Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A

Instituto Profesional AIEP
Módulo: Calculo
Docente Manuel A. Vásquez Concha
EJERCICIOS SEGUNDA UNIDAD.
I.
INTEGRALES
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1° Alternativa
Para calcular A, B y C, sustituimos x por −3:
Derivamos y volvemos a sustituir por −3:
Volvemos a derivar:
2° Alternativa
Desarrollando se llega a:
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Luego
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1. Determine la integral no definida de
1.
5.
6
 x dx 
6 1

5
2
x
x
3
x
x
xuna
dx
x 3  8)dx
3
8dx
prim
ero
sum
x d
x 4. de
 separam
 C os en reg
 .x2dxint
 2. (C
regla
egral
potencia
3
5
1
6 1
7
3
3
  x dx  8 dx
2
2
3
2
3(10 x  12
2 x  6 x 2  2 x  7) dx  2 x 5  3 x 4  2 x 3  x 2  7 x  C
6
.
8 x  9 x  5 x  4 dx  8 x dx  9 x dx x 45 xdx  4dx regla 4

 8 x  C se aplica la regla 1 y 2 sim ult a
4
3
4 2

 

4
3


x
4
x
x

3
2
5
 2 x 4  3x 3  x 2  4 x  C
2

1.  2 4x 5  1 2x 3  86x 2 9 1 0 d5x   4 x
2. 9 x 7 d x 
3
3
1
24
3
2
7

dx

x8
regla 1 , 2 y 3


4  5x 3 
x5  7x dx 
6


5   4 x 3  7  3 3 x 2  4 d x 
x


6
 6
x4


  x 4
6


d x 

3


5
5

7  1 2x  8 x
 x 4  1
d x 


8
9

  5
 x
10

6
3
x 

2 

d x 
x 
 4 x3 dx 
  6 x
3

12

x 3
5
1
1.  e 3 x dx  e 3 x  C
3



x 6  9 d x 

12x 7 12 x 7
3. 

dx
5 x8
5  x8
6
x
1
x
dx   dx  6   dx  6 ln x  C
2.  4e 6 x  7e x dx   4e 6 x dx 1.76exx1dx
2. Para reducir los costos de operación, se compra una máquina, la cual, cuando tenga x
años de uso, tendrá una función de ahorro en dólares de f ( x)  4500x  1000 . Calcule
cuánto se ahorra en costos de operación durante los 4 primeros años.
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3. En una clase de física, el profesor deja caer una pelota desde lo alto del edificio y toma
el tiempo que tarda en llegar al piso el cual es de 3 segundos y pide a sus alumnos que
calculen la altura desde donde dejaron caer la pelota, considerando que la única fuerza
que actúa sobre la pelota es la fuerza de gravedad, (no considerar roce).
La función para un objeto en caída libre es:
V (t )  9,8t  v0
4. La curva de la demanda es la representación gráfica de la relación matemática entre la
máxima cantidad de un determinado bien o servicio que un consumidor estaría
dispuesto a pagar a cada precio de ese bien o servicio
La función de ventas para un producto que se ofrece en el mercado está dada por:
f ( x)  2500 x  800
, donde x son dólares.
Calcule las ventas totales durante los primeros tres años, en dólares.
5. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de
operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos
al año donde f(x) = 1000 + 5000x.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse
por sí sola?
SOLUCIÓN
a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamos
Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000
b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que se
requieren para que la máquina se pague sola es n, entonces
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1000n + 2500 n2 = 67500 2500 n2 + 1000n - 67500 = 0
5 n2 + 2n - 135 = 0
Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1 = -5,4 (imposible para
nuestro problema) y además n2 = 5
Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.
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II.
AREAS BAJO LA CURVA
1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x =
8
2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área
comprendida entre x = 0 y x = 3.
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3. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
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4. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de
corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
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5. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
6. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
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7. Hallar el área limitada por la recta
correspondientes a x = 0 y x = 4.
, el eje de abscisas y las ordenadas