Note: There are more than one answer to these problems. Your

Note: There are more than one answer to these problems. Your approach may differ from
my answer and may still be correct.
Verify the Identities:
sec(x) sec(y)
a. sec(x + y) =
1 − tan(x) tan(y)
1
1
Ans: LHS = sec(x + y) =
=
=
cos(x + y) cos x cos y − sin x sin y
1
cos x cos y
cos x cos y−sin x sin y
cos x cos y
=
1
1
1
cos x · cos y
sin x sin y
− cos
x · cos y
=
sec x sec y
= RHS
1 − tan x tan y
sin(x + y)
= tan x + tan y
cos x cos y
sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y
sin x cos y
cos x sin y
Ans: LHS =
=
=
+
=
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y cos x cos y
sin x sin y
+
= tan x + tan y = RHS
cos x cos y
b.
cos(x − y)
= tan x + cot y
cos x sin y
cos(x − y) cos x cos y + sin x sin y
cos x cos y sin x sin y
Ans: LHS =
=
=
+
=
cos x sin y
cos x sin y
cos x sin y cos x sin y
cos y sin x
+
= cot y + tan x = RHS.
sin y cos x
c.
d. sin(x + y) sin(x − y) = cos2 y − cos2 x
1
Ans: LHS = sin(x + y) sin(x − y) = (cos [(x + y) − (x − y)] − cos [(x + y) + (x − y)]) =
2
1
1
(cos [x + y − x + y] − cos [x + y + x − y]) = (cos(2y) − cos(2x)) =
2
2
1
1 2 cos2 (y) − 1 − 2 cos2 (x) − 1 =
2 cos2 (y) − 1 − 2 cos2 (x) + 1 =
2
2
i
1
1 h 2
2 cos2 (y) − 2 cos2 (x) =
2 cos (y) − cos2 (x) = cos2 (y) − cos2 (x) = RHS
2
2
1 − tan2 x
e. cos(2x) =
1 + tan2 x
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1
2
Ans: RHS =
=
=
(1
−
tan
x)
·
= (1 − tan2 x) cos2 x =
2
2
2
1 + tan x
sec x
sec x
sin2 x
2
2
2
2
cos x − tan x cos x = cos x −
· cos2 x = cos2 x − sin2 x = cos(2x) = LHS
2
cos x
f. 1 + cos(2x) = cot x sin(2x)
cos x
· 2 sin x cos x = 2 cos2 x = 2 cos2 x − 1 + 1 =
sin x
2
(2 cos x − 1) + 1 = cos(2x) + 1 = LHS
Ans: RHS = cot x sin(2x) =
g. sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x
Ans: LHS = sin(3x) = sin(2x + x) = sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x) =
sin(x)(1 − 2 sin2 (x)) + cos(x) · 2 sin(x) cos(x) = sin(x) − 2 sin3 (x) + 2 sin(x) cos2 (x) =
sin(x) − 2 sin3 (x) + 2 sin(x)(1 − sin2 (x)) = sin(x) − 2 sin3 (x) + 2 sin(x) − 2 sin3 (x) =
3 sin(x) − 4 sin3 (x) = RHS
2 tan x
1 + tan2 x
1
sin x
2 tan x
2
=
2
tan
x
·
=
2
tan
x
cos
x
=
2
·
· cos2 x =
Ans: RHS =
2
2
1 + tan x
sec x
cos x
2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
h. sin(2x) =
i. 1 + tan x tan(2x) = tan(2x) cot(x) − 1
1
2 tan x
1
−1=
·
−1=
tan x
1 − tan2 x tan x
2
2
1 − tan2 x 2 − (1 − tan2 x) 2 − 1 + tan2 x
−1=
−
=
=
=
1 − tan2 x
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 + tan2 x 1 + tan2 x + (tan2 x − tan2 x) 1 + 2 tan2 x − tan2 x 1 − tan2 x + 2 tan2 x
=
=
=
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
1 − tan2 x
2 tan2 x
2 tan x
=
+
=
1
+
tan
x
·
= 1 + tan x tan(2x) = LHS
1 − tan2 x 1 − tan2 x
1 − tan2 x
Ans: RHS = tan(2x) cot(x) − 1 = tan(2x) ·
j.
(cot x) − 1 1 − sin(2x)
=
(cot x) + 1
cos(2x)
Ans: LHS =
(cot x) − 1
=
(cot x) + 1
cos x
sin x
cos x
sin x
x
− sin
sin x =
x
+ sin
sin x
cos x−sin x
sin x
cos x+sin x
sin x
=
cos x − sin x
=
cos x + sin x
(cos x − sin x)(cos x − sin x) cos2 x − 2 cos x sin x + sin2 x
=
=
(cos x + sin x)(cos x − sin x)
cos2 x − sin2 x
cos2 x + sin2 x − 2 cos x sin x 1 − 2 cos x sin x 1 − 2 sin(2x)
=
=
= RHS
cos(2x)
cos2 x − sin2 x
cos2 x − sin2 x
k. sin(4x) = 4 sin x cos x − 8 sin3 x cos x
Ans: LHS = sin(4x) = sin(2(2x)) = 2 sin(2x) cos(2x) = 2(2 sin x cos x)(1 − 2 sin2 x) =
4 sin x cos x(1 − 2 sin2 x) = 4 sin x cos x − 8 sin3 x cos x = RHS
l. cos(4x) = 8 cos4 x − 8(cos2 x) + 1
i2
2
2
Ans:
LHS
=
cos(4x)
=
cos(2(2x))
=
2
cos
(2x)−1
=
2
[cos(2x)]
−1 = 2 2 cos2 x − 1 −1 =
2 4 cos4 x − 4 cos2 x + 1 − 1 = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 2 − 1 = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1 = RHS
h
2
cot x + tan x
2
Ans: RHS =
=
cot x + tan x
m. sin(2x) =
cos x
sin x
2
+
sin x
cos x
=
2
cos2 x
sin x cos x
+
2
sin x
sin x cos x
=
2
cos2 x+sin2 x
sin x cos x
=
2 sin x cos x
2 sin x cos x
=
= 2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
1
cos2 x + sin2 x
1
1 + tan(2x) tan x
1
1
1
1
Ans: RHS =
=
=
=
2
2
2 tan x
2 tan x
1−tan x
1 + tan(2x) tan x
1 + 1−tan
· tan x
2
1 + 1−tan
+
2
x
x
1−tan2 x
2
2
1
1
1 − tan x 1 − tan x
1
2
=
=
=
=
(1
−
tan
x)
·
=
2
2
2
2x
2x
2x
1−tan x+2 tan x
1+tan x
1
+
tan
sec
sec
2
2
1−tan x
1−tan x
n. cos(2x) =
2 tan2 x
1−tan2 x
=
sin2 x
(1 − tan x) · (cos x) = cos x − tan x cos x = cos x −
· cos2 x = cos2 x − sin2 x =
2
cos x
cos(2x) = LHS
2
2
2
2
2
2
2 tan x
1 − tan2 x
(2 sin x cos x) · cos12 x
2 sin x cos x
sin(2x)
=
=
=
Ans: LHS = tan(2x)
cos(2x)
cos2 x − sin2 x
(cos2 x − sin2 x) · cos12 x
2 sin x
2 sin x
2 tan x
cos x
cos x
=
=
= RHS
2
2
2
cos x
1 − tan2 x
− sin 2 x
1 − sin 2 x
2
o. tan(2x) =
cos x
cos x
2 sin x cos x
cos2 x
cos2 x−sin2 x
cos2 x
=
cos x
2 tan x
1 + tan2 x
2 sin x
2 sin x
2 tan x
cos
x
Ans: RHS =
=
= cos2 xcos xsin2 x =
2
2
sin
x
1 + tan x 1 + 2
cos x
cos2 x + cos2 x
2
2 sin x cos x
= 2 sin x cos x = sin(2x) = LHS
cos x(1)
p. sin(2x) =
2 sin x
cos x
cos2 x sin2 x
cos2 x
=
cos2 x
2 sin x
·
=
cos x cos2 x + sin2 x
tan 21 (x + y)
sin x + sin y
h
i
q.
=
sin x − sin y
tan 12 (x − y)
h
i
2 sin x+y
2 sin x+y
cos x−y
cos x−y
sin x + sin y
2
2
2
2 =
=
Ans: LHS =
x+y
x+y ·
x−y =
sin x − sin y
2 cos 2 sin 2
2 cos 2
sin x−y
2
tan 12 (x + y)
x+y
x−y
1
1
= RHS
tan
· cot
= tan (x + y) ·
=
2
2
2
tan 21 (x − y)
tan 12 (x − y)
!
r.
!
!
1
cos x cos y
=
tan x + tan y
sin(x + y)
(cos x cos y) · cos x1cos y
cos x cos y
cos x cos y
Ans: RHS =
=
=
=
sin(x + y)
sin x cos y + cos x sin y
(sin x cos y + cos x sin y) · cos x1cos y
cos x cos y
1
1
1
cos x cos y
= LHS
sin x cos y+cos x sin y = sin x cos y
cos x sin y = sin x
sin y =
tan
x
+
tan
y
+
+
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y
cos x
cos y
s. (cot2 x + 1)(1 − cos2 x) = 1
Ans: LHS = (cot2 x + 1)(1 − cos2 x) = (csc2 x)(sin2 x) = 1 = RHS
t. (tan x + cot x)2 = sec2 x csc2 x
Ans: LHS = (tan x + cot x)2 = tan2 x + 2 tan x cot x + cot2 x = tan2 x + 2 + cot2 x =
tan2 x + 1 + 1 + cot2 x = (tan2 x + 1) + (1 + cot2 x) = sec2 x + csc2 x =
1
1
sin2 x
cos2 x
sin2 x + cos2 x
1
+
=
+
=
=
=
2
2
2
2
2
2
cos x sin x sin x cos2 x sin x cos2 x
sin x cos2 x
sin x cos2 x
1
1
·
= csc2 x + sec2 x = RHS
2
2
sin x cos x