cos x − tan x cos x = cos x −
· cos2 x = cos2 x −
2
cos x
sin2 x = cos(2x) = LHS
2 tan x
cc. tan(2x) =
1 − tan2 x
2 sin x cos x
(2 sin x cos x) · cos12 x
2 sin x cos x
sin(2x)
cos2 x
=
Ans: LHS = tan(2x)
=
=
=
2
2
2
1
cos x−sin2 x
cos(2x) cos2 x − sin x (cos2 x − sin x) · cos2 x
cos2 x
2 sin x
2 sin x
2 tan x
cos x
cos x
= RHS
=
=
2
2
cos2 x
1 − tan2 x
1 − sin 2 x
− sin 2 x
2
2
cos x
cos x
dd. sin(2x) =
2
2
2
2
2
cos x
2 tan x
1 + tan2 x
2 sin x
2 sin x
2 sin x
2 tan x
2 sin x
cos x
cos x
cos x
=
·
Ans: RHS =
=
=
=
2
2
2
sin x
cos2 x
sin x
cos2 x sin x
1 + tan2 x
cos x
1 + cos
+
2x
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos2 x
2 sin x cos2 x
=
= 2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
cos x(1)
cos2 x + sin2 x
tan 12 (x + y)
sin x + sin y
ee.
=
sin x − sin y
tan 12 (x − y)
x−y
x+y
x−y
2 sin x+y
cos
2
sin
cos
sin x + sin y
2 2 2 2 Ans: LHS =
=
x+y
x−y =
x+y ·
x−y =
sin x − sin y
2 cos 2 sin 2
2 cos 2
sin 2
tan 21 (x + y)
x+y
x−y
1
1
=
=
tan
·cot
= tan
(x + y) ·
2
2
2
tan 12 (x − y)
tan 21 (x − y)
RHS
ff.
1
cos x cos y
=
tan x + tan y
sin(x + y)
(cos x cos y) · cos x1cos y
cos x cos y
cos x cos y
Ans: RHS =
=
=
=
sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y
(sin x cos y + cos x sin y) · cos x1cos y
cos x cos y
1
1
1
cos x cos y
= sin x cos y cos x sin y = sin x sin y =
= LHS
sin x cos y+cos x sin y
tan
x
+
tan
y
+
+
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y
cos x
cos y
gg. (cot2 x + 1)(1 − cos2 x) = 1
Ans: LHS = (cot2 x + 1)(1 − cos2 x) = (csc2 x)(sin2 x) = 1 = RHS
hh. (tan x + cot x)2 = sec2 x csc2 x
Ans: LHS = (tan x+cot x)2 = tan2 x+2 tan x cot x+cot2 x = tan2 x+2+cot2 x =
tan2 x + 1 + 1 + cot2 x = (tan2 x + 1) + (1 + cot2 x) = sec2 x + csc2 x =
1
1
sin2 x
cos2 x
sin2 x + cos2 x
1
+
=
+
=
=
=
cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1
1
= csc2 x + sec2 x = RHS
·
2
2
sin x cos x