Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A

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Módulo: Calculo
Docente Manuel A. Vásquez Concha
EJERCICIOS PRIMERA UNIDAD.
I.
FUNCIONES
1. El ingreso I (en dólares) de un cierto producto como función de la demanda x , viene
x
dado por la expresión: I ( x)  150 x  e 25 , si se venden 50 unidades del producto ,
entonces el ingreso es de :
2. Según estimaciones , el porcentaje de casa que tienen reproductor DVD , está dado por
P(t ) 
68
1  21,67  e 0,62 t
Donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1995
¿Qué tanto por ciento de las casa tenían estos aparatos al inicio de 1995?
3. Se estima que el porcentaje de que
FALLE una cierta marca de circuitos de
computadoras después de t años de uso es P(t )  100(1  e 0,1t ) ¿Cuál es el porcentaje
esperado de circuitos de esta marca que serán útiles dentro de tres años?
4. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t ) al final de
t años, está dado por v( t )  0,78 C  0,85t 1 . Si el costo original es de $6.500.000,
calcule el valor del automóvil después de tres años.
5. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el
año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se
rigió por la fórmula: P  500.000e 0,02t en donde t es el tiempo en años. Calcule la
población para el año 2014
6. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces
t
después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v(t )  P  1,1 .
Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año
2014?
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7. Calcula los siguientes logaritmos:
1. y  log2 64
2. . y  log3 81
3. y  log5 25
4. y log6 216
5. y  log7 343
6. y  log4 4
7. y  log3 1
8. La cantidad P en que un capital C se convierte después de t años a una tasa de interés
compuesto-anual i, se determina mediante la expresión:
Se ha invertido un capital de $4.000.000 a una tasa de interés anual de un 6% hasta
alcanzar un valor de $5.353.535. ¿Por cuantos años fue la inversión?
9. El crecimiento del número de habitantes de una población viene dado por la expresión:
, donde
es el número de habitantes de la población en un instante inicial,
P es el número de habitantes de la población en un instante t y k es una constante de
proporcionalidad.
El pueblo de Doñigue en el año 1990 tenía 14.298 habitantes y en el año 2000 dicha
población había aumentado a 16.414. Calcular:
a) ¿Cuál es el valor de la constante k de proporcionalidad?
b) ¿Cuál es la población para el año 2015?
10. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la
expresión (t) = 10.000 e-0,3 t, donde t mide los años después de su adquisición. ¿En
cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30 dólares?
11. Una población crece de acuerdo con la fórmula: P 5.000.000e 0,06t donde t es el tiempo
en años. ¿Cuánto tiempo tardará la población en aumentar 50%?
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12. Se adquiere una máquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente
desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula:
V  450.000 e 0,2t ¿En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000?
13. La ventas de un cierto bien, en una empresa, se pueden aproximar mediante la función
V ( x)  19,4  ln(x)  18 donde x es el número de unidades producidas del bien .Si se
producen 92 unidades, entonces las ventas estimadas son de aproximadamente.
14. Dadas las siguientes funciones:
Hallar: (f o g) (x) y (g o f) (x)
15. Sabiendo que f(x) = 3x2 y g(x) = 1 / (x + 2) que composición de función da como resultado:
16. Asociar cada gráfico a su ecuación
17. En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el
primer año se pagan $4.200.000 pesos (en 12 recibos mensuales):
¿Cuánto se pagará al final del siguiente año? ¿Y dentro de 2 años?
Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años.
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18. Evalúa la función en el valor indicado de x, sin usar calculadora
19. Condensar las siguientes expresiones al logaritmo de una sola expresión
20. Resolver las siguientes ecuaciones:
21. Suponga una población cuyo modelo de crecimiento está dado por P(t) = 4e0,02t
millones, a partir del año 2000. ¿Cuando la población tendrá 5 millones de habitantes?
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22. Un economista predice que el poder de compra P(t), de una unidad monetaria a los t
años a partir de hoy, será de P(t)=0,95t ¿Cuándo ese poder de compra será la mitad de
lo que es hoy?
23. La población de un país P(t) en millones de habitantes, t años después de 2010, esta
modelada por P(t) = P0e0,04t ¿Cuándo se duplicará la población?
24. Sean los siguientes pares ordenados A(2,5) y B(0,-2). Determine:
a) La pendiente de la función lineal.
b) La ecuación de la función lineal
c) El valor de f(0), f(4) y f(-4). Grafique.
25. Sea A(-2,-8) y m= -0,03. Determine
a) La ecuación de la función lineal.
b) ¿Para qué valor de x, y = 0?
25. Escribir la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por los puntos A (4, 7) y B (5, -1)
b) Es paralela a y = 3x y pasa por el punto P(2, 0)
26. Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Tiene pendiente -2 y corta al eje Y en el punto (0, 3)
b) Pasa por los puntos M (4, 5) y N (2, -3)
26. Halla la ecuación de cada una de estas rectas:
a) Pasa por los puntos A (15, 10) y B (8, -6)
b) Paralela al eje X y que pasa por el punto P (4, 5)
27. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $15.000 por la visita, más
20.000 por cada hora de trabajo.
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a) Escribir la función lineal que da el dinero que se debe pagar en total (y), en función
del tiempo que esté trabajando (x).
b) ¿Cuánto se le pagaría si hubiera estado 3 horas?
28. Se le pide determinar una función lineal, que determine la producción de un articulo
P(x), donde x es el dinero invertido.
Si se invierte $10.000 dólares, se producen 92 artículos, si se invierten $50.500 dólares,
se producen 497 artículos.
a) Desarrolle la función de producción.
b) Calcule cuanto se produce con $8.000 dólares.
29. Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 computadores por día.
El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo variable (mano de obra y
materiales) para producir un computador es 805 dólares.
a) Escriba la función de costo total de producir x computadores en un día.
b) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por computador) en un día.
c) ¿Cuál es el dominio de estas funciones?
30. Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales. Escribe la función que relaciona el
número de botellas y su capacidad.
31. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto
tardaría si el caudal fuera de 24 litros/min? Escribe la función caudal tiempo.
32. Determine la función cuadrática si tiene por vértice (4,-4) y pasa por (3,1)
33. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el
punto (1, 9). Calcular el valor de a
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34. Graficar las funciones siguientes:
a) f(x) = x2 – 8x + 3
b) f(x) = x2 – 6x + 4
c) f(x) = -x2 + 2x
35. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa
funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = -0.01x2 + 0.45x + 300
Determinar la cotización máxima, así como el día en que ocurrió.
36. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene
dado por: r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b) ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
37. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida
desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a
través de la siguiente fórmula: h (t) = -5t2 + 20t.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?
b) ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?
38. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/ h y
menores a 150 km/ h , el rendimiento r (en km/ l ) está relacionado con la rapidez v
mediante la función r(v) = 0,002v ×(180 -v)
a) ¿Con que rapidez el rendimiento será máximo?
b) ¿Cuál será ese rendimiento máximo?
39. Identifica la pendiente de la función lineal
40. ¿ Cuál es el valor máximo de la función
y  5x  3
y  6x  x2
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41. ¿ Cuál es el valor de la función
y  3 4x
42. ¿Cuál es el valor de “ X” en la función
cuando x=2
y  log2 x
cuando y=4
43. El porcentaje de árboles en una plantación que se ha infectado por cierta plaga está
dado por
P (t ) 
100
1  20 e 0 , 05t
Donde t es el número se semanas después que se Reporto la plaga. ¿Cuál es el
porcentaje después de 20 semanas?
44. Si se agregan 20 gramos de sal a una cantidad de agua, la cantidad q(t), de sal sin
disolver luego de t segundos está dada por:
4
q(t )  20   
5
t
¿Cuánta cantidad de sal sin disolver hay luego de 10 segundos?
45. Suponga
una
población
P(t )  4e 0,02t
cuyo
modelo
de
crecimiento
está
dado
por
millones a partir del año 2000. ¿Cuándo la población tendrá 5
millones de habitantes?
46. Sea la función del tipo exponencial, es decir f(x) = C
ax, ¿cuál es el valor de a y c, respectivamente?
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II.
LIMITE Y CONTINUIDAD
1. El valor del kilo de acero se calcula con la siguiente fórmula:
p( x) 
840000
700  500  e 1, 02 x
Donde p(x) es el valor del kilo ($) y x es el tiempo medido en días. ¿Cuál es el valor
del acero a largo plazo?
2. Las ventas de una empresa se modelan de acuerdo a la función
V ( x) 
155000
1  4999 1,01 x
Donde V(x) son las ventas en miles de pesos y x es el tiempo en días. ¿Cuál es el
valor de las ventas a largo plazo?
3. Calcular los siguientes límites:
1.
lim
x 0
2.
lim
lim
sen x

3x
7.
lim
x 0
sen14 x

sen2 x
lim
x 0
6.
x 0
4.
5.
sen 8 x

5x
x 0
3.
sen 4 x

x
lim
1  cos3 x

x
lim
1  cos 9 x

3x
lim
1  cos 3x

9x
x 0
x 0
8
4x

sen12x
x 0
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Importante. APOYO
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en
los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
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Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
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4. Calcular los siguientes límites:
5.
lim
x 0
4x

sen12x
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5. Determine el límite y grafique la función
6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
Cuando X  3
Cuando X  2/3
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7. Dada la función
Calcule el límite de la función en x = 2. Utilice
límites laterales.
8. Estudie la continuidad de las siguientes funciones
9. Determine el valor de a para que la función sea continua