Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A

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Módulo: Calculo
Docente Manuel A. Vásquez Concha
EJERCICIOS SEGUNDA UNIDAD.
DERIVADA Y SUS APLICACIONES
1. Determine el ingreso marginal cuando x=100. Si la ecuación de demanda está dada
por:
x  1000 2 p
Donde X: cantidad
y
p: precio
y  (6x  8)(4x 3  7 x) su derivada es:
2. Sea
2
3. Si el PNB (producto nacional bruto) de una nación al tiempo t es I  0,01t  0,4t  10
(en miles de millones de dólares) y el tamaño de la población (en millones) es
P  0,01t 2  0,1t  4 . Determine la tasa de cambio del ingreso per cápita
4. Hallar la derivada de y 
3x 2  5 x
entonces
4x2  6x
5. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
3x 3  x  2
1: y 
5x 2  1


4. y 
9  x2
5x 3  x
2. y  x 2  1 x 3  3x
6x  7
3. y 
8x  9

Re spuesta y 
!

5 x
2

1
2
Re spuesta y !  5 x 4  6 x 2  3
 110
Re spuesta y ! 
8 x  92
Re spuesta y ! 

15x 4  4 x 2  20x  1

5. y  6 x 2  7 2 x 2  3
5 x 4  136x 2  9
(5 x 3  x) 2
Re spuesta y !  48x 3  8 x
6. Para determinar el precio de un modelo de nuevos televisores Led, la tienda “El gallo”
utiliza la función p( x)  1000x  50000 con 1  x  440 donde “x” corresponde al
número de unidades demandadas y p(x) es el precio en miles de pesos por unidad
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Determinar:
a) El ingreso marginal cuando la demanda de televisores es de 200 unidades
C ( x) 
b) Si la función de costo es
x3
 50000x 2
3
¿cuál es la utilidad marginal si la
producción es de 350 unidades?
2
7. Dada la función f ( x)  x  6x  5 determinar en qué intervalos la función es
creciente o decreciente.
3
2
8. Dada la función f ( x)  x  6 x  9 x determinar en qué intervalos la función es
creciente o decreciente.
2
9. La función de costo C( x)  0,02x  40x  4000 de la producción de un determinado
artículo. Encuentre en que intervalo el costo crece y en que intervalo decrece.
10. Encuentre en que intervalo, las siguientes funciones, crecen y decrecen
1.
f ( x)  3x  x 3
2.
f ( x)  x 4  2 x 2  8
3.
f ( x)   x 3  6 x 2  15x  4
4. f ( x )  x 
5. f ( x) 
4
x
x3
x  12
Definida en IR  0
Definida en IR  1
2
11. La función de costo C( x)  4000 40x  0,02x
p  50 
y la función de demanda
x
100
Encuentre en que intervalo la función de Utilidad (utilidad=Ingreso-costo) es creciente
y decreciente.
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12. Calcular, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos
que se indican:
a) f(x) = 3x2 en x = 2.
b) f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
c) f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1.
d) f(x) = 2x2 – 6x + 5 en x= -5
13. Calcular, mediante la tabla de derivadas las siguientes funciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
e)
f)
g)
h)
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i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
14. Calcular, mediante la tabla de derivadas las siguientes funciones.
a)
b)
c)
d)
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e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
15. Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable
16. Calcule dy/dx para las funciones dadas en forma paramétrica, considerando para t real.
a) X (t) = 2t -1
b) X (t) = t2 + 3t -1
Y (t) = t3
Y (t) = 1 – 4t2
c) X (t) = 2 cos (t)
Y (t) = 3 sen (t)
d) X (t) = 3t / (t+2)
Y (t) = 4t2 / (t + 2)
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17. Sea f función tal que f(2) = -3 y f’(x) = √ x2 + 5
si g(x) = x2 f( x / (x-1) )
Calcule g’(2)
18. Calcule dy / dx para:
a) X (t) = 3t +2
Y (t) = 1 – t2
b) X (t) = 2t
Y (t) = cos (t)
19. Calcule la tercera derivada de:
F(x) = X8 + 7X6 – 5X + 4
G(x) = X cos (x)
20. Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de
dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°
21. Calcular las siguientes derivadas implícitas
22. La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una
ley del tipo:
Donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes
preguntas:
a) ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
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b) ¿Cuándo entrega el mayor premio?
23. Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está a 3 km del punto más
cercano de la carretera (recta) La distancia de este punto a una tienda situada en la
carretera es de 9 km Si una persona desea caminar de la estación a la tienda en un
tiempo mínimo ¿Qué ruta debe seguir, si puede caminar a la velocidad de 4 km/hr por
el bosque y 5 km/h por la carretera?
Solución
24. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto
de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. Una
compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de
cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable,
para que el costo total sea mínimo?
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25. Calcule los límites de las siguientes funciones usando L’Hopital
26. Usando L’Hopital determine el valor de k para que se cumpla la igualdad